高中苏教版 (2019)1.2 直线的方程课文内容ppt课件

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1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线.
已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索的位置确定吗？
三、点斜式直线方程的应用
问题1　给定一个点P1(x1，y1)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎样将直线上不同于P1的所有点的坐标P(x，y)满足的关系表达出来.
我们把方程 称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程.方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的 .注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0.
y－y1＝k(x－x1)
例1　写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；
解　因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y－5＝x－2.
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；
解　直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1.所以直线的方程为y－4＝－(x－3).
(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；
解　由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1.
(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直.
解　由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程.
反思感悟　求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1).(2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外.
跟踪训练1　求满足下列条件的直线方程：(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝　 x的倾斜角的2倍；
(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；
解　与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示.但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x＝5.
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点.
∵直线过点P(－2,3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0.
问题2　直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程.
1.直线l与y轴的交点(0，b)的 叫作直线l在y轴上的截距.2.把方程 叫作直线的斜截式方程.注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距.
(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程.
例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；
解　由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝3x－3.
(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
解　∵倾斜角是60°，
(3)过点A(－1，－2)，B(－2,3).
由点斜式得y－3＝－5(x＋2)，化为斜截式为y＝－5x－7.
反思感悟　求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.
跟踪训练2　(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程；
解　易知k＝－1，b＝－2，故直线的斜截式方程为y＝－x－2.
(2)求过点A(6，－4)，斜率为－ 的直线的斜截式方程；
(3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标.
解　直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1).
例3　(1)(多选)在同一直角坐标系中，下列选项能正确表示直线y＝ax与y＝x＋a的是
解析　①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，B成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距a<0，C成立.
(2)直线y＝ x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是_______________________.
(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析　令x＝0，得y＝k.令y＝0，得x＝－2k.所以 |k|·|－2k|≥1，即k2≥1.所以k≤－1或k≥1.
反思感悟　(1)注意对参数的分类讨论，在同一坐标系中作两条曲线，确定一条，判断另一条.(2)在求面积时，要将截距转化为距离.
跟踪训练3　(1)若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是A.a>1 B.01
解析　y＝x＋a(a>0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a>0)的直线，y＝a|x|表示关于y轴对称的两条射线.所以当01时，有两个公共点，如图②.
(2)已知直线l的斜率为 ，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l的方程.
则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.
即b2＝1，所以b＝±1.
1.知识清单：(1)直线的点斜式方程.(2)直线的斜截式方程.2.方法归纳：待定系数法、数形结合法.3.常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离.
1.方程y＝k(x－2)表示A.通过点(－2,0)的所有直线B.通过点(2,0)的所有直线C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
解析　易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴.
∴l在y轴上的截距为－9.
3.已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为
4.若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有A.k>0，b>0 B.k>0，b<0C.k<0，b>0 D.k<0，b<0
解析　∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
1.已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为A.x＝3 B.x＝－2C.y＝3 D.y＝－2
解析　∵直线与x轴平行，∴其斜率为0，∴直线的方程为y＝－2.
2.若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是A.y－1＝x B.y＋1＝xC.y－1＝－x D.y＋1＝－x
解析　∵直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率为1，又∵直线l过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x.
5.(多选)直线(m2＋2m)x＋(2m2－m＋3)y＝4m＋1在y轴上的截距为1，则m的值可以是
6.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点A.(1,3) B.(－1，－3)C.(3,1) D.(－3，－1)
解析　直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1).
7.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是___________________________.
解析　因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，
又因为在y轴上的截距为－6，
8.与直线l：y＝ x＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为__________.
又直线l在y轴上的截距为b，
9.直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程.
解　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.
10.已知△ABC的三个顶点都在第一象限内，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝45°，∠B＝45°.求：(1)直线AB的方程；
解　因为A(1,1)，B(5,1)，所以直线AB平行于x轴，所以直线AB的方程为y＝1.
(2)直线AC和BC的方程.
解　由题意知，直线AC的倾斜角为∠A＝45°，所以kAC＝tan 45°＝1.又直线AC过点A(1,1)，所以直线AC的方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.同理可知，直线BC的倾斜角为180°－∠B＝135°，所以kBC＝tan 135°＝－1.又直线BC过点B(5,1)，所以直线BC的方程为y－1＝－1×(x－5)，即y＝－x＋6.
11.已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则A.kb<0 B.kb≤0C.kb>0 D.kb≥0
解析　当k≠0时，∵直线l不经过第三象限，∴k<0，b>0，∴kb<0.当k＝0，b>0时，l也不过第三象限，∴kb≤0.
12.—次函数y＝ 的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件是A.m>1，且n<1 B.mn<0C.m>0，且n<0 D.m<0，且n<0
∴m>0，n<0，此为充要条件.因此，其必要不充分条件为mn<0.
13.(多选)下列结论正确的是A.方程k＝ 与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线B.直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1C.直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
对于D，当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，此时它的方程不能用点斜式和斜截式表示，所以D错误.
14.将直线y＝x＋ －1绕其上面一点(1， )沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是_________________.
∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，
又直线l过点P(2,1)，
证明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2).由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1).
16.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.(1)求证：直线l恒过一个定点；