高考专题1 第2讲基本初等函数、函数与方程（学生版）

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考点一基本初等函数的图象与性质
1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分01两种情况，着重关注两函数图象的异同．
2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，eq \f(1,2)，－1五种情况．
【热点突破】
【典例】1 (1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
(2)已知函数f(x)＝ex＋2(x<0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,e))) B．(－∞，e)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,e)，e)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－e，\f(1,e)))
【拓展训练】1 (1)函数f(x)＝ln(x2＋2)－ex－1的大致图象可能是( )
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－eq \f(1,2)的解集是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
【要点提炼】
考点二函数的零点
判断函数零点个数的方法：
(1)利用零点存在性定理判断法．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
考向1 函数零点的判断
【典例】2 (1)(2020·长沙调研)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xex，x≤0，,2－|x－1|，x>0，))若函数g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点x1，x2，则x1＋x2等于( )
A．2 B．2或2＋eq \f(1,e)
C．2或3 D．2或3或2＋eq \f(1,e)
(2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))x－1，则关于x的方程f(x)－lg8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【特点突破】
考向2 求参数的值或取值范围
【典例】3 (1)已知关于x的方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有实数根，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3，x>a，,x2＋6x＋3，x≤a，))若函数g(x)＝f(x)－2x恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为____________________．
【拓展训练】2 (1)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,－\f(1,x)，x<0，))则y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．1 B．3 C．2 D．4
(2)(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2a，x<0，,x2－ax，x≥0，))若关于x的方程f(f(x))＝0有8个不同的实根，则a的值可能为( )
A．－6 B．8 C．9 D．12
专题训练
一、单项选择题
1．(2020·全国Ⅰ)设alg34＝2，则4－a等于( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,9) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,6)
2．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点一定位于区间( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax和g(x)＝lga(x＋2)(a>0且a≠1)的大致图象可能为( )
4．(2020·广东省揭阳三中模拟)已知a，b，c满足4a＝6，b＝，c3＝eq \f(3,5)，则( )
A．aC．c5．(2020·全国Ⅲ)Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病典例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：I(t)＝eq \f(K,1＋e－0.23t－53)，其中K为最大确诊病典例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63 C．66 D．69
6．(2020·泉州模拟)若函数y＝lga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )
A．1C．07．(2020·太原质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x>0，,－2x2＋4x＋1，x≤0))
(e为自然对数的底数)，若函数g(x)＝f(x)＋kx恰好有两个零点，则实数k等于( )
A．－2e B．e C．－e D．2e
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，x＝0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))|x|＋1，x≠0，))若关于x的方程2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五个不同的解，则a的取值范围是( )
A．(1,2) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
二、多项选择题
9．(2020·临沂模拟)若10a＝4,10b＝25，则( )
A．a＋b＝2 B．b－a＝1
C．ab>8lg22 D．b－a>lg 6
10．已知函数f(x)＝lga(x＋1)，g(x)＝lga(1－x)，a>0，a≠1，则( )
A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)
B．函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称
C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0
D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数
11．(2020·淄博模拟)已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－1.给出下列结论，其中正确的是( )
A．f(2)＝0
B．点(4,0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心
C．函数y＝f(x)在区间[－6，－2]上单调递增
D．函数y＝f(x)在区间[－6,6]上有3个零点
12．对于函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin πx，x∈[0，2]，,\f(1,2)fx－2，x∈2，＋∞，))则下列结论正确的是( )
A．任取x1，x2∈[2，＋∞)，都有|f(x1)－f(x2)|≤1
B．函数y＝f(x)在[4,5]上单调递增
C．函数y＝f(x)－ln(x－1)有3个零点
D．若关于x的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝eq \f(13,2)
三、填空题
13．(2019·全国Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________.
14．已知函数f(x)＝|lg x|，若f(a)＝f(b)(a≠b)，则函数g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2\r(2)x＋5，x≤0，,\f(ax2＋2b,x)，x>0))的最小值为________．
15．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2x,x＋1)，x∈[0，1，,1－|x－3|，x∈[1，＋∞，))则函数F(x)＝f(x)－eq \f(1,π)的所有零点之和为________．
16．对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x∈R|f(x)＝0}，μ∈{x∈R|g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex－2＋x－3与g(x)＝x2－ax－x＋4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是________．