高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆第1课时教案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆第1课时教案，共12页。教案主要包含了椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系等内容，欢迎下载使用。

§3.1 椭 圆
3．1.1 椭圆的标准方程
第1课时 椭圆的标准方程
学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标准方程.4.会判断直线与椭圆的位置关系．
导语
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
一、椭圆的定义
问题1 在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点，如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
知识梳理
椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆(ellipse)，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点(fcus)，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距(fcal distance)．
注意点：
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．
(2)定值必须大于两定点的距离．
(3)当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段．
(4)当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在．
例1 命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则PA＋PB＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．
反过来，若PA＋PB＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为仅当2a>AB时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；当2a综上，甲是乙的必要不充分条件．
反思感悟 如果能确定动点运动的轨迹满足某种椭圆的定义，则可以求出a，b，直接写出其方程．
跟踪训练1 (多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且PA＋PB＝2a(a≥0)，给出下列说法中正确的是( )
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
答案 AC
解析 当a＝2时，2a＝4AB，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为AB＝6，B错误，C正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，D错误．
二、椭圆的标准方程
问题2 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示 以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图，则F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)．
设P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a，
即eq \r(x＋c2＋y2)＋eq \r(x－c2＋y2)＝2a.
将这个方程移项后两边平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2－4aeq \r(x－c2＋y2)＋(x－c)2＋y2，
整理得a2－cx＝aeq \r(x－c2＋y2).
两边再平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．
因为a2－c2>0，所以可设a2－c2＝b2(b>0)，
于是得b2x2＋a2y2＝a2b2，两边同除以a2b2，得eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1.
由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上．
这样，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)的椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
类似地，在如图所示的直角坐标系中，我们可以得到焦点F1(0，－c)，F2(0，c)的椭圆的方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．以上两种方程都叫作椭圆的标准方程．
知识梳理
椭圆的标准方程
注意点：
焦点位置由a2，b2的大小确定．
例2 根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26；
(2)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上；
(3)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝eq \r(6).
解 (1)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5.
∴b2＝a2－c2＝144.
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,169)＋eq \f(x2,144)＝1.
(2)设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
∵焦点在x轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1，
又椭圆经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，
∴eq \f(1,b2＋1)＋eq \f(\f(9,4),b2)＝1，解得b2＝3，∴a2＝4.
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(3)∵c＝eq \r(6)，∴a2－b2＝c2＝6.①
又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6，
∴b2＝2，∴a2＝8.
又∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
反思感悟 利用待定系数法求椭圆的标准方程
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论．
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在x轴上，且a＝4，c＝2；
(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2))).
解 (1)∵a2＝16，c2＝4，∴b2＝16－4＝12，
且焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
(2)椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义，知2a＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2))2)＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－2))2)＝eq \f(3\r(10),2)＋eq \f(\r(10),2)＝2eq \r(10)，
∴a＝eq \r(10).
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.
∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1.
三、直线与椭圆的位置关系
知识梳理
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程：
注意点：
设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况．
例3 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点？
解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋m， ①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1， ②))
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3eq \r(2)于是，当－3eq \r(2)(2)由Δ＝0，得m＝±3eq \r(2).
也就是当m＝±3eq \r(2)时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)由Δ<0，得m<－3eq \r(2)或m>3eq \r(2).
从而当m<－3eq \r(2)或m>3eq \r(2)时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
反思感悟 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题．
跟踪训练3 已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，则直线l与椭圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
答案 C
解析 由题意知，l：x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0,1)，
因为eq \f(02,4)＋eq \f(12,3)<1，
所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交．
1．知识清单：
(1)椭圆的定义及其应用．
(2)椭圆的标准方程．
(3)直线与椭圆的位置关系．
2．方法归纳：待定系数法．
3．常见误区：忽视椭圆定义中a，b，c的关系；混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程．
1．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1＋PF2等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
答案 D
2．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．圆 D．以上都不对
答案 B
解析 MF1＋MF2＝F1F2＝4，∴点M的轨迹为线段F1F2.
3．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
答案 A
解析 把x＋y－3＝0代入eq \f(x2,4)＋y2＝1，
得eq \f(x2,4)＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
∴直线与椭圆相离．
4．在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________．
答案 4eq \r(3)
解析 把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a，即4eq \r(3).
课时对点练
1．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,169)＝1的焦点坐标是( )
A．(±5,0) B．(0，±5)
C．(0，±12) D．(±12,0)
答案 C
解析 椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，
所以c2＝a2－b2＝144，
所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12)．
2．直线y＝x＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
答案 A
解析 方法一 直线过点(0,1)，而0＋eq \f(1,4)<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．
方法二 联立直线与椭圆的方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))消去y得9x2＋10x－15＝0，
Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交．
3．设定点F1(0，－2)，F2(0,2)，动点P满足条件PF1＋PF2＝m＋eq \f(4,m)(m>2)，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．椭圆或线段 D．不存在
答案 A
解析 设y＝m＋eq \f(4,m)(m>2)，易知y＝m＋eq \f(4,m)在(2，＋∞)上为增函数，所以y＝m＋eq \f(4,m)>4，即PF1＋PF2>4，又F1F2＝4，所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆．
4．“2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 若方程eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))解得2所以“25．若椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,4)＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B
解析 根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝2×5＝10，因为PF1＝3，所以PF2＝7.
6．如果方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a>3 B．a<－2
C．a>3或a<－2 D．a>3或－6答案 D
解析 由a2>a＋6>0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a－6>0，,a＋6>0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<－2或a>3，,a>－6，))所以a>3或－67．设P为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则PF1·PF2的最大值是________．
答案 9
解析 PF1＋PF2＝2a＝6，
PF1·PF2≤eq \f(PF1＋PF22,4)＝9，
当且仅当PF1＝PF2＝3时取等号．
8．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq \r(15)，则此椭圆的标准方程为________．
答案 eq \f(y2,16)＋x2＝1
解析 由已知2a＝8,2c＝2eq \r(15)，
所以a＝4，c＝eq \r(15)，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋x2＝1.
9.如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．
解 由垂直平分线的性质可知MQ＝MA，
∴CM＋MA＝CM＋MQ＝CQ，∴CM＋MA＝5.
∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1,0)，A(1,0)，
∴a＝eq \f(5,2)，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝eq \f(25,4)－1＝eq \f(21,4).
∴所求点M的轨迹方程为eq \f(x2,\f(25,4))＋eq \f(y2,\f(21,4))＝1，
即eq \f(4x2,25)＋eq \f(4y2,21)＝1.
10．求直线y＝x＋1与椭圆x2＋eq \f(y2,2)＝1的公共点的坐标．
解 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,x2＋\f(y2,2)＝1，))消去y，得3x2＋2x－1＝0，
解得x＝－1或x＝eq \f(1,3).
∴所求公共点的坐标为(－1,0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3))).
11．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON(O为坐标原点)的值为( )
A．8 B．2 C．4 D.eq \f(3,2)
答案 C
解析 由椭圆定义知MF1＋MF2＝2a＝10，又MF1＝2，所以MF2＝8，由于N为MF1的中点，所以ON为△F1MF2的中位线，所以ON＝eq \f(1,2)MF2＝4.
12．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若AB＝5，则AF1＋BF1等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 C
解析 根据椭圆定义，AF1＋AF2＝2a＝8，BF1＋BF2＝2a＝8，
所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB＝16，
所以AF1＋BF1＝16－AB＝11.
13．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，方程x2sin α＋y2cs α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
答案 A
解析 易知sin α≠0，cs α≠0，方程x2sin α＋y2cs α＝1可化为eq \f(x2,\f(1,sin α))＋eq \f(y2,\f(1,cs α))＝1.因为椭圆的焦点在y轴上，所以eq \f(1,cs α)>eq \f(1,sin α)>0，即sin α>cs α>0.又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以eq \f(π,4)<α14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，则eq \f(sin A＋sin C,2sin B)＝________.
答案 eq \f(5,6)
解析 由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.
∵△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，
∴BC＋AB＝2a＝10，
∴由正弦定理可知eq \f(sin A＋sin C,2sin B)＝eq \f(BC＋BA,2AC)＝eq \f(2a,4c)＝eq \f(5,6).
15．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)2＋y2＝1和圆B：(x－4)2＋y2＝1上的点，则PM＋PN的最小值、最大值分别为( )
A．9,12 B．8,11
C．8,12 D．10,12
答案 C
解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知PA＋PB＝2a＝10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，此时PM＋PN最小，最小值为PA＋PB－2r＝8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M′，N′两点，此时PM＋PN最大，最大值为PA＋PB＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8,12.
16．已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0(a≠4)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋8y2＝8，,x－y＋a＝0，))
消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，
它们之间的距离即为所求最短距离，
且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离为d＝eq \f(|4－3|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋8y2＝8，,x－y＋3＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(8,3)，,y＝\f(1,3)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,3)，\f(1,3))).焦点位置
在x轴上
在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0