圆与相似三角函数综合问题压轴题--2022年初中数学中考备考考前必刷

这是一份圆与相似三角函数综合问题压轴题--2022年初中数学中考备考考前必刷，共24页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
圆与相似三角函数综合问题压轴题
1．如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结，在（2）的条件下，求的长．

2．如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
3．如图，四边形是⊙的内接矩形，过点的切线与的延长线交于点，连接与交于点，，．

（1）求证：；
（2）设，求的面积（用的式子表示）；
（3）若，求的长．
4．如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．

5．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝，求DM的长．

6．如图，在中，，以为直径的交于点D，于点E，直线于点F，交的延长线于点H．

（1）求证：是的切线；
（2）当时，求的值．
7．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．

(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的长．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E且∠A＝∠ADE.

(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
9．如图，正方形的对角线，相交于点，是边上一点，连接交于点，连接．

(1)求证：≌；
(2)如图，过点作的垂线，交的延长线于点，交于点．
①求证：；
②若，，求的长．
10．已知：如图，AB为⊙O的直径，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，DE与⊙O相切于点D，ED与AB的延长线相交于点F．

(1)求证：AB⊥AC；
(2)求证：AB·DF= AC·BF．
11．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．

(1)求证：AC为⊙O切线．
(2)若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．
12．已知：△ABC内接于半径为2的⊙O，BC=，射线BO交边AC于点E．

(1)如果点E恰好是边AC的中点，求边AB的长；
(2)如果△ABE∽△ACB，求的大小；
(3)当△AEO为等腰三角形时，求的大小．
13．如图，在中，，以为直径作，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．

1．（1）见解析；（2）；（3）
（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；
（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，则∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根据S阴影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，则MB=，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，的半径为2，
，
，
如图，连接，

是的直径，，
，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图，过点作于点，连接，

在中，，，
，
．
2．（1）见解析；（2）
（1）根据，可得，根据对顶角相等可得，进而可得，根据，可得，结合，根据角度的转化可得，进而即可证明是的切线；
（2）根据，可得，设，则，分别求得，进而根据勾股定理列出方程解方程可得，进而根据即可求得．
【详解】
（1），
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是的切线；
（2），
，
，
设，则，
，，
在中，，
即，
解得（舍去），
．
3．（1）见解析；（2）；（3）
（1）由矩形性质可得,然后证明即可得出结论；
（2）根据勾股定理得出，根据相似三角形性质得出，则，根据勾股定理得出的值，运用三角形面积公式表示即可；
（3）记与圆弧交于点，连接，证明，即可得出，求出的值，过作于，过作于．运用等面积法得出，根据勾股定理得出，代入数据联立的值，解方程得出，，设，则，根据相似三角形性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵四边形为的内接矩形，
∴，过圆心，且．
∵,
∴,
又∵是的切线，故，
由此可得，
又∵与都是圆弧所对的圆周角，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：由，，则，
由题意．
由（1）知，则，
代入，，，
可得，解得．
在直角中，，
所以；
（3）解：记与圆弧交于点，连接．

∵，，，
∴．
又，所以，
∴．
∴，故．
由（2）知，由，，则，
由题意可得，
代入数据，，，
得到，解得①．
过作于，过作于．
易知．
由等面积法可得，
代入数据得，即．
在直角三角形中，
．②
由①②可得，得，
解得，（舍去）．
所以，．
由，故，故．
设，则，代入得，
解得，即的长为．
4．（1）相切，见解析；（2）
（1）如图1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．求出OE的长，与半径半径，可得结论．
（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．利用面积法求出BP，可得结论．
【详解】
解：（1）如图1﹣1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，
∴AP＝＝＝5，
∵OH⊥AB，
∴AH＝HB，
∵OA＝OP，AH＝HB，
∴OH＝PB＝，
∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，
∴OE＝EH＝OH＝4﹣＝，
∴OE＝OP，
∴直线CD与⊙O相切．
（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．

∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，
∴△ADE≌△TCE（ASA），
∴AD＝CT＝4，
∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，
∵∠ABT＝90°，
∴AT＝＝＝4，
∵AP是直径，
∴∠AQP＝90°，
∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，
∴PB＝PQ，
设PB＝PQ＝x，
∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，
∴×4×8＝×4×x+×4×x，
∴x＝2﹣2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
5．（1）见解析；（2）
（1）根据圆周角定理和等量代换可得∠BAC＝∠ACD，进而得出AB∥CD，由∠AOD＝90°可得OD⊥CD，从而得出结论；
（2）由tanE＝，可得tan∠ACD＝tan∠OAN＝tanE＝，在直角三角形中由锐角三角函数可求出ON、DN、CD，由勾股定理求出CN，由三角形的面积公式求出DF，再根据圆周角定理可求出∠AMD＝45°，进而根据等腰直角三角形的边角关系求出DM即可．
【详解】
解：（1）∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于F，

∵⊙O的半径为6，tanE＝＝tan∠ACD＝tan∠OAN，
∴ON＝OA＝×6＝2，
∴DN＝OD﹣ON＝6﹣2＝4，
∴CD＝3DN＝12，
在Rt△CDN中，
CN＝＝＝4，
由三角形的面积公式可得，
CN•DF＝DN•CD，
即4DF＝4×12，
∴DF＝，
又∵∠AMD＝∠AOD＝×90°＝45°，
∴在Rt△DFM中，
DM＝DF＝×＝．
6．（1）见详解；（2）
（1）连接OE，先证明∠C=∠OEB，可得OE∥AC，从而得HF⊥OE，进而即可得到答案；
（2）连接AE，由，可得AB =18，AE=，再证明，设HA=x，则HE=x，OH=x-9，根据勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】
（1）证明：连接OE，

∵，
∴∠C=∠ABC，
∵OB=OE，
∴∠ABC=∠OEB，
∴∠C=∠OEB，
∴OE∥AC，
∵，
∴EF⊥OE，即：HF⊥OE，
∴是的切线；
（2）连接AE，

∵AB是的直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，
∵，
∴AB=EB÷=6÷=18，AE=，
∴OA=OE=，
∵OE⊥HF，∠AEB=90°，
∴∠HEB+∠BEO=∠AEO+∠BEO，即：∠HEB=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAO，
∴∠HEB=∠EAO，
又∵∠H=∠H，
∴，
∴，
设HA=x，则HE=x，OH=x-9，
∴在中，HE2+OE2=OH2，即：(x)2+92=( x-9)2，解得：或x=0（舍去），
∴HE=×=，
∴．
7．(1)见解析
(2)，
（1）证，再由，即可得出结论；
（2）先由锐角三角函数定义求出，再由勾股定理求出，然后由角平分线的性质得，最后由平行四边形的性质求解即可．
(1)
证明：，
，
，
四边形是平行四边形；
(2)
解：，
，
，，
，
，
平分，，，
，
由（1）得：四边形是平行四边形，
．
8．(1)见详解
(2)BC的长
（1）连接OD，结合圆的性质，通过角的变换即可得，即可得DE是⊙O的切线；
（2）首先证明AC=2DE=10，在Rt△ADC中，DC=6，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+62，在Rt△ABC中，BC2=（x+8）2-102，可得x2+62=（x+8）2-102，解方程即可解决问题．
(1)
如图：连接OD






∴DE是⊙O的切线
(2)
连结CD，

∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE．
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°．
∴EC是⊙O的切线．
∴DE=EC．
∴AE=EC，
又∵DE=5，
∴AC=2DE=10，
在Rt△ADC中，DC=
设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+62，
在Rt△ABC中，BC2=（x+8）2﹣102，
∴x2+62=（x+8）2﹣102，解得x=，
∴BC=.
9．(1)见解析
(2)①见解析；②
（1）根据正方形的性质可得，，利用即可证明≌；
（2）①根据等角的余角相等得，由（1）知≌，得，等量代换即可解决问题；
根据，得，，则，作于，则，而，再运用的结论即可解题．
(1)
证明：∵四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌．
(2)
，
，
，
，
，
由（1）知≌，
，
，
；
，，
，
，
，，
，
作于，则，
，
，
，
由知，且，
，
．

10．(1)见解析
(2)见解析
（1）连AD，OD，利用AB为⊙O的直径，得到∠ADB=∠ADC=90°，再利用E是AC的中点，证得∠EDA=∠EAD，最后证得∠EDO=∠EAO=90°即可；
（2）先证得△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质可得AB：AC＝BD：AD，再证得△FDB∽△FAD，得到BD：AD＝BF：DF，即可证得结论．
(1)
连AD，OD，

∵DE与⊙O相切于点D，
∴∠EDO=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵E是AC的中点，
∴EA=ED，
∴∠EDA=∠EAD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠EDO=∠EAO=90°，
∴AB⊥AC；
(2)
∵∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠C=∠BAD，
∵∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴AB：AC＝BD：AD，
∵∠FDB+∠BDO=∠BDO+∠ADO=90°，
∴∠FDB=∠ADO=∠OAD，
∵∠F=∠F，
∴△FDB∽△FAD，
∴BD：AD＝BF：DF，
∴AB：AC＝BF：DF，
∴AB•DF=AC•BF．
11．(1)证明见解析
(2)
（1）连接OA，根据已知条件得到∠AOE＝∠BEF，根据平行线的性质得到OA⊥AC，于是得到结论；
（2）连接OF，设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，得到∠BAF＝∠BEF＝2α，得到∠OAF＝∠BAO＝α，求得∠AFO＝∠OAF＝α，根据全等三角形的性质得到AB＝AF＝5，由勾股定理得到AD＝，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
(1)
证明：连接OA，

∴∠AOE＝2∠F，
∵∠BEF＝2∠F，
∴∠AOE＝∠BEF，
∴，
∵DF⊥AC，
∴OA⊥AC，
∴AC为⊙O切线；
(2)
解：连接OF，

∵∠BEF＝，
∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，
∴∠BAF＝∠BEF＝2α，
∵∠B＝∠AFE＝α，
∴∠BAO＝∠B＝α，
∴∠OAF＝∠BAO＝α，
∵OA＝OF，
∴∠AFO＝∠OAF＝α，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴AB＝AF＝5，
∵DF＝4，
∴AD＝，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FDA，
∵∠B＝∠AFD，
∴△ABE∽△DFA，
∴，
∴，
∴BE＝，
∴⊙O半径＝．
12．(1)；
(2)75°；
(3)70°或50°
（1）利用垂径定理得到BE垂直平分AC，即可得到AB=BC；
（2）根据相似三角形的性质得到∠BAE=∠CAB，∠ABE=∠ACB，∠AEB=∠ABC，由OA=OB，得到∠ABO=∠BAO，利用∠AOB=2∠C，得到4∠C=180°，求出∠ACB =45°，得到∠ABE=∠ACB =45°，连接OC，过O作OH⊥BC于H，则BH=CH=BC=，利用三角函数求出∠OBH=30°，即可求出∠ABC；
（3）∠OCB=∠OBH=30°，设∠AEB=x，则∠ACO=∠CAO=x-60°，分三种情况，当AO=AE时， 当AO=EO时， 当AE=OE时，分别列方程求出x，从而得到∠ABC的度数．
(1)
解：∵射线BO交边AC于点E，且点E是AC的中点，
∴BE⊥AC，AE=CE，
∴BE垂直平分AC，
∴AB=BC=；
(2)
∵△ABE∽△ACB，
∴∠BAE=∠CAB，∠ABE=∠ACB，∠AEB=∠ABC，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∵∠AOB=2∠C，∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°，
∴4∠C=180°，
∴∠ACB=45°，∠ABE=∠ACB =45°，
连接OC，过O作OH⊥BC于H，则BH=CH=BC=，
∵OB=2，
∴cos∠OBH=，
∴∠OBH=30°，

∴∠ABC=∠ABE+∠OBH=75°；
(3)
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBH=30°，
设∠AEB=x，则∠ACO=∠CAO=x-60°，
当AO=AE时，∠AOE=∠AEO=x，
x+x+x-60°=180°，解得x=80°，
∴∠ABO=40°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=70°；
当AO=EO时，∠EAO=∠AEO=x-60°，

x=x-60°，无解；
当AE=OE时，∠EAO=∠AOE=x-60°，
2（x-60°）+x=180°，
解得x=100°，
∴∠ABO=20°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=50°；
综上，∠ABC的度数为70°或50°．
13．(1)见解析
(2)3
（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；
（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．
(1)
解：如图，连接OD、CD．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，即△BCD是直角三角形，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=DE，
∴∠CDE=∠DCE，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCD+∠DCE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

(2)
解：设⊙O的半径为r，
∵∠ODF=90°，
∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，
解得：r=3，
∴⊙O的半径为3．