数学4.1 数列第1课时教案

这是一份数学4.1 数列第1课时教案，共11页。教案主要包含了数列的概念与分类，数列的通项公式，数列的图象等内容，欢迎下载使用。

第1课时 数列的概念及通项公式
学习目标 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的项，并结合数列的函数特征画出数列的图象．
导语
同学们，生活中我们经常有这样的经历，比如，你在某地摊上相中了一件商品，你问老板：怎么卖的？老板说：100元一个，你说：20卖不卖？只见老板气的脸都绿了，但也忍着说：不卖，最低90；你说：老板，你看我一个学生，也没多少钱，30吧；老板说：赔钱反正不能卖，你如果想要，最低80，不能再少了；你说：薄利多销啊老板，40怎么样，不卖走了；…同学们，在你们的讨价还价中，按照你们所说的数字的先后顺序产生了一组非常有意思的数：100,20,90,30,80,40…这就是我们今天要研究的数列．
一、数列的概念与分类
问题1 观察以下几列数：
①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2 401,16 807；
②战国时期庄周引用过一句话：一尺之捶，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，…；
③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023,2 023，…，2 023；
④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…；
⑤－eq \f(1,2)的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，…；
你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？
提示 共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化．
知识梳理
1．一般地，我们把按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫作这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫作这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫作首项．
2. 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
3.
注意点：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))表示一个数列，an表示数列中的第n项．
例1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…；
(2)2,4,6,8,10，…；
(3)7,7,7,7，…；
(4)eq \f(1,3)，eq \f(1,9)，eq \f(1,27)，eq \f(1,81)，…；
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；
(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
解 (5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列．
反思感悟 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．
(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．
跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？
(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；
(2)0，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，…，eq \f(n－1,n)，…；
(3)1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,2n－1)，…；
(4)－eq \f(1,1×2)，eq \f(1,2×3)，－eq \f(1,3×4)，eq \f(1,4×5)，…；
(5)1,0，－1，…，sin eq \f(nπ,2)，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
解 (1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列．
二、数列的通项公式
问题2 我们发现问题1中的①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？
提示 对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，4，5))；
对于②，an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1，n∈N*；
对于③，an＝2 023，n∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x是本班学生的学号))))；
对于⑤，an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n，n∈N*.
知识梳理
一般地，如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
注意点：(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)有些数列的通项公式，表达形式不唯一．
例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－1，eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，eq \f(1,4)；
(2)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8；
(3)0,1,0,1；
(4)9,99,999,9 999.
解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(－1n,n)，n∈N*.
(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，…，
所以它的一个通项公式为an＝eq \f(n2,2)，n∈N*.
(3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，n为奇数，,1，n为偶数，))由第(1)题也可以写成an＝eq \f(1＋－1n,2)(n∈N*)或an＝eq \f(1＋cs nπ,2)(n∈N*)．
(4)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.
延伸探究
1．试写出前4项为：1,11,111,1111，…的一个通项公式．
解 由本例的第(4)题可知，每一项除以9即可，即an＝eq \f(1,9)(10n－1)，n∈N*.
2．试写出前4项为7,77,777,7777，…的一个通项公式．
解 由上式中的每一项乘7即可，即an＝eq \f(7,9)(10n－1)，n∈N*.
反思感悟 根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号．
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
跟踪训练2 写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：
(1)1,3,7,15,31，…；
(2)eq \f(1,2)，eq \f(4,5)，eq \f(9,10)，eq \f(16,17)，eq \f(25,26)，…；
(3)－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，…；
(4)2×3,3×4,4×5,5×6，…；
解 (1)由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，…
可得an＝2n－1.
(2)由eq \f(1,2)＝eq \f(1,12＋1)，eq \f(4,5)＝eq \f(22,22＋1)，eq \f(9,10)＝eq \f(32,32＋1)，eq \f(16,17)＝eq \f(42,42＋1)，eq \f(25,26)＝eq \f(52,52＋1)，…
可得an＝eq \f(n2,n2＋1).
(3)由－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，…可知奇数项为负数，偶数项为正数，
可得an＝(－1)n×eq \f(1,2).
(4)由2×3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋1))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋2))，3×4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋1))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2))，4×5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋1))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋2))，5×6＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋1))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋2))，…
可得an＝(n＋1)(n＋2)．
三、数列的图象
例3 已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：
(1)an＝(－1)n·n；(2)an＝n2.
解 列表法给出这两个数列的前5项：
它们的图象为：
反思感悟 基于数列的函数特点，数列可以看成以正整数n为自变量的函数，其通项公式可以看成解析式，则数列也可用列表与图象来进行表示．
跟踪训练3 已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：
(1)an＝3n＋1；(2)an＝2n－1.
解 列表法给出这两个数列的前5项：
它们的图象为：
1．知识清单：
(1)数列的概念与分类．
(2)数列的通项公式．
(3)数列的图象．
2．方法归纳：观察法、归纳法、猜想法．
3．常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系．
1．下列说法正确的是( )
A．数列中不能重复出现同一个数
B．1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列
C．1,1,1,1不是数列
D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
答案 D
解析 由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A，C不正确；
B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1＋－1n＋1,2)，n∈N*，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2)，0 D．2,0,2,0
答案 A
解析 把n＝1,2,3,4依次代入通项公式，得a1＝eq \f(1＋－11＋1,2)＝1，a2＝eq \f(1＋－12＋1,2)＝0，a3＝eq \f(1＋－13＋1,2)＝1，a4＝eq \f(1＋－14＋1,2)＝0.
3．数列1,1,2,3，x,8,13,21，…中的x的值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 数列1,1,2,3，x,8,13,21，…
各项满足从数列第三项开始，每一项都等于前两项的和，故x＝2＋3＝5.
4．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是____________．
答案 an＝2n＋1，n∈N*
课时对点练
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．数列可以用图象来表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列中的项不能相等
D．数列可以用一群孤立的点表示
答案 ABD
解析 数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确．
2．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( )
A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
答案 A
解析 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*.
3．数列eq \f(2,3)，eq \f(4,5)，eq \f(6,7)，eq \f(8,9)，…的第10项是( )
A.eq \f(16,17) B.eq \f(18,19) C.eq \f(20,21) D.eq \f(22,23)
答案 C
解析 由题意知数列的通项公式是an＝eq \f(2n,2n＋1)(n∈N*)，
所以a10＝eq \f(2×10,2×10＋1)＝eq \f(20,21).
4．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式为( )
A．an＝eq \f(1,9)(10n－1)，n∈N*
B．an＝eq \f(2,9)(10n－1)，n∈N*
C．an＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,10n)))，n∈N*
D．an＝eq \f(3,10)(10n－1)，n∈N*
答案 C
解析 因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项公式为1－eq \f(1,10n)，而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的eq \f(1,3)，所以an＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,10n)))，n∈N*.
5．已知an＋1－an－3＝0，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
答案 A
解析 因为an＋1－an－3＝0，所以an＋1－an＝3>0.
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是递增数列．
6．(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,n)，…
B．sin eq \f(π,7)，sin eq \f(2π,7)，sin eq \f(3π,7)，…，sin eq \f(nπ,7)，…
C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，…，－eq \f(1,2n－1)，…
D．1，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(n)，…
答案 CD
解析 选项C，D既是无穷数列又是递增数列．
7．已知数列{an}的通项公式为an＝2 021－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为________．
答案 673
解析 由an＝2 021－3n>0，得n又因为n∈N*，
所以正整数n的最大值为673.
8．数列：2，－5,8，－11，…，(－1)n－1(3n－1)，(－1)n(3n＋2)的第2n项为_______．
答案 1－6n
解析 由数列可知奇数项为正数，偶数项为负数，即可表示(－1)n－1，又首项为2，故数列的通项公式为an＝(－1)n－1(3n－1)，
可知第2n项为a2n＝(－1)2n－1(6n－1)＝－(6n－1)＝1－6n.
9．写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4,6,8,10，…；
(2)eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(7,8)，eq \f(15,16)，eq \f(31,32)，…；
(3)－1，eq \f(8,5)，－eq \f(15,7)，eq \f(24,9)，….
解 (1)各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N*.
(2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an＝eq \f(2n－1,2n)，n∈N*.
(3)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.又第1项可改写成分数－eq \f(3,3)，则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式．分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式．所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·eq \f(nn＋2,2n＋1)，n∈N*.
10．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：
(1)an＝2；(2)an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n，n为奇数，,－2n，n为偶数.))
解 列表法给出这两个数列的前5项：
它们的图象为：
11．设an＝eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,n2)(n∈N*)，则a2等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)
答案 C
解析 ∵an＝eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,n2)(n∈N*)，
∴a2＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4).
12．1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0,3,6,12,24,48,96，……经过一定的规律变化，得到新数列：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯—波得定则”．根据规律，新数列的第8项为( )
A．14.8 B．19.2 C．19.6 D．20.4
答案 C
解析 0,3,6,12,24,48,96的规律是从第三项起，每一项是前一项的两倍，故该数列的第8项是192,0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10，……的规律是原数列的每一项加4，再除以10，计算即可．
13．数列{an}中，an＝，则a5等于( )
A．3 333 B．7 777 C．33 333 D．77 777
答案 C
解析 an＝＝eq \r(\f(102n－1,9)－2×\f(10n－1,9))＝eq \r(\f(10n－12,32))＝eq \f(10n－1,3)，则a5＝eq \f(105－1,3)＝33 333.
14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝________.
答案 61
解析 f(1)＝1＝2×1×0＋1，
f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，
f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，
f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，
故f(n)＝2n(n－1)＋1.
当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
15．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为( )
A．an＝n，n∈N* B．an＝eq \r(n＋1)，n∈N*
C．an＝eq \r(n)，n∈N* D．an＝n2，n∈N*
答案 C
解析 ∵OA1＝1，OA2＝eq \r(2)，OA3＝eq \r(3)，…，OAn＝eq \r(n)，…，
∴a1＝1，a2＝eq \r(2)，a3＝eq \r(3)，…，an＝eq \r(n)，….
16．在数列{an}中，an＝eq \f(n2,n2＋1).
(1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
(2)区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有没有数列中的项？若有，有几项？
(1)证明 因为an＝eq \f(n2,n2＋1)＝1－eq \f(1,n2＋1)(n∈N*)，
所以0故数列的各项都在区间(0,1)内．
(2)解 令eq \f(1,3)解得n＝1，即在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有且只有1项数列中的项，为a1.分类标准
名称
含义
按项的
个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的
变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
周期数列
项呈现周期性变化
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
n
1
2
3
4
5
an＝(－1)n·n
－1
2
－3
4
－5
an＝n2
1
4
9
16
25
n
1
2
3
4
5
an＝3n＋1
4
7
10
13
16
an＝2n－1
1
3
7
15
31
n
1
2
3
4
5
an＝2
2
2
2
2
2
an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n，,－2n))
1
－4
3
－16
5