中考数学九年级复习之二次函数压轴题40个问题学案

中考复习之二次函数压轴40个问题

主要题型：

1.   二次函数之面积问题
2.   二次函数之特殊三角形的存在性问题
3.   二次函数之特殊四边形的存在性问题
4.   二次函数之线段最值问题
5.   二次函数之角度问题

题目：如图,抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D

第1问.如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.

求二次函数的解析式；

解:设:设二次函数解为=a(+1)(-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为=-+2+3

第2问.如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D

1.   判断BCD的形状；

解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=3,CD=,BD=2,BC+CD=BD,故BCD是直角三角形；方法二:K=1,K=-1,K∙K=-1,故CDCB,所以BCD是直角三角形；           

第3问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D,

2.   四边形ABDC的面积

解:BC:=-+3,

铅垂法:E(1,2)DE=2,S=∙2∙3=3

S=∙4∙3+3=9

第4问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D,

1.   P为直线BC上方抛物线上一点,求PBC面积最大值及P点坐标；

解:方法一:设P(m,-m+2m+3)

S=∙3∙[-m+2m+3-(m+3)]

=(-m+3m),当m=时,S有最大值,此时P(,)S=

方法二:平移BC至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为=-+n,与抛物线=-+2+3联立得-3+n-3=0,=0,n=,=,故P(,)S=

第5问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

5点M为BC上方抛物线上一点,过点M作轴的平行线交BC于点N,求MN的最大值；

解:设点M(m,-m+2m+3),BC:=-+3,则点N(m,-m+3)

MN=-m+2m+3-(-m+3)=-m+3m

当m=时,MN=

第6问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C,OC=3,OA=1,顶点为D,

6.   在对称轴上找一点P,使ACP的周长最小,并求出最小值

解:点A、B关于对称轴对称,连接BP,则BP=AP,PA+PC=PB+PC,当点B、P、C三点共线时,可取最小值,此时P(1,2),ACP周长的最小值为+3

第7问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.   在轴上找一点E,使BDE为直角三角形,求出E点坐标,

方法一:

1.DEBE时,设E(0,m)易知DEF~EBO,=,即=,m=3或1,故E(0,1)、E(0,3)

2.   DEDB时,设E(0,m)易知DEN~BDM,=,即=,m=故E；(0,)

3.   DBBE时,设E(0,m),易知DBF~BEG,=,即=,m=-,故E(0,-)

第8问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.   在轴上找一点F,使BDF为等腰三角形,求出F点坐标；

2.   BD=DF,设F(0,m),=2,m=4+

或4-,F(0,4+);F(0,4-)

2.BD=BF,设F(0,m),=2,m=,F(0,),F(0,-)

3.DF=BF,设F(0,m),=,m=1,F(0,1)

第9问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.   求抛物线上一点N,使S=S；

解:设N点的坐标(m,n),则ABC与ABN底相同,故n=3,-m+2m+3=3或者-m+2m+3=3得m=0,m=2,m=1-,m=1+,N(0,3),(2,3),(1-,-3),(1+,-3)

第10问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D,

1.   在抛物线上找一点Q,使S=S

解:设Q(m,-m+2m+3),S=,BD：=-2+6,铅垂高QS=|-m+2m+3-(-2m+6)|

S=|-m+2m+3-(-2m+6)|∙∙1=得m=0或4

Q(0,3),(4,-5),

第11问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.在抛物线上找一点E,使BE平分ABC的面积；

解:BE平分ABC的面积,故BE经过AC的中点,AC中点(-,),BE:=-+;

与抛物线联立得-+2+3=-+

=-或,E(-;)或(；)

第12问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.在对称轴上找一点M,使|MB-MC|取最大值,并求出最大值；

解:点B关于对称轴对称的点A,连接MA,则MB=MA,MA-MC<AC,

当点A、C、M共线时,|MB-MA|=AC=,

AC:=3+3,M(1,6)

第13问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.M、N为对称轴上的两点(M在N点上方),且MN=1,求四边形ACNM周长的最小值；

解:A关于对称轴对称的点B,连接BN,则BN=AN,将点向下平移1个单位得C’、N,则C’N=CM,

故CM+BN=C’N+BN,当C’、N、B共线时,取最小值(CM+BN)=,故ACNM周长得最小值为1++

第14问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.E在抛物线对称轴上,在抛物线上找一点F,使得点四边形ACFE为平行四边形；

解:设E(1,m)F(n,-n+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A平行至点C与E平移至点F,

n=1+1=2,m+3=-n+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)

第15问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.M为轴上一点,在坐标平面内找一点N,使A、C、M、N为顶点的四边形为菱形；

解:当ACM为等腰三角形时,问题转化为等腰三角形问题

1.ACNM为菱形时,M(0,3),N(1,0),

2.AMCN为菱形时,M(0,),N(-1,),

3.ACMN为菱形时,M(0,3+),N(-1,)

4.ACMN为菱形时,M(0,3-),N(-1,-)

第16问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.E为轴上一点,以BE为边的正方形BEFG；

另一点G在抛物线上,求点F坐标；

设E(m,0)则EF=|-m+2m+3|由EF=EB得3-m=|-m+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)

第17问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.P是抛物线上任意一点,过点P作PE轴于点E,交直线BC于点G；过点G作GF轴,连接EF,求EF的最小值；

连接OG,则OG=EF,当OGBC时,OG最小,即EF最小,故EF=

第18问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.M在抛物线上CB上方一点过点M作轴的平行线,交BC于点E,则ME的最大值是多少?

解:设M(m,-m+2m+3),BC:=-+3,E(m,3-m),ME=-m+2m+3-(3-m)=-m+3m,当m=时,ME=

第19问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.求一点P,使POC=PCO；

解:点P在OC得垂直平分线上,-+2+3=,=1

P(1-,)P(1+,)

第20问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.E(2,-2),M为轴上一点,且EMO=CMO；

1.M在右侧时,易知CMO~EMG,设M(m,0)则有=,m=6

2.M在左侧时,同理易知CMO~EMG,=,m=6(舍)

第21问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.P是直线=上的动点,当直接=平分APB时,求点P的坐标；

如图,PAOPEO,此时OE=OA=1,故E(0,-1),EB：=-1,与=得=-,P(-,-)

第22问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.点P在抛物线上,且ABP=CBD,求P坐标；

解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tanCBD=,故tanPBO=,OE=1或者OF=1,PB：=-+1或且=-1,联立可得P(-,)P(-,-)

第23问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.在抛物线上找一点P,使ACP=45；

方法1:OCB=ACP=45,得ACO=ECB,故tanECB=,作EHBC,设BH=m,则EH=m;CH=3m,故4m=3,m=,E(,0)故CE:=-2+3,联立得P(4,-5)

方法2:由12345模型得tanECO=得E(,0)

第24问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.P在抛物线上,DBP=45；

由tanCBD=,CBD+CBP=45,而PBO+CBP=45,故tanPBO=,BP:=-+1,

P(-,)

第25问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.点P在抛物线上,PCB=15,求点P的坐标；

解:由BCO=45得PCO=30或PCO=60,故PC:=-+3或=-+3联立得P(2+,-2)P(2+,)

第26问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.直线=-1与轴交于点E,求EBC-CBD；

由tanDBC=tanEBO=,故EBC-CBD=45

第27问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

1.过点P(3,0)作直线与抛物线交于F、G、FM、GN分别垂直于轴,求PM,PN；

设F(,)G(,),直线=(+3)与抛物线=-+2+3联立得+(-2)+3-3=0;+=2-,=3-3,PMPN=(+3)(+3)=+3(+)+9=12

第28问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

P是第一象限抛物线上,PEAB,求的值,若PE=AEBE,求P点坐标

设P(m,-m+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,=,(m+1)(3-m)=(-m+2m+3)

得m=1+,P(1+,1)

第29问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

M为直线=上的点,N(0,-1),求BM+MN的最小值,

过点B作I轴,MHI,MBH=60,MH=BM,BM+MN=MH+MN,当N、M、H

共线且垂直于I时取最值(BM+MN)min=3

第30问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

M为直线=上的点,求BM+OM的最小值

过点B作I:=-3,MHI,MBH=30,MH=BH,BH+OM=MH+OM,当Q、M、H

共线且垂直于I时取最值(BM+MN )min=

第31问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

M为直线=上的点,求BM+OM的最小值

过点B作I,I与直线MN夹角45,MHI,MBH=45,MH=BM,BM+OM=MH+OM,当Q、M、H共线且垂直于I时取最值两着色三角形相似,得cos15=,(BM +MN)min=

第32问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

在AB上是否存在点M,使CM+BM取最小值.

过点B作I,I与轴夹角为30,MH=BM,BM+CM=MH+CM,当C、M、H共线且垂直于I

时取最值(BM+CM)min=

第33问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

M是抛物线上一点,作MH轴,交BC于点E,当ME:EH=3:2时,求M点的横坐标,

设M(m,-m+2m+3),则E(m,3-m),ME=-m+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3：2

即有-m+2m+3-(3-m)=(3-m)

m=

第34问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

P是抛物线上一点,且PAB=2CBD,求P点坐标.

tanCBD=,tanPAB=tan2CBD=(12345模型)

设P(m,-m+2m+3)

(1)tanPAB==,m=,P(,)

(2)tanPAB==,m=,P(,)

第35问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

F(1,)直线=,(1)证明:M上任意一点到直线=距离等于到F点的距离,

M(m,-m+2m+3),MH=-(-m+2m+3)=m-2m+

MF==m-2m+,故MH=MF

第36问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

F(1,)直线=,(2)证明:N(2,-1)M为抛物线上一点,求NM+MF的最小值

由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=

第37问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

BAC的角平分线交轴于点M,绕点M作直线I,与轴交于点E,与A交于点F,

求证:+为定值

过点M、F、C作轴的平行线,交AC于点G,交AM于点H、I，易知:AEM~HFM,AFH~ACI,

=,=,相加得+=+=1

即有+=,同理可得+==1+

第38问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

P为第四象限抛物线上一点,且tanAPC=,求出点P的坐标；

过点C作CEAC,取一点E使CE=2AC,过点C作MN||轴,作AMMN、ENMN,易知ACM~CEN,CN=6,EN=2,E(6,1),P为以AE为直径的圆与抛物线的交点AE的中点F,F(,)

PF=,设P(m,-m+2m+3),PF=(m-)+(-m+2m+3)=

m=,=,P(,)

第39问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

直线=-3与抛物线交于点P,在轴正半轴上找一点E,使tan(PBO+PEO)=

在轴上找一点F,使tanHPF=,HPF=45+BPH=PBO+PEO=45+PEO,

故BPF=PEO,故BEP~BPF,

=,即=,m-3=,m=故E(,0)

第40问:如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D

对称轴与BC交于点E,在直线BC上找一点P,使ABP与DEB相似,

BED=135=ABP,故P在CB的延长线上,DE=2,BE=2,AB=3,

1.当EDB~BAP,=,即=,BP=4,P(7,-4)

2.EDB~BPA时,BP=2,P(5,-2)