有关最值测试卷--2022年初中数学中考备考二轮专题复习

这是一份有关最值测试卷--2022年初中数学中考备考二轮专题复习，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

有关最值专题复习测试卷
一、单选题
1．点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（　　）
A． B．4 C．﹣ D．﹣
2．把二次函数的图象作关于x轴的对称变换 ，所得图象的解析式为，若，则m的最大值为（   ）
A． B．0 C．2 D．6
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（       ）

A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3
4．在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．
5．已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（　　）
A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2
6．如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（       ）．

A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
7．在中，若，，则的面积的最大值为______．
8．设α，β是关于4x2﹣4mx+m+2＝0的两个实数根，当α2+β2有最小值时，则m的值为_____．
9．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_____．

10．如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____．

11．如图，在菱形ABCD中，，，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则的最小值为_____________．

三、解答题
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：△ABC≌△BDF；
（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．

13．在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当时，的最大值与最小值的差；
（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．
14．如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，直线的解析式为．

（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，的周长最小值是______．
15．如图，开口向下的抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一点．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形的面积为，求的最大值．
16．在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
判断点是否在直线上．并说明理由；
求的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
17．如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB
（1）求证：EF⊥AG；
（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？
（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当，求△PAB周长的最小值．

18．已知直线交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过两点，交x轴于另一点C，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．
（1）求二次函数的表达式；
（2）E为线段BC上不与端点重合的点，直线过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点D，E是线段BC上的两点（E在D的右侧），，过点D作DP∥y轴，交直线BC上方抛物线于点P，过点E作EF⊥x轴于点F，连接FD，FP，当△DFP面积最大时，求点P的坐标及△DFP面积的最大值；
(3)如图2，在（2）取得面积最大的条件下，连接BP，将线段BP沿射线BC方向平移，平移后的线段记为B'P'，G为y轴上的动点，是否存在以B'P'为直角边的等腰Rt△GB'P'？若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．

1．C
【详解】
解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，
2．D
【详解】
由二次函数图形的变换规律得：把二次函数的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为
则与相同
由对称轴得：，解得
当时，由函数得；由函数得
则，即
将，代入得：
整理得：


解得
则m的最大值为6
3．B
【详解】
解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，
∴BP＝B'P，BC＝B'C，
∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，
∴PB＋PM的最小值为B'M的长，
过点B'作B'H⊥AB交H点，

∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∵AB＝6，
∴BC＝3，
∴BB'＝BC＋B'C＝6，
在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，
∴∠BB'H＝30°，
∴BH＝3，
由勾股定理可得：，
∴AH＝AB－BH＝3，
∵AM＝AB，
∴AM＝2，
∴MH＝AH－AM＝1，
在Rt△MHB'中，，
∴PB＋PM的最小值为2，
4．B
【详解】
作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2）
过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，故E（2，-2）
连接BE交x轴与D点
过A’作A’C∥DE交x轴于点C，
∴四边形CDEA’为平行四边形，
此时AC+BD最短等于BE的长，
即AC+BD=A’C+BD=DE+BD=BE==
故选B．

5．B
【详解】
解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，
∴斜边AB＝4，
∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，
∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，
当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CM＝AB＝2，
∵PC＝2，
∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，
故选：B．

6．B
【详解】
连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，
∵正方形的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵点在上且，
∴AE=3，
∴DE=，
∴的周长=5+1=6，
故选：B.

7．9+9
【详解】
作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，

∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM＝AB＝×6＝3，
∴OA＝，
∴CM＝OC＋OM＝＋3，
∴S△ABC＝AB•CM＝×6×（＋3）＝9+9．
故答案为：9+9．
8．-1
【详解】
解：∵关于4x2﹣4mx+m+2＝0的两个实数根，
∴b2﹣4ac＝（-4m）2-4×4（m+2）≥0，
∴m2﹣m﹣2≥0，即，
∴m≥2或m≤﹣1，
∵α+β＝﹣＝m，α•β＝（m+2），
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝m2﹣2×（m+2）＝m2﹣m-1＝（m-）2-，
∴当m＝-1时，α2+β2有最小值，
故答案为-1．
9．3
【详解】
解：过C作CF⊥AB交AD于E，

则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值为CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，
∴BF＝AB＝6＝3，
∴CF＝＝＝3，
∴CE+EF的最小值为3，
故答案为：3．
10．12
【详解】
解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，

∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6 ∴2 ∴2 ∴则的最大值与最小值的差为12．
故答案为：12
11．
【详解】
解：连接AC，CQ，

∵四边形ABCD是菱形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴CQ的长即为AP+PQ的最小值，
∵∠BCD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵Q是AB的中点，
∴CQ⊥AB，BQ=BC=×2=1，
∴CQ=．
故答案为：．
12．（1）见解析；（2）14
【详解】
（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，
∴∠C＝∠DFB＝90°．
∵四边形ABDE是正方形，
∴BD＝AB，∠DBA＝90°，
∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠DBF＝∠CAB，
∴△ABC≌△BDF（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△BDF，
∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，
∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．
如图，连接DN，
∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，
∴AN＝DN．
如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，
由于点P、N分别是AC和BE上的动点，
作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，
所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．

13．（1）；（2）；（3）．
【详解】
解：（1）∵的图象过点，，
∴
解得
∴
（2）由（1）得，二次函数对称轴为
∴当时，y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,
y的最小值为
∴的最大值与最小值的差为；
（3）由题意及（1）得

整理得
即
∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，
∴
化简得
即
解得m≠5
∴a，b为方程的两个解
又∵
∴a=-1，b=4-m
即4-m>3
∴m<1
综上所述，m的取值范围为．
14．（1），；（2）点P坐标为；（3）．
【详解】
解：（1）∵D为的中点，，
∴．
∵四边形是矩形，，
∴D点坐标为．
∵在的图象上，
∴．∴反比例函数解析式为．
当时，．
∴E点坐标为．
∵直线过点和点
∴
解得
∴直线的解析式为．
∴反比例函数解析式为，
直线的解析式为．

（2）作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．
此时的周长最小．∵点D的坐标为，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为．
∵直线经过
∴
解得
∴直线的解析式为．
令，得．
∴点P坐标为．

（3）由（1）(2)知D（1，4），E（2，2），(-1,4).又B(2,4),
∴BD=1,BE=2,B=3.
在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE==.
在Rt△BE中，由勾股定理，得E==.
的周长的最小值为+DE =．
15．（1）；（2）8
【详解】
解：（1）∵A（-1，0），B（2，0），C（0，4），
设抛物线表达式为：，
将C代入得：，
解得：a=-2，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）连接OP，设点P坐标为（m，），m＞0，
∵A（-1，0），B（2，0），C（0，4），
可得：OA=1，OC=4，OB=2，
∴S=S四边形CABP=S△OAC+S△OCP+S△OPB
=
=
当m=1时，S最大，且为8.

16．（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）
【详解】
（1）点在直线上，理由如下：
将A（1，2）代入得，
解得m=1，
∴直线解析式为，
将B（2，3）代入，式子成立，
∴点在直线上；
（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A，C两点，
将A，C两点坐标代入得，
解得：a=-1，b=2；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，
∵顶点在直线上，
∴k=h+1，
令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，
∵-h2+h+1=-（h-）2+，
∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．
17．（1）证明见解析；（2）成立；（3）．
【详解】
试题分析：（1）由正方形的性质得出AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，证出，得出△AEF∽△BAG，由相似三角形的性质得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出∠AOE=90°即可；
（2）证明△AEF∽△BAG，得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；
（3）过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，则MN⊥AD，MN=AB=4，由三角形面积关系得出点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小，此时PA=PB，PM=MN=2，连接EG，则EG∥AB，EG=AB=4，证明△AOF∽△GOE，得出 =，证出 =，得出AM=AE=，由勾股定理求出PA，即可得出答案．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，∵点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB，∴ =， =，∴，∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF=∠BAG，∵∠BAG+∠EAO=90°，∴∠AEF+∠EAO=90°，∴∠AOE=90°，∴EF⊥AG；
（2）解：成立；理由如下：
根据题意得： =，∵ =，∴=，又∵∠EAF=∠ABG，∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF=∠BAG，∵∠BAG+∠EAO=90°，∴∠AEF+∠EAO=90°，∴∠AOE=90°，∴EF⊥AG；
（3）解：过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，如图所示：
则MN⊥AD，MN=AB=4，∵P是正方形ABCD内一点，当S△PAB=S△OAB，∴点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小，此时PA=PB，PM=MN=2，连接EG、PA、PB，则EG∥AB，EG=AB=4，∴△AOF∽△GOE，∴=，∵MN∥AB，∴ =，∴AM=AE=×2=，由勾股定理得：PA= =，∴△PAB周长的最小值=2PA+AB=．

18．（1）；（2）的最小值为．
【详解】
解：（1）∵直线l1：y=-2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，
∴点A(0，10)，点B(5，0)，
∵BC=4，
∴点C(9，0)或点C(1，0)，
∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2，
∴当x≥5时，y随x的增大而增大，
当抛物线过点C(9，0)时，对称轴是直线x=7，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，
当抛物线过点C(1，0)时，对称轴是直线x=3，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，
∴设抛物线解析式为：y=a(x-1)(x-5)，过点A(0，10)，
∴10=5a，
∴a=2，
∴抛物线解析式为：y=2(x-1)(x-5)=2x2-12x+10；
（2）如图，

∵直线过，所以，
又∵直线，
∴，即，所以∠FCE=∠ABE，∠CFE=∠BAE，
∴△FCE∽△ABE，
∴，
设，则，
，
∴，
∴

，
∴当时，的最小值为．
19．(1)
(2)点P的坐标为（2，）时，△PDF的面积最大值为
(3)存在；点G的坐标（0，）或（0，）
(1)
将A（﹣1，0），C（0，3）代入，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为：．
(2)
过点E作EH⊥PD于点H，
令y＝0，得，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，OC＝3，
∴BC＝5，
∵EH⊥PD，BO⊥CO，
∴HE∥OB，
∴∠DEH＝∠CBO，
∴cos∠DEH＝cos∠CBO，即，
∴，
解得：HE＝1，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则
，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
设，，则，
∴，
配方得：，
∵，
∴t＝2时，S△FPD有最大值为，
∴点P的坐标为（2，）时，△PDF的面积最大值为．
(3)
设B'（x，x+3）（x≤4），G（0，y），
∵P（2，），B（4，0），线段BP沿射线BC方向平移，
∴P'（x﹣2，x），
①如图2，当点B'1在y轴右侧，∠G1B'1P'1＝90°时，B'1P'1＝B'1G1，
过点B'1作B'1M1⊥y轴于点M1，过点P'1作P'1N1⊥B'1M1于点N1，则∠P'1N1B'1＝∠B'1M1G1＝90°，∠P'1B'1N1+∠M1B'1G1＝90°，

∴∠P'1B'1N1+∠N1P'1B'1＝90°，
∴∠M1B'1G1＝∠N1P'1B'1，
∴△M1B'1G1≌△N1P'1B'1（AAS），
∴M1G1＝B'1N1，P'1N1＝B'1M1，
∵M1G1x+3﹣y，B'1N1＝2，P'1N1，B'1M1＝x，
∴x+3﹣y＝2，且x4，舍去；
②如图3，当点B'2在y轴右侧，∠G2P'2B'2＝90°时，B'2P'2＝P'2G2，过点P'2作P'2N2⊥y轴于点N2，过点B'2作B'2M2⊥N2P'2的延长线于点M2，则∠P'2N2G2＝∠B'2M2P'2＝90°，

∠P'2B'2M2+∠M2P'2B'2＝90°，
∴∠N2P'2G2+∠M2P'2B'2＝90°，
∴∠N2P'2G2＝∠P'2B'2M2，
∴△N2P'2G2≌△M2B'2P'2（AAS），
∴N2G2＝P'2M2，P'2N2＝B'2M2，
∵N2G2xy，P'2M2＝2，P'2N2＝x﹣2，B'2M2，
∴xy＝2，且x﹣2，
∴x4，y，舍去；
③如图4，当点B'3在y轴左侧，∠G3P'3B'3＝90°时，B'3P'3＝P'3G3，过点P'3作P'3M3⊥y轴于点M3，过点B'3作B'3N3⊥M3P'3于点M3，则∠P'3M3G3＝∠B'3N2P'3＝90°，∠P'3B'3N3+∠N3P'3B'3＝90°，

∴∠M3P'3G3+∠N3P'3B'3＝90°，
∴∠P'3B'3N3＝∠M3P'3G3，
∴△P'3B'3N3≌△G3P'3M3（AAS），
∴M3G3＝P'3N3，P'3M3＝B'3N3，
∵M3G3＝y﹣（x），P'3N3＝2，P'3M3＝﹣（x﹣2），B'2M2，
∴yx2，且2﹣x，
∴x，y，
∴点G3的坐标为（0，）；
④如图5，当点B'4在y轴左侧，∠G4B'4P'4＝90°时，B'4P'4＝B'4G4，过点B'4作B'4N4⊥y轴于点N4，过点P'4作P'4M4⊥N4B'4的延长线于点M4，则∠P'4M4B'4＝∠B'4N4G4＝90°,∠P'4B'4M4+∠N4B'4G4＝90°，

∴∠P'4B'4M4+∠M4P'4B'4＝90°，
∴∠N4B'4G4＝∠M4P'4B'4，
∴△N4B'4G4≌△M4P'4B'4（AAS），
∴N4G4＝B'4M4，P'4M4＝B'4N4，
∵N4G4＝y﹣（x+3），B'4M4＝2，P'4M4，B'4N4＝﹣x，
∴y﹣（x+3）＝2，且﹣x，
∴x，y，
∴点G4的坐标为（0，）；
综上所述，△GB'P'是以B'P'为直角边的等腰直角三角形时，点G的坐标为（0，）或（0，）．