2021学年3.1 椭圆第2课时教案及反思

这是一份2021学年3.1 椭圆第2课时教案及反思，共14页。教案主要包含了椭圆方程的设法，椭圆定义的应用，与椭圆有关的轨迹问题等内容，欢迎下载使用。

一、椭圆方程的设法
例1 求下列椭圆的方程．
(1)过(－3,2)且与eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点；
(2)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2))).
解 (1)方法一 由方程eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1可知，其焦点的坐标为(±eq \r(5)，0)，即c＝eq \r(5).
设所求椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则a2＝b2＋5，因为过点(－3,2)，代入方程为eq \f(9,a2)＋eq \f(4,a2－5)＝1(a＞b＞0)，
解得a2＝15(a2＝3舍去)，b2＝10，
故椭圆的标准方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1.
方法二 设椭圆方程为eq \f(x2,9＋m)＋eq \f(y2,4＋m)＝1(m>－4)．
将点(－3,2)代入方程得eq \f(9,9＋m)＋eq \f(4,4＋m)＝1，解得m＝6.
故椭圆的标准方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1.
(2)方法一 ①当椭圆的焦点在x轴上时，
设标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4)，))
因为a＞b＞0，所以方程组无解．
②当椭圆的焦点在y轴上时，
设标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2,a2)＋0＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5)，))
所以所求方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1.
方法二 设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝5，,n＝4，))
故所求方程为5x2＋4y2＝1，即eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1.
反思感悟 求椭圆方程时，如果明确椭圆的焦点在x轴上，那么设所求的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)；
如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)；
如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，进而求解．
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))；
(2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同的焦点．
解 (1)方法一 (分类讨论法)若焦点在x轴上，
设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝8，,b2＝4.))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
若焦点在y轴上，
设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2＝8，,a2＝4.))
则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
方法二 (待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))代入，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)方法一 因为所求椭圆与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(eq \r(3)，－eq \r(5))在椭圆上，所以eq \f(－\r(5)2,a2)＋eq \f(\r(3)2,b2)＝1，
即eq \f(5,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
方法二 设椭圆方程为eq \f(y2,25＋m)＋eq \f(x2,9＋m)＝1(m>－9)，
将(eq \r(3)，－eq \r(5))代入方程，解得m＝－5，
∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
二、椭圆定义的应用
例2 设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,\f(75,4))＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解 由椭圆方程知，a2＝25，b2＝eq \f(75,4)∴c2＝eq \f(25,4)，
∴c＝eq \f(5,2)，2c＝5.
在△PF1F2中，
F1Feq \\al(2,2)＝PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)－2PF1·PF2cs 60°，
即25＝PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)－PF1·PF2.①
由椭圆的定义，得10＝PF1＋PF2，
即100＝PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)＋2PF1·PF2.②
由②－①，得3PF1·PF2＝75，
所以PF1·PF2＝25，
所以＝eq \f(1,2)PF1·PF2·sin 60°＝eq \f(25\r(3),4).
延伸探究
1．将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“∠F1PF2＝30°”，其余条件不变，求△F1PF2的面积．
解 由椭圆方程知，a2＝25，b2＝eq \f(75,4)，
∴c2＝eq \f(25,4)，
∴c＝eq \f(5,2)，2c＝5.
在△PF1F2中，
F1Feq \\al(2,2)＝PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)－2PF1·PF2·cs 30°，
即25＝PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)－eq \r(3)PF1·PF2.①
由椭圆的定义得10＝PF1＋PF2，
即100＝PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)＋2PF1·PF2.②
由②－①，得(2＋eq \r(3))PF1·PF2＝75，
所以PF1·PF2＝75(2－eq \r(3))，
所以＝eq \f(1,2)PF1·PF2·sin 30°＝eq \f(75,4)(2－eq \r(3))．
2．将椭圆的方程改为“eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1”其余条件不变，求△F1PF2的面积．
解 PF1＋PF2＝2a＝20，又F1F2＝2c＝12.
由余弦定理知，
(2c)2＝PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)－2PF1·PF2·cs 60°，
即144＝(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2，
所以PF1·PF2＝eq \f(256,3)，
所以＝eq \f(1,2)PF1·PF2·sin 60°＝eq \f(64\r(3),3).
反思感悟 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若PF1＋PF2＝2a(2a＞F1F2)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
跟踪训练2 (1)已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1∶PF2等于( )
A．3∶5 B．3∶4
C．5∶3 D．4∶3
(2)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
答案 (1)C (2)eq \f(3\r(3),5)
解析 (1)依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有PFeq \\al(2,1)－PFeq \\al(2,2)＝4c2＝16，又根据椭圆定义知PF1＋PF2＝8，所以PF1－PF2＝2，
从而PF1＝5，PF2＝3，即PF1∶PF2＝5∶3.
(2)由eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，可知a＝2，b＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(a2－b2)＝1，从而F1F2＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得PFeq \\al(2,2)＝PFeq \\al(2,1)＋F1F22－2PF1·F1F2cs∠PF1F2，即PFeq \\al(2,2)＝PFeq \\al(2,1)＋4＋2PF1.①
由椭圆定义得PF1＋PF2＝2a＝4.②
由①②联立可得PF1＝eq \f(6,5).
所以＝eq \f(1,2)PF1·F1F2sin∠PF1F2＝eq \f(1,2)×eq \f(6,5)×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),5).
三、与椭圆有关的轨迹问题
例3 点B是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上的动点，A(2a,0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解 设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x0＋2a,2)＝x，,\f(y0＋0,2)＝y))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－2a，,y0＝2y，))
即点B的坐标可表示为(2x－2a,2y)．
又点B(x0，y0)在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上，
∴eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，从而有eq \f(2x－2a2,a2)＋eq \f(2y2,b2)＝1.
整理得动点M的轨迹方程为eq \f(4x－a2,a2)＋eq \f(4y2,b2)＝1.
反思感悟 相关点代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)．
(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.
(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程．
(4)化简方程得所求方程．
跟踪训练3 已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程．
解 (1)依题意，可设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
若点F(2,0)为其右焦点，则其左焦点为F′(－2,0)，
从而有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝2，,2a＝AF＋AF′＝3＋5＝8，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝2，,a＝4，))
又a2＝b2＋c2，∴b2＝12，
故椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，
∵Q为PF的中点，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋2,2)，,y＝\f(y0,2)))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－2，,y0＝2y，))
又P是eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1上的动点，
∴eq \f(2x－22,16)＋eq \f(4y2,12)＝1，
即Q点的轨迹方程是eq \f(x－12,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
1．知识清单：
(1)椭圆方程的设法．
(2)椭圆定义的应用．
(3)与椭圆有关的轨迹．
2．方法归纳：数形结合、待定系数法、分类讨论法．
3．常见误区：漏掉验证曲线方程的完备性．
1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1 D.eq \f(y2,4)＋x2＝1
答案 A
解析 由椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)可知，
椭圆的焦点在x轴上，且c＝1.
又点P(2,0)在椭圆上，
∴a＝2.
由a2＝b2＋c2可得，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线
答案 B
解析 设椭圆的右焦点为F2，
由题意，知PO＝eq \f(1,2)MF2，PF1＝eq \f(1,2)MF1，
又MF1＋MF2＝2a，
所以PO＋PF1＝a>F1O＝c，
故由椭圆的定义，知P点的轨迹是椭圆．
3．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大值为12，则椭圆方程为____________________．
答案 eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
解析 如图，当P在y轴上时
△PF1F2的面积最大，
∴eq \f(1,2)×8b＝12，∴b＝3.
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
4．已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2＝________.
答案 120°
解析 由椭圆的定义知a2＝9，b2＝2，
∴a＝3，c2＝a2－b2＝7，即c＝eq \r(7)，
∴F1F2＝2eq \r(7).
∵PF1＝4，
∴PF2＝2a－PF1＝2.
∴cs∠F1PF2＝eq \f(PF\\al(2,1)＋PF\\al(2,2)－F1F\\al(2,2),2×PF1×PF2)
＝eq \f(42＋22－2\r(7)2,2×4×2)＝－eq \f(1,2)，
又0°<∠F1PF2<180°.
∴∠F1PF2＝120°.
课时对点练
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2eq \r(3) B．6 C．4eq \r(3) D．12
答案 C
解析 设在BC边上的另一个焦点为F，利用椭圆的定义，BA＋BF＝2eq \r(3)，CA＋CF＝2eq \r(3)，便可求得△ABC的周长为4eq \r(3).
2．已知m>0，则“m＝3”是“椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,5)＝1的焦距为4”的( )
A．充要不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由题意知2c＝4，∴c＝2.
若焦点在x轴上，则c2＝m2－5＝4，
又m>0，∴m＝3；
若焦点在y轴上，则c2＝5－m2＝4，
又m>0，∴m＝1.
因此“m＝3”是“椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,5)＝1的焦距为4”的充分不必要条件，故选A.
3．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)
C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,6)＝1(x≠0)
答案 B
解析 由△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，可得AB＋AC＝12>BC，所以顶点A的轨迹为椭圆，其中2a＝12,2c＝8，所以a＝6，c＝4.所以b2＝a2－c2＝20，方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1.因为A，B，C三点构成三角形，三点不能共线，所以x≠0，故点A的轨迹方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,36)＝1(x≠0)．
4．已知椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(y2,25)＋x2＝1 B.eq \f(x2,25)＋y2＝1或x2＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,25)＋y2＝1 D．以上都不对
答案 A
解析 设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,25)A＋16B＝1，,\f(16,25)A＋9B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝1，,B＝\f(1,25).))
所以此椭圆的标准方程为eq \f(y2,25)＋x2＝1.
5．椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )
A．±eq \f(3,4) B．±eq \f(\r(2),2) C．±eq \f(\r(3),2) D．±eq \f(\r(3),4)
答案 D
解析 如图，当点P在x轴上方时，OM为△PF1F2的中位线，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(\r(3),2)))，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),4))).同理，当点P在x轴下方时，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(\r(3),4)))，故选D.
6.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2eq \r(5)，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,30)＋eq \f(y2,10)＝1 D.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,25)＝1
答案 B
解析 设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示．因为F(－2eq \r(5)，0)为C的左焦点，所以c＝2eq \r(5).由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得PF′＝eq \r(FF′2－PF2)＝eq \r(4\r(5)2－42)＝8.由椭圆定义，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2eq \r(5))2＝16，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1.
7．P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))，则动点Q的轨迹方程是________．
答案 eq \f(x2,4a2)＋eq \f(y2,4b2)＝1
解析 设Q(x，y)，
∵eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)，－\f(y,2)))，
∵P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上的任意一点，
∴eq \f(\f(x2,4),a2)＋eq \f(\f(y2,4),b2)＝1，∴eq \f(x2,4a2)＋eq \f(y2,4b2)＝1.
8.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8eq \r(7) 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米．
答案 32
解析 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,36)＝1，
当点(4eq \r(7)，4.5)在椭圆上时，eq \f(16×7,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))2,36)＝1，
解得a＝16，
∵车辆高度不超过4.5米，
∴a≥16，d＝2a≥32，
故拱宽至少为32米．
9．已知椭圆eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且PF1－PF2＝1，求∠F1PF2的余弦值．
解 (1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，
所以a2－eq \f(3,4)a2＝1，即eq \f(1,4)a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，
故椭圆的标准方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1.
(2)由于点P在椭圆上，所以PF1＋PF2＝2a＝2×2＝4.又PF1－PF2＝1，所以PF1＝eq \f(5,2)，PF2＝eq \f(3,2).又F1F2＝2c＝2，所以由余弦定理得cs ∠F1PF2＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2－22,2×\f(5,2)×\f(3,2))＝eq \f(3,5).
故∠F1PF2的余弦值等于eq \f(3,5).
10．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明EA＋EB为定值，并写出点E的轨迹方程．
解 圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1,0)，如图所示，
因为AD＝AC，所以∠ACD＝∠ADC.
因为EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.
所以EB＝ED，
故EA＋EB＝EA＋ED＝AD.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而AD＝4，
所以EA＋EB＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)．AB＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝1，
所以a2＝4，b2＝3，
所以点E的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)．
11．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则△F1PF2的面积为( )
A．9 B．12 C．10 D．8
答案 A
解析 ∵eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，∴PF1⊥PF2.
∴PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)＝F1Feq \\al(2,2)且PF1＋PF2＝2a.
又a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(PF\\al(2,1)＋PF\\al(2,2)＝64， ①,PF1＋PF2＝10. ②))
由②2－①，得2PF1·PF2＝36，
∴PF1·PF2＝18，
∴△F1PF2的面积为S＝eq \f(1,2)·PF1·PF2＝9.
12．已知F是椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的左焦点，P为C上一点，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(4,3)))，则PA＋PF的最小值为( )
A.eq \f(10,3) B.eq \f(11,3) C．4 D.eq \f(13,3)
答案 D
解析 由椭圆的方程可知，a＝3，c＝eq \r(a2－b2)＝2.如图所示，设F2是椭圆的右焦点，由椭圆的定义可知，PF＋PF2＝2a＝6，所以PA＋PF＝PA＋6－PF2＝6－(PF2－PA)，所以求PA＋PF的最小值，也就是求PF2－PA的最大值．由图易知，当P，A，F2三点共线时，PF2－PA取得最大值，此时(PF2－PA)max＝AF2＝eq \f(5,3)，所以PA＋PF的最小值为6－eq \f(5,3)＝eq \f(13,3).
13．(多选)已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是( )
A．MF2的最大值大于3
B．MF1·MF2的最大值为4
C．∠F1MF2的最大值为60°
D．若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A，B两点，P为l上满足PA·PB＝2的点，则点P的轨迹方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(2y2,3)＝1或eq \f(x2,6)＋eq \f(2y2,9)＝1
答案 BCD
解析 由椭圆方程得a2＝4，b2＝3，∴c2＝1，
因此F1(－1,0)，F2(1,0)．
选项A中，(MF2)max＝a＋c＝3，A错误；
选项B中，MF1·MF2≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(MF1＋MF2,2)))2＝4，当且仅当MF1＝MF2时取等号，B正确；
选项C中，当点M在y轴上时，∠F1MF2取得最大值，取M(0，eq \r(3))，则taneq \f(∠F1MF2,2)＝eq \f(\r(3),3)，
∴eq \f(∠F1MF2,2)＝30°，
∴∠F1MF2的最大值为60°，C正确；
选项D中，设P(x，y)，A(x1，y)，B(－x1，y)，
∵PA·PB＝2，
∴|x－x1|·|x＋x1|＝2，
∴|x2－xeq \\al(2,1)|＝2，即x2＝xeq \\al(2,1)＋2或x2＝xeq \\al(2,1)－2.
又由题意知eq \f(x\\al(2,1),4)＋eq \f(y2,3)＝1，
∴eq \f(x2－2,4)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(x2＋2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，
化简得eq \f(x2,6)＋eq \f(2y2,9)＝1或eq \f(x2,2)＋eq \f(2y2,3)＝1，D正确．
14．已知椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 AN＋BN＝________.
答案 12
解析 取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有GF1＝eq \f(1,2)AN，GF2＝eq \f(1,2)BN，所以AN＋BN＝2(GF1＋GF2)＝4a＝12.
15．若点P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则cs∠F1PF2的最小值为( )
A．－eq \f(5,9) B．－eq \f(1,9)
C.eq \f(1,9) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 由椭圆的定义，可得PF1＋PF2＝6，F1F2＝2eq \r(5)，
∴cs∠F1PF2＝eq \f(PF\\al(2,1)＋PF\\al(2,2)－F1F\\al(2,2),2PF1·PF2)
＝eq \f(62－2\r(5)2－2PF1·PF2,2PF1·PF2)
＝eq \f(8,PF1·PF2)－1.
又PF1＋PF2＝6≥2eq \r(PF1·PF2)，
∴PF1·PF2≤9，
∴eq \f(8,PF1·PF2)－1≥eq \f(8,9)－1＝－eq \f(1,9)，当且仅当PF1＝PF2＝3时等号成立，
∴cs∠F1PF2的最小值为－eq \f(1,9)，故选B.
16．(1)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，求PF1·PF2的最大值；
(2)已知A(1,1)，F1是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，点P是椭圆上的动点，求PA＋PF1的最大值和最小值．
解 (1)∵a＝10,20＝PF1＋PF2≥2eq \r(PF1·PF2)，当且仅当PF1＝PF2时取等号，
∴PF1·PF2≤100，当且仅当PF1＝PF2时取等号，
∴PF1·PF2的最大值为100.
(2)设F2为椭圆的右焦点，5x2＋9y2＝45可化为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1，由已知，得PF1＋PF2＝2a＝6，
∴PF1＝6－PF2，
∴PA＋PF1＝6－(PF2－PA)．
①当PA>PF2时，有0②当PA综上，可知PA＋PF1的最大值为6＋eq \r(2)，最小值为6－eq \r(2).