2022年湖南省湘潭县天易水竹学校初中学业水平模拟数学试题

这是一份2022年湖南省湘潭县天易水竹学校初中学业水平模拟数学试题，共30页。试卷主要包含了﹣的倒数是　 　，因式分解等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：亲爱的同学，相信自己，沉着应考，细心作答！
说明：1．所有答案均填入答题卡中，否则不计分。
2．本试卷共三道大题，26个小题，满分120分，考试时间120分钟。
出卷人：湘潭县天易水竹学校 何国辉、黄赤
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2.（3分）如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
3.（3分）下列运算正确的是（ ）A．x4•x3＝x12B．（x3）4＝x7
C．x4÷x3＝x（x≠0）D．x4+x3＝x7
4．（3分）已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（3分）右图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体
6.（3分）已知反比例函数y=的图象过点A（1，﹣2），则k的值为（ ）
A．1B．2C．-2D．-1
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的直径为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
8．（3分）2020年初以来，湘潭县一消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）﹣的倒数是 ．
10．（3分）因式分解：m2+ mn＝ ．
11．（3分）二次根式中，a的取值范围是 ．
12．（3分）在新冠疫情中，据3月14日统计，全球累计确诊人数约为458000000名，用科学记数法表示为 名．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，若EC：AB＝2：3，EF＝4，则BF＝ ．
14．（3分）上海迪士尼乐园是孩子们的游乐天堂，为许多孩子所向往．我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去迪士尼乐园游玩，计划花费20000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝上海美食．根据题意，列出方程为 ．
15．（3分）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB＝120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为 cm2．
如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为 ．
三、解答题（共10小题，满分72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝．
19．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，
连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO．
20.（6分）为推广湘潭县名优农产品，县政府组织了羊鹿茶和花石湘莲的展销，一顾客在展销中发现，如果购买6盒羊鹿茶和4盒花石湘莲，共需960元，如果购买1盒羊鹿茶和3盒花石湘莲共需300元，请问每盒羊鹿茶和每盒花石湘莲分别需要多少元？
21．（6分）小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．（结果保留到整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）
22.（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E.
试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
23．（8分）为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，我县第一中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
24．（8分）网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）．
（1）请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
25.（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为_____________；
②∠AMB的度数为_____________．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
图1 图2 备用图
如图1，直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．
2022年学业水平考试
数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ A）
A．2B．﹣2C．D．
2.（3分）如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（ C ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
3（3分）下列运算正确的是（C ）A．x4•x3＝x12B．（x3）4＝x7
C．x4÷x3＝x（x≠0）D．x4+x3＝x7
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方进行计算即可．
【解答】解：x4•x3＝x7，因此选项A不符合题意；
（x3）4＝x12，因此选项B不符合题意；
x4÷x3＝x（x≠0），因此选项C符合题意；
x4+x3不是同类项，无法相加，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项的法则、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方的计算方法，掌握计算法则是得出正确答案的前提．
4．（3分）已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（ B ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】本题考查众数和平均数的知识
【解答】解：众数是5，已知的三个数都只出现了一次，所以众数是5，就可以知道a = 5,所以平均数=（2+5+4+5）÷ 4 = 16 ÷ 4 = 4
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项的法则、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方的计算方法，掌握计算法则是得出正确答案的前提．
5．（3分）右图是某几何体的三视图，该几何体是（D ）
A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体
【解析】：长方体的三视图都是长方形.故选：D
6.（3分）已知反比例函数y=的图象过点A（1，﹣2），则k的值为（ C ）
A．1B．2C．-2D．-1
【分析】直接把点（1，﹣2）代入反比例函数y=即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象过点A（1，﹣2），
∴﹣2=，
解得k=﹣2．
故选C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的直径为（ D ）
A．8B．10C．16D．20
【分析】连接OC，可知，点E为CD的中点，在Rt△OEC中，OE＝OB﹣BE＝OC﹣BE，根据勾股定理，即可得出OC，即可得出直径．
【解答】解：连接OC，根据题意，
CE＝CD＝6，BE＝2．
在Rt△OEC中，
设OC＝x，则OE＝x﹣2，
故：（x﹣2）2+62＝x2
解得：x＝10
即直径AB＝20．
故选：D．
【点评】本题是对垂径定理和解直角三角形的综合应用，解题的关键是利用勾股定理构造直角三角形．
8．（3分）2020年初以来，湘潭县一消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是（ D． ）
A． B．
C． D．
【分析】根据开始产量与销量持平，后来脱销即可确定存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系．
【解答】解：根据题意：时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．
故选：D．
【点评】本题要求能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）﹣的倒数是 ﹣3 ．
【分析】根据乘积是1的两数互为倒数，进行计算即可．
【解答】解：﹣的倒数为：﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了倒数的定义，属于基础题，注意掌握倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．
（3分）因式分解：m2+ mn＝m（m+n）．
【分析】先提取公因式m进行分解．
【解答】解：m2+ mn＝m（m+n），
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式．
（3分）二次根式中，a的取值范围是 a≥1 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，a﹣1≥0，
解得，a≥1，
故答案为：a≥1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
（3分）在新冠疫情中，据3月14日统计，全球累计确诊人数约为458000000名，用科学记数法表示为 4.58×108 名．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：458000000=4.58×108，
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，若EC：AB＝2：3，EF＝4，则BF＝ 6 ．
【考点】平行四边形的性质、相似的判定、相似的性质
【分析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAF ＝∠DCF ，∠ABF ＝∠CEF，
∴△ABF ∽△CEF ,
∴EC：AB＝EF：BF =2：3
∵EF＝4，
∴BF= 6
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．
14.（3分）上海迪士尼乐园是孩子们的游乐天堂，为许多孩子所向往．我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去迪士尼乐园游玩，计划花费20000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝上海美食．根据题意，列出方程为
3x+5000= 20000 ．
【分析】计划的花费＝向旅行社缴纳的总费用 + 用于购物和品尝上海美食的费用就可以直接求出答案；
【解答】解：（1）由题意得：
3x+5000= 20000
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，根据向旅行社缴纳的费用与用于购物和品尝上海美食的和等于计划花费就可以建立方程，在解答时确定等量关系是关键．
15．（3分）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB＝120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为 108πcm2．
【分析】首先求得扇形的母线长，然后求得扇形的面积即可．
【解答】解：设AO＝BO＝R，
∵∠AOB＝120°，弧AB的长为12πcm，
∴＝12π，
解得：R＝18，
∴圆锥的侧面积为lR＝×12π×18＝108π，
故答案为：108π．
如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为 或 ．．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案．
【解答】解：如图，
由翻折的性质，得
AB=AB′，BE=B′E．
①当MB′=2，B′N=1时，设EN=x，得
B′E=．
△B′EN∽△AB′M，
=，即=，
x2=，
BE=B′E==．
②当MB′=1，B′N=2时，设EN=x，得
B′E=，
△B′EN∽△AB′M，
=，即=，
解得x2=，BE=B′E==，
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折的性质，利用翻折的性质得出AB=AB′，BE=B′E是解题关键，又利用了相似三角形的性质，要分类讨论，以防遗漏．
三、解答题（共10小题，满分72分）
17．（6分）计算：．
【分析】根据绝对值的定义、零指数幂的法则、负整数指数幂的法则、特殊三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝2-3-1＝-2．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．
18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【解答】解：当时，
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
19．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，
连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO．
【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD＝OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝OB，然后根据等边对等角求出∠OHB＝∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH＝∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠COD＝90°，
∵DH⊥AB，
∴OH＝BD＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH＝∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO．
【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．
20.（6分）为推广湘潭县市名优农产品，县政府组织了羊鹿茶和花石湘莲的展销，一顾客在展销中发现，如果购买6盒羊鹿茶和4盒花石湘莲，共需960元，如果购买1盒羊鹿茶和3盒花石湘莲共需300元，请问每盒羊鹿茶和每盒花石湘莲分别需要多少元？
【分析】设每盒羊鹿茶需要x元，每盒花石湘莲需要y元，根据“如果购买6盒羊鹿茶和4盒花石湘莲，共需960元，如果购买1盒羊鹿茶和3盒花石湘莲共需300元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设每盒羊鹿茶需要x元，每盒花石湘莲需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每盒羊鹿茶需要120元，每盒花石湘莲需要60元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．（6分）小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．（结果保留到整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据正切的定义分别求出AD、BD的长，计算即可．
【解答】解：在Rt△ADC中，tan∠ACD=，
∴AD=DC•tan∠ACD=9×=3米，
在Rt△ADB中，tan∠BCD=，
∴BD=CD=9米，
∴AB=AD+BD=3+9≈14米．
答：楼房AB的高度约为14米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
22.（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E
试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）.
【分析】
（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明即可；
（2）过O作于G，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形AODF是菱形，得到，，于是得到结论．
【解答】（1）直线DE与⊙O相切，
连结OD．
∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过O作于G，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形AODF是菱形，
∵，，
∴，
∴．
【点评】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
23．（8分）为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，我县第一中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了 200 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
【分析】（1）由“良好”的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）求出“不合格”的学生人数为20人，从而补全条形统计图；由360°乘以学习效果“一般”的学生人数所占的百分比即可；
（3）画出树状图，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这次活动共抽查的学生人数为80÷40%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人），
将条形统计图补充完整如图：
学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°×＝108°；
（3）把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B，“一般”的记为C，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果全是“良好”的结果有2个，
∴抽取的2人学习效果全是“良好”的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法或画树状图法、概率公式以及条形统计图和扇形统计图的有关知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（8分）网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）．
（1）请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）分两种情况讨论，由日获利＝销售单价×数量，可求解；
（2）分两种情况讨论，由二次函数的性质，分别求出6≤x≤10和10＜x≤30时的最大利润，即可求解；
（3）由w≥40000元，可得w与x的关系式为w＝﹣100x2+5600x﹣32000，可求当20≤x≤36时，w≥40000，可得日获利w1＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100a）x﹣32000﹣5000a，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，
∴x≤10，
∴当6≤x≤10时，w＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，
当10＜x≤30时，w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，
综上所述：w＝；
（2）当6≤x≤10时，w＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣）2+48625，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝，
∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x＝10时，w最大值＝18000元，
当10＜x≤30时，w＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，
∴当x＝28时，w有最大值为46400元，
∵46400＞18000，
∴当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元；
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
25.（1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
①的值为____1______；
②∠AMB的度数为____40°______．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
图1 图2 备用图
【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1；
②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣140°=40°；
（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则=，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；
（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，，可得AC的长．
【解答】解：（1）问题发现
①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，
∴=1，
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=40°，
∴∠OAB+∠ABO=140°，
在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣140°=40°，
故答案为：①1；②40°；
（2）类比探究
如图2，=，∠AMB=90°，理由是：
Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴，
同理得：，
∴，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴=，∠CAO=∠DBO，
在△AMB中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；
（3）拓展延伸
①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB=90°，，
设BD=x，则AC=x，
Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，
∴CD=2，BC=x﹣2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，
∴AB=2OB=2，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
，
x2﹣x﹣6=0，
（x﹣3）（x+2）=0，
x1=3，x2=﹣2，
∴AC=3；
②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°，，
设BD=x，则AC=x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
+（x+2）2=
x2+x﹣6=0，
（x+3）（x﹣2）=0，
x1=﹣3，x2=2，
∴AC=2；
综上所述，AC的长为3或2．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
如图1，直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）由△BDP为等腰直角三角形，判断出BD=PD，建立m的方程计算出m，从而求出PD；
（3）分点P′落在x轴和y轴两种情况计算即可．
【解答】解：（1）∵点C（0，4）在直线y=﹣x+n上，
∴n=4，
∴y=﹣x+4，
令y=0，
∴x=3，
∴A（3，0），
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．
∴c=﹣2，6+3b﹣2=0，
∴b=﹣，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2，
（2）点P为抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m．
∴P（m，m2﹣m﹣2），
∴BD=|m|，PD=|m2﹣m﹣2+2|=|m2﹣m|，
∵△BDP为等腰直角三角形，且PD⊥BD，
∴BD=PD，
∴|m|=|m2﹣m|，
∴m=0（舍），m=，m=，
∴PD=或PD=；
（3）∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，
∴AC=5，
∴sin∠PBP'=，cs∠PBP'=，
①当点P'落在x轴上时，过点D'作D'N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，
∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，
如图1，
ND'﹣MD'=2，
∴（m2﹣m）﹣（﹣m）=2，
∴m=（舍），或m=﹣，
如图2，
ND'+MD'=2，
∴（m2﹣m）+m=2，
∴m=，或m=﹣（舍），
∴P（﹣，）或P（，），
②当点P'落在y轴上时，如图3，
过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过P′作P′N⊥y轴，
∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，
∵P′N=BM，
∴（m2﹣m）=m，
∴m=，
∴P（，）．
∴P（﹣，）或P（，）或P（，）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是构造直角三角形．