江西省吉安市三校联盟2020-2021学年八年级（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

江西省吉安市三校联盟2020-2021学年八年级（下）月考数学试卷（5月份）

一．选择题（本题共6小题，共18分）

1. 式子的取值范围是

A.  B. 且
C.  D. 且

2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为

A.
B.
C.
D.

4. 若把分式中的和都变为原来的倍，那么分式的值变为原来的

A. 倍 B. 倍 C. 不变 D. 倍

5. 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线若，，则点到的距离为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，点为定角平分线上的一个定点，且与互补若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：；的值不变；的长不变；四边形的面积不变，其中，正确结论的是

1. 
   B.
   C.
   D.

二．选择题（本题共6小题，共18分）

7. 如果，则 ______ 用“”、“”或“”填空
8. 若，则______．
9. 如图，中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交线段，于点，若，则的度数为______
    

10. 如图，把绕点顺时针旋转角度得到对应，若点在边上，且，，则______．
    
    
    
     

11. 若关于的方程产生增根，则______．
12. 如图，在等腰三角形中，，，为的中点，点在上，，若点是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为顶角的等腰三角形时，的度数是______．

三．计算题（本题共1小题，共9分）

13. 解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共10小题，共75分）

14. 如图，，，点，在上且．
    求证：；
    若平分，求证：．

15. 如图，在中，，，将沿方向向右平移得到．
    试求出的度数；
    若，请求出的长度．
    
    
    
    
    
    
     
16. 如图，已知直线与轴交于点，与直线交于点．
    求的面积；
    求时的取值范围．

17. 如图，在和中，，，与相交于点，限用无刻度直尺完成以下作图：
    在图中作线段的中点；
    在图中，在、上分别取点、，使．

18. 已知是不等式的一个负整数解，请求出代数式的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 若关于，二元一次方程组的解，的值大于．
    求的取值范围；
    若，的值恰好是一个等腰三角形的腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 疫情期间，人们的体温倍受关注．某商场计划购进一批，两种型号的体温测量仪器，每台种仪器价格比每台种仪器价格多元，花元购买种仪器和花万元购买种仪器的数量相同．
    求、两种仪器每台各多少元？
    根据销售情况，需要购进、两种仪器共台，总费用不超过万元．求种仪器至少要购买多少台？
    若每台种仪器售价为元，每台种仪器售价元，在的情况下商场应如何进货才能使这批体温测量仪器售完后获利最多？
    
    
    
    
    
    
     
21. 阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图可以得到请解答下列问题：
    写出图中所表示的数学等式______；
    利用中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
    小明同学打算用张边长为和张边长为的小正方形，张相邻两边长分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为的长方形，那么他总共需要多少张纸片？

22. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，分别连接、，与、分别相交于点、
    求证：
    为了证明“”，小明延长至点，使，连接，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程．
    若，，请求出正方形的边长．
    请直接写出线段、、三者之间的数量关系
    
    
    
    
    
    
     
23. 综合与实践
    观察理解：如图，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以≌______；请填写全等判定的方法
    理解应用：如图，，且，，且，利用中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______；
    类比探究：如图，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积．
    拓展提升：如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，求证：；
    拓展应用：如图，在中，，点在边上，，点、在线段上，若的面积为，则与的面积之和为______．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：由题意得，且，
解得且．
故选D．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，因式分解错误，故本选项不符合题意；
B、，因式分解错误，故本选项不符合题意；
C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是正确的因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义：把一个多项式写成几个整式的积的形式，即可作出判断．
本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，是中考中的常见题型．
 

3.【答案】
 

【解析】解：绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
．
故选：．
根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
故选A．
把变成，再化简，即可得出答案．
本题考查了分式的基本性质的应用，能理解题意是解此题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据角平分线的性质、三角形面积公式，可以求得点到的距离，本题得以解决．
【解答】
解：由题意可得，
为的角平分线，
，平分，
，
设与交于点，作于点，连接，

，，，，
，，，
，
，
，
解得，
故选B．  

6.【答案】
 

【解析】解：如图作于，于．
，
，
，
，
，
平分，于，于，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，，故正确，
，
定值，故正确，
，是定值，故正确，
在旋转过程中，是等腰三角形，形状是相似的，因为的长度是变化的，所以的长度是变化的，故错误，
故选：．
如图作于，于只要证明≌，≌，即可一一判断
本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此判定即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
 

8.【答案】
 

【解析】解：，
设，，
．
故答案为．
利用比例的性质可设，，然后把，代入中进行分式的混合运算即可．
本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质进行计算．
 

9.【答案】
 

【解析】解：连接，
的垂直平分线分别交线段，于点，，
，，
，
≌，
，
，是边上的中线，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
故答案为：．
根据全等三角形的判定证明≌≌，再根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求的度数．
考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是证明≌≌．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由旋转知，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，，
故答案为．
根据平行线的性质与旋转性质得，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质得，最后根据三角形内角和列出的方程解答便可．
本题主要考查了平行线的性质，旋转的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角定理，方程思想，综合应用这些知识解决问题是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：方程两边都乘，得

原方程有增根，
最简公分母，即增根是，
把代入整式方程，得．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
增根问题可按如下步骤进行：
根据最简公分母确定增根的值；
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

12.【答案】或或
 

【解析】解：，，，
，
当是以为顶角的等腰三角形，
当点在上，
，
，
，
当点在上，
，为的中点，
，
过作于，于，
，
在与中，，
≌，
，
，
，
当点在上，
同理证得≌，
，
，
故答案为：或或．
根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

13.【答案】解：解不等式得出：；分
解不等式得出：；分
所以原不等式组的解集是：；分
注意：包括；这一点．应画点，不包括这一点，应画圆圈，所以正确的答案是：不等式组的解集在数轴上表示为：
分
 

【解析】本题可根据不等式组分别求出的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交集，则不等式无解．
求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

14.【答案】证明：，
，即，
，
与都为直角三角形，
在和中，
，
≌，
；
由得：≌，
，
，为等腰三角形，
平分，
．
 

【解析】由“”可证≌，可得；
由全等三角形的性质得，可得，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

15.【答案】解：在中，，，
，
由平移得，；
由平移得，，
，，
，
．
 

【解析】本题主要考查了平移的性质，注意：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等．
根据平移可得，对应角相等，由的度数可得的度数；
根据平移可得，对应点连线的长度相等，由的长可得的长．
 

16.【答案】解：由，
可知当时，，
点的坐标是，
，
与直线交于点，
点的坐标是，
的面积；

由可知交点的坐标是，
由函数图象可知时．
 

【解析】由函数的解析式可求出点和点的坐标，进而可求出的面积；
结合函数图象即可求出时的取值范围．
本题考查了一次函数与一元一次不等式、数形结合的数学思想，即学生利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用．
 

17.【答案】解：如图，点为所作；
如图，为所作．

 

【解析】延长和，它们相交于点，然后延长交于，则；
连结交于，连结交于，则．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

18.【答案】解：



，

解不等式得：，
或或，
当或时，分式无意义，
只能等于，
当时，原式．
 

【解析】先根据分式的运算法则进行化简，再求出不等式的负整数解，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，解一元一次不等式，不等式的整数解等知识点，能求出符合的值是解此题的关键．
 

19.【答案】解：解关于，二元一次方程组得，
，的值大于，
，
解得；
若为腰，为底边，则，
，
解得，
，，
，
时三角形不存在；
若为腰，为底边，则，
，
解得，
，，
，
时三角形存在，
故的值为．
 

【解析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识的综合运用．
解关于，的二元一次方程组，根据，值大于可得关于的不等式组，解不等式组可求解；
可分两种情况：若为腰，为底边；若为腰，为底边，利用等腰三角形的性质分别计算可求解．
 

20.【答案】解：设种仪器每台元，则种仪器每台元，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：种仪器每台元，种仪器每台元；
设购买种仪器台，
，
解得，，
答：种仪器至少要购买台；
设获利元，
，
，
随着的增大而减少，
，
当时，取得最大值，此时，，
即购买台种仪器，台种仪器售完后获利最大．
 

【解析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以求得、两种仪器每台各多少元，注意分式方程要检验；
根据题意，可以得到相应的不等式，从而可以得到种仪器至少要购买多少台；
根据题意，可以得到利润与购买种仪器数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到商场应如何进货才能使这批体温测量仪器售完后获利最多．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

21.【答案】
 

【解析】解：根据阅读材料，
观察图中所表示的数学等式：

故答案为：



答：的值为．



答：总共需要张纸片．
根据阅读材料即可写出数学等式；
根据中所得到的结论，代入求值即可；
根据多项式乘以多项式，再根据的思想，即可得出结论．
本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是利用数形结合思想．
 

22.【答案】证明：如图，延长至点，使，连接，

四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：设正方形的边长为，
，，
，，
由得：，
中，，
，
解得：或舍，
答：正方形的边长为．
解：；
理由是：如图，在上截取，连接、，

在和中，
，
≌，
，，
又，
．
．
在和中，
，
≌，
．
．
 

【解析】延长到，使，连接，证得≌，≌，最后利用等量代换求得答案即可；
根据中的结论，设正方形的边长为，列方程可解答；
在截取，连接、，证得≌，≌，最后利用勾股定理求得答案即可．
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】   
 

【解析】解：如图中，

，，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
≌
故答案为：．

如图中，

，，，，
由得：≌，≌，
，，，，
．
故答案为．

如图，过作于，

由旋转得：，
，
由可知≌，
，
．

如图中，

，，，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
．

如图中，

的面积为，，
的面积是：，
由图中证出≌，
与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是，
故答案为：．
根据证明三角形全等即可．
利用“三垂模型”证明三角形全等，利用全等三角形的性质，解决问题即可．
如图，过作于，构造全等三角形解决问题即可．
证明≌，可得结论．
利用中结论，解决问题即可．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，“三垂”模型等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．