湖南省长沙市岳麓区博才培圣学校2020-2021学年七年级（下）第三次月考数学试卷（含答案）

湖南省长沙市岳麓区博才培圣学校2020-2021学年七年级（下）第三次月考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列调查中，适宜采用普查方式的是

A. 调查市场上冷冻食品的质量情况
B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品
C. 调查某品牌冰箱的使用寿命
D. 调查年春晚的收视率情况

2. 下列实数，，，，，中，无理数有个．

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 已知是关于，的方程的解，则的值为

A.  B.  C.  D.

5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 已知点在第四象限，且到轴的距离为，则点的坐标为

A.  B.  C.  D.

7. 我国古代算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马价两，牛价两，可列方程组为

A.  B.
C.  D.

8. 已知为的中线，且，，则与的周长之差为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，平分，交于点，已知，则的度数为

A.  B.  C.  D.

10. 如果一个正多边形的内角和等于，那么该正多边形的一个外角等于

A.  B.  C.  D.

11. 如果不等式组的解集是，那么的值为

A.  B.  C.  D.

12. 关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是

1.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 为了了解某市近名八年级学生的体重情况，随机抽取其中名学生的体重进行调查，则此次调查的样本容量是______ ．
14. 如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”的坐标是，“兵”的坐标是，那么“帅”的坐标是______ ．

15. 三角形的三边分别为，，，则的取值范围是______ ．
16. 如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：；；；平分其中正确的结论是______填序号．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
    四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
    
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知关于、的方程组的解满足不等式．
    求实数的取值范围；
    在的条件下，解关于的方程．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在中，，平分．
    若，求的度数．
    证明：．

21. 为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生必须从“洪家关，天门山，大峡谷，黄龙洞”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
    
    请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
    本次调查的学生人数为______；
    在扇形统计图中，“天门山”部分所占圆心角的度数为______；
    请将两个统计图补充完整；
    若该校共有名学生，估计该校最想去大峡谷的学生人数为______．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某菜农要将自己种的蔬菜运往某地销售，经与安达运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共辆，用这辆汽车一次将货物全部运走，已知租用辆甲型汽车和辆乙型汽车共需费用元，租用辆甲型汽车和辆乙型汽车共需费用元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．
    求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？
    若该菜农计划此次租车费用不超过元，通过计算求出该公司有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用．
    
    
    
    
    
    
     
23. 在平面直角坐标系中，对于任意三点、、的“培圣矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“竖直高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“培圣积”．
    例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“竖直高”，所以“培圣矩面积”．
    已知三点坐标分别为，，，则“水平底”______，“竖直高”______，“培圣矩面积”______．
    已知点，，求当在什么范围时，、、三点的“培圣矩面积”最小？最小值是多少？
    已知点，，，若、、三点的“培圣矩面积”为，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，点从出发沿轴负方向运动，过作轴的垂线分别交、于点，，已知，，，满足，与轴交点为．
    求，两点坐标．
    计算的面积，并求：当为中点时点的坐标．
    若轴负半轴平分，为直线与的延长线的交点，探究、、之间的数量关系，并证明．

25. 已知，点、分别在的两边、上，点是射线上的一点，连接、，，；平分，平分．
    如图，若，
    求的度数；
    判断、的位置关系，并说明理由．
    如图，当点在射线上运动时，若直线、相交于点，请用含有、的代数式表示直接写结果．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、调查市场上冷冻食品的质量情况，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
B、调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品，适宜采用普查方式，故本选项符合题意；
C、调查某品牌冰箱的使用寿命，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
D、调查年春晚的收视率情况，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
故选：．
根据全面调查和抽样调查的概念、结合实际解答．
本题考查的是全面调查和抽样调查，通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查，其二，调查过程带有破坏性，其三，有些被调查的对象无法进行普查．
 

2.【答案】
 

【解析】解：是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有，，，共个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：．
根据算术平方根的定义以及立方根的定义解答即可．
本题考查了算术平方根与立方根，熟记算术平方根与立方根的定义是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：是关于，的方程的解，
，
解得，
故选：．
将，值代入二元一次方程后解方程即可求解．
本题主要考查二元一次方程的解，根据方程解的定义代入计算是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
由不等式，得
，
由不等式，得
，
在数轴上表示如下所示，

故原不等式组的解集是，
故选：．
根据解一元一次不等式组的方法，可以解答本题．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
 

6.【答案】
 

【解析】解：点在第四象限，且到轴的距离为，
，
解得，
，
，
点的坐标为．
故选：．
根据第四象限内点的纵坐标是负数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值列方程求出的值，然后求解即可．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：．
故选：．
直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两”列出方程组即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：为中线，
，
与的周长之差，
，，
与的周长之差．
故选：．
根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长之差．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，，
，
平分，
，
，
，
故选：．
先由三角形内角和定理求得，再由角平分线定义求得，最后由平行线的性质求得．
本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，平行线的性质，关键是求得的度数．
 

10.【答案】
 

【解析】解：设此多边形为边形，
根据题意得：，
解得：，
这个正多边形的每一个外角等于：．
故选：．
首先设此多边形为边形，根据题意得：，即可求得，再由多边形的外角和等于，即可求得答案．
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：，外角和等于．
 

11.【答案】
 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，，
解得，，
，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组的解集得出关于、的方程，解之求出、的值，从而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
关于的不等式组有四个整数解，
，
解得：，
故选：．
先求出不等式组的解集，根据已知得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于的不等式组是解此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：根据样本容量是指样本中个体的数目，
所以这个问题的样本容量是．
故答案为：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．
 

14.【答案】
 

【解析】解：如图所示：“帅”的坐标为．

故答案为：．
直接利用“相”的坐标是，“兵”的坐标是，得出原点位置，进而得出“帅”的坐标．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：根据三角形的三边关系定理可得，
解得：，
故答案为：．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，且于，
，
，
，
，，
，
平分，
，
正确．
，平分，，
，
正确．
，，
，
，
，
，
正确．
，
与互余，
错误．
故答案为：．
根据角平分线的性质，垂直的性质及三角形内角和定理依次判断求解．
本题考查平行线的性质与三角形内角和及外角定理，解题关键是熟练掌握以上性质及定理．
 

17.【答案】解：


．
 

【解析】先分别计算绝对值、立方根、二次根式，然后计算加减法．
本题考查了实数的运算，正确理解绝对值、立方根、二次根式的意义是解题的关键．
 

18.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：，
得，
解得；
把代入得，
解得，
，
，
解得．
故实数的取值范围为；
，
可以变形为，
解得．
 

【解析】先用表示出、的值，再代入不等式即可得出关于的不等式，进而得出的取值范围．
先取绝对值，再解一元一次方程即可求解．
本题考查的是解二元一次方程组及一元一次不等式，先根据题意用表示出、的值是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：，
．
平分，
．
，
，
．
．
于，
．
平分，
．
，
．
，


．
 

【解析】利用三角形的内角和定理先求出、，再利用角平分线的性质求出，利用角的和差关系求出；
根据三角形的内角和定理先用、表示出、，再利用角平分线的性质，用、表示出，最后利用角的和差关系求出．
本题考查了三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质、三角形的内角和定理及角的和差关系是解决本题的关键．
 

21.【答案】人；
；
选择的人数为：人，
所占的百分比为：．
补全统计图如图：

人
 

【解析】解：本次调查的学生人数为．
故答案为人；

在扇形统计图中，“天门山”部分所占圆心角的度数为．
故答案为；

见答案；

人．
答：若该校共有名学生，估计该校最想去大峡谷的学生人数为人．
故答案为：人．
由的人数除以其人数占被调查人数的百分比即可求解；
用“天门山”部分所占的百分比即可求解；
用调查的学生总人数乘以所占百分比得出的人数，补全条形图；用减去、、所占的百分比得出所占的百分比，补全扇形图；
用样本中最想去大峡谷的学生所占的百分比乘总人数即可．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体．
 

22.【答案】解：设租用一辆甲型汽车的费用为元，租用一辆乙型汽车的费用为元，
依题意，得：，
解得：．
答：租用一辆甲型汽车的费用为元，租用一辆乙型汽车的费用为元．
设租用辆甲型汽车，则租用辆乙型汽车，
依题意，得：，
解得：．
又，均为非负整数，
，，，
共有种租车方案，方案：租用辆甲型汽车，辆乙型汽车；方案：租用辆甲型汽车，辆乙型汽车；方案：租用辆甲型汽车．
方案所需租车费用为元；
方案所需租车费用为元
方案所需租车费用为元．
，
租用辆甲型汽车时租车费用最低，最低费用为元．
 

【解析】设租用一辆甲型汽车的费用为元，租用一辆乙型汽车的费用为元，根据“租用辆甲型汽车和辆乙型汽车共需费用元，租用辆甲型汽车和辆乙型汽车共需费用元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设租用辆甲型汽车，则租用辆乙型汽车，根据总租金每辆车的租金租车辆数结合此次租车费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，结合，均为正整数即可得出各租车方案，再分别求出各方案的租车费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】   
 

【解析】解：由题意，，“培圣矩面积”，
故答案为：，，；

由题意：．
当时，，
当时，，
当时，的最小值为，
当时，，，三点的“培圣矩面积”的最小值为；

如图，

当时，
，，三点的“培圣矩面积”为，
，，
，
负根已经舍弃，此时
当时，，，
，
解得或，
，
，
，
综上所述满足条件的点的坐标为或
根据：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“竖直高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“培圣积”的定义求解即可；
首先由题意可得：，然后分别从：当时，，当时，，去分析求的最小值为：，继而求得，，三点的“矩面积”的最小值；
由，，三点的“矩面积”的最小值为，分，两种情形，分别构建方程求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了“培圣矩面积”的定义，不等式组的解法．此题属于新定义题，难度较大，解题的关键是理解与的含义，注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用．
 

24.【答案】解：，
又，，
，
解得，
，；

如图中，过点作轴于点，过点作轴于点．

，，
，，，，
，
设，
则有，
，
，
；

如图中，结论：

理由：

又


即．
 

【解析】非负数的性质构建方程组求出，即可；
如图中，过点作轴于点，过点作轴于点，利用分割法求出的面积，设，再利用面积法构建方程求出，即可解决问题；
利用，再利用和即可证明．
本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，平行线的性质和三角形的外角性质，正确的利用及三角形的外角性质是解答本题的关键．
 

25.【答案】解：，，
，，
；
如图中，连接．

平分，平分．
，，
，
，
，
，
．
由题意可以假设，．
如图，则有，

，，，
，

如图中，

，
，
，
，
，

如图中，

，，
两式相加可得，
，
综上所述，或或
 

【解析】利用四边形内角和定理以及三角形内角和定理求解即可．
连接，证明即可．
分三种情形分别画出图形求解即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，四边形的内角和定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．