高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.2 双曲线第2课时教案设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.2 双曲线第2课时教案设计，共13页。教案主要包含了共渐近线问题，双曲线离心率的取值范围，双曲线几何性质的综合应用等内容，欢迎下载使用。
导语
上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题．
一、共渐近线问题
例1 求与双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1有共同的渐近线，且过点(－3,2eq \r(3))的双曲线方程．
解 方法一 当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1.
由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(4,3)，,\f(－32,a2)－\f(2\r(3)2,b2)＝1，))
解得a2＝eq \f(9,4)，b2＝4，
所以双曲线的方程为eq \f(4x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1.
由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＝\f(4,3)，,\f(2\r(3)2,a2)－\f(－32,b2)＝1，))
解得a2＝－4，b2＝－eq \f(9,4)(舍去)
综上所得，双曲线的方程为eq \f(4x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.
方法二 设所求双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝λ(λ≠0)，
将点(－3,2eq \r(3))代入得λ＝eq \f(1,4)，
所以双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝eq \f(1,4)，即eq \f(4x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.
反思感悟 利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线系方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．
跟踪训练1 双曲线顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±eq \f(3,2)x.求双曲线的方程．
解 设以y＝±eq \f(3,2)x为渐近线的双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝λ(λ≠0)，
当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝2eq \r(4λ)＝6⇒λ＝eq \f(9,4).
当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2eq \r(－9λ)＝6⇒λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(4y2,81)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1.
二、双曲线离心率的取值范围
例2 已知点F是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(2,1＋eq \r(2)) D．(1,1＋eq \r(2))
答案 B
解析 若△ABE是锐角三角形，则∠AEF0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|≤|eq \(F1F2,\s\up6(——→))|，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A．(1，eq \r(2)] B．(1,2]
C．[eq \r(2)，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 D
解析 设O为坐标原点，由2|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|≤|eq \(F1F2,\s\up6(——→))|，得4|eq \(PO,\s\up6(→))|≤2c(2c为双曲线的焦距)，∴|eq \(PO,\s\up6(→))|≤eq \f(1,2)c，又由双曲线的性质可得|eq \(PO,\s\up6(→))|≥a，于是a≤eq \f(1,2)c，∴e≥2.
4．已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1的右焦点F到双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离小于eq \r(3)，则双曲线E的离心率的取值范围是__________．
答案 (1,2)
解析 椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1的右焦点F为(2,0)，
不妨取双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为bx＋ay＝0，
则焦点F到渐近线bx＋ay＝0的距离d＝eq \f(|2b|,\r(b2＋a2))0，b>0)右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有≥eq \f(1,3)成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,2)
C．(0,3] D．(1,3]
答案 D
解析 设△PF1F2的内切圆半径为r，如图．
由双曲线的定义得PF1－PF2＝2a，F1F2＝2c.
＝eq \f(1,2)·PF1·r，＝eq \f(1,2)·PF2·r，
＝eq \f(1,2)·F1F2·r＝eq \f(1,2)·2c·r＝cr.
由题意得eq \f(1,2)·PF1·r－eq \f(1,2)·PF2·r≥eq \f(1,3)cr，
故c≤eq \f(3,2)(PF1－PF2)＝3a.
故e＝eq \f(c,a)≤3，又e>1，
∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3]．
7．如果双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1右支上总存在到双曲线的中心与到右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是__________．
答案 (2，＋∞)
解析 如图，
因为OA＝AF，F(c,0)，
所以xA＝eq \f(c,2)，
因为A在右支上且不在顶点处，
所以eq \f(c,2)>a，所以e＝eq \f(c,a)>2.
8．已知双曲线方程为8kx2－ky2＝8(k≠0)，则其渐近线方程为________________．
答案 y＝±2eq \r(2)x
解析 由已知令8kx2－ky2＝0，
得渐近线方程为y＝±2eq \r(2)x.
9．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，求双曲线的离心率e的最大值．
解 由双曲线定义知PF1－PF2＝2a，又已知PF1＝4PF2，所以PF1＝eq \f(8,3)a，PF2＝eq \f(2,3)a，
在△PF1F2中，由余弦定理得
cs∠F1PF2＝eq \f(\f(64,9)a2＋\f(4,9)a2－4c2,2·\f(8,3)a·\f(2,3)a)＝eq \f(17,8)－eq \f(9,8)e2，要求e的最大值，即求cs∠F1PF2的最小值，
因为cs∠F1PF2≥－1，
所以cs∠F1PF2＝eq \f(17,8)－eq \f(9,8)e2≥－1，
解得e≤eq \f(5,3)，即e的最大值为eq \f(5,3).
10．已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，且过点(－3,4eq \r(2))．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线4x－y－6＝0与双曲线相交于A，B两点，求AB的值．
解 (1)由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，则设所求双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝λ(λ≠0)，
把(－3,4eq \r(2))代入方程，整理得9－eq \f(32,4)＝λ，
解得λ＝1，即双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－y－6＝0，,x2－\f(y2,4)＝1，))整理得3x2－12x＋10＝0，
所以x1＋x2＝4，x1x2＝eq \f(10,3)，
由弦长公式可知，
AB＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(1＋16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(42－4×\f(10,3))))＝eq \f(2\r(102),3).
所以AB的值为eq \f(2\r(102),3).
11．(多选)双曲线C与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则双曲线C的标准方程可以为( )
A.eq \f(x2,4)－y2＝1 B．y2－eq \f(x2,4)＝1
C．x2－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,4)－x2＝1
答案 AB
解析 由题意知c＝eq \r(5)，设双曲线的方程为x2－4y2＝λ，
∴eq \f(x2,λ)－eq \f(y2,\f(λ,4))＝1，
∴λ＋eq \f(λ,4)＝5或－eq \f(λ,4)＋(－λ)＝5，
∴λ＝4或λ＝－4.故选AB.
12．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则下列结论正确的是( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D．△PF1F2的面积为1
答案 ACD
解析 易得双曲线C的渐近线方程为y＝±x，选项A正确；
由a＝b＝1得c＝eq \r(2)，因此以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，选项B错误；
不妨设F1(－eq \r(2)，0)，则F1到双曲线的一条渐近线的距离d＝eq \f(|－\r(2)－0|,\r(2))＝1，选项C正确；
由eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0得，PF1⊥PF2，因此点P在圆x2＋y2＝2上，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝2，,x2－y2＝1))得，y2＝eq \f(1,2)，∴|y|＝eq \f(\r(2),2)，因此，＝eq \f(1,2)F1F2·|y|＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝1，选项D正确．
13．设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得PF1＋PF2＝3b，PF1·PF2＝eq \f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为________．
答案 eq \f(5,3)
解析 不妨设P为双曲线右支上一点，
PF1＝r1，PF2＝r2.
根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，
故r1＝eq \f(3b＋2a,2)，r2＝eq \f(3b－2a,2).
又r1·r2＝eq \f(9,4)ab，
所以eq \f(3b＋2a,2)·eq \f(3b－2a,2)＝eq \f(9,4)ab，
解得eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)(负值舍去)，
故e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＋1)＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1)＝eq \f(5,3).
14．设F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|的值为________．
答案 2eq \r(10)
解析 由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为
F1(－eq \r(10)，0)，F2(eq \r(10)，0)．
设点P(x，y)，
则eq \(PF1,\s\up6(→))＝(－eq \r(10)－x，－y)，eq \(PF2,\s\up6(→))＝(eq \r(10)－x，－y)．
∵eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，
∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.
∴|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|＝eq \r(|\(PF1,\s\up6(→))|2＋|\(PF2,\s\up6(→))|2＋2\(PF1,\s\up6(→))·\(PF2,\s\up6(→)))＝eq \r(2x2＋y2＋20)＝2eq \r(10).
15．(多选)已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( )
A．2 B.eq \f(2\r(3),3)
C.eq \r(3) D.eq \r(5)
答案 AB
解析 方法一 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况．
当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示．
所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝eq \r(3)或k＝eq \f(\r(3),3)，
即eq \f(b,a)＝eq \r(3)或eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3).
又b2＝c2－a2，所以eq \f(c2－a2,a2)＝3或eq \f(c2－a2,a2)＝eq \f(1,3)，
所以e2＝4或e2＝eq \f(4,3)，所以e＝2或e＝eq \f(2\r(3),3).
同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有eq \f(a,b)＝eq \r(3)或eq \f(a,b)＝eq \f(\r(3),3)，所以eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)或eq \f(b,a)＝eq \r(3)，亦可得到e＝eq \f(2\r(3),3)或e＝2.
综上可得，双曲线的离心率为2或eq \f(2\r(3),3).
方法二 根据方法一，得当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，
则离心率e＝eq \f(1,cs θ)＝eq \f(2\r(3),3)或2.
当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，
则离心率e＝eq \f(1,sin θ)＝2或eq \f(2\r(3),3).
综上可得，双曲线的离心率为2或eq \f(2\r(3),3).
16．如图，已知梯形ABCD中，AB＝2CD，点E分有向线段eq \(AC,\s\up6(→))所成的比为λ，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，当eq \f(2,3)≤λ≤eq \f(3,4)时，求双曲线离心率e的取值范围．
解 由题意可知CD⊥y轴．
∵双曲线经过点C，D，且以A，B为焦点，由双曲线的对称性知C，D关于y轴对称．
依题意，记A(－c,0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，h))，E(x0，y0)，
其中c＝eq \f(1,2)AB为双曲线的半焦距，h是梯形的高．
由定比分点坐标公式得x0＝eq \f(λ－2c,21＋λ)，y0＝eq \f(λh,1＋λ)，
设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，则离心率e＝eq \f(c,a)，
∵点C，E在双曲线上，
∴将点C的坐标代入双曲线方程得eq \f(c2,4a2)－eq \f(h2,b2)＝1，①
将点E的坐标代入双曲线方程得
eq \f(c2,4a2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ－2,1＋λ)))2－eq \f(h2,b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,1＋λ)))2＝1.②
再将e＝eq \f(c,a)代入①得eq \f(e2,4)－eq \f(h2,b2)＝1，
∴eq \f(h2,b2)＝eq \f(e2,4)－1.③
将e＝eq \f(c,a)代入②，
得eq \f(e2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ－2,1＋λ)))2－eq \f(h2,b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,1＋λ)))2＝1.④
将③代入④式，整理得eq \f(e2,4)(4－4λ)＝1＋2λ，
∴λ＝1－eq \f(3,e2＋2).
由题设eq \f(2,3)≤λ≤eq \f(3,4)，得eq \f(2,3)≤1－eq \f(3,e2＋2)≤eq \f(3,4)，
解得eq \r(7)≤e≤eq \r(10).
∴双曲线离心率的取值范围是[eq \r(7)，eq \r(10)]．