苏教版 (2019)选择性必修第一册1.3 两条直线的平行与垂直第1课时教案

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册1.3 两条直线的平行与垂直第1课时教案，共10页。教案主要包含了两条直线平行的判定，求与已知直线平行的直线方程，直线平行的应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行.3.运用两直线平行时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题.
导语
魔术师的地毯
有一天，著名魔术大师拿了一块长宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米，长21分米的矩形，地毯匠对魔术师说：这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米．魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图(1)的尺寸把地毯分成四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧”．地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米，长21分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在纳闷哩，这是怎么回事呢？
为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行．
一、两条直线平行的判定
问题1 在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？
提示 两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
问题2 平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？
提示 两直线平行，倾斜角相等．
知识梳理
对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2.
注意点：
(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
(2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)．
(3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在．
例1 判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；
(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．
解 (1)k1＝eq \f(1－－2,2－－1)＝1，k2＝eq \f(－1－4,－1－3)＝eq \f(5,4)，k1≠k2，l1与l2不平行．
(2)k1＝1，k2＝eq \f(2－1,2－1)＝1，k1＝k2，
故l1∥l2或l1与l2重合．
(3)k1＝eq \f(0－1,1－0)＝－1，k2＝eq \f(0－3,2－－1)＝－1，则有k1＝k2.
又kAM＝eq \f(3－1,－1－0)＝－2≠－1，
则A，B，M不共线．故l1∥l2.
(4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.
反思感悟 判断两条不重合的直线是否平行的方法
跟踪训练1 (1)已知l1经过点A(0,3)，B(5,3)，l2经过点M(2,5)，N(6,5)，判断直线l1与l2是否平行．
解 ∵l1与l2都与y轴垂直，且l1与l2不重合，
∴l1∥l2.
(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
解 由题意知直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝eq \f(m－0,－5－m＋1)＝eq \f(m,－6－m)，kCD＝eq \f(5－3,0－－4)＝eq \f(1,2)，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即eq \f(m,－6－m)＝eq \f(1,2)，得m＝－2.经验证，当m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
二、求与已知直线平行的直线方程
例2 (1)过点(5,0)且与x＋2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．2x＋y＋5＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x＋2y＋5＝0
答案 C
解析 由题意可设所求直线方程为x＋2y＋c＝0(c≠－2)．因为(5,0)在该直线上，所以5＋2×0＋c＝0，得c＝－5，故该直线方程为x＋2y－5＝0.
(2)求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l的方程．
解 方法一 设直线l的斜率为k，
∵直线l与直线3x＋4y＋1＝0平行，
∴k＝－eq \f(3,4)，
又∵直线l经过点(1,2)，
∴所求直线的方程为y－2＝－eq \f(3,4)(x－1)，
即3x＋4y－11＝0.
方法二 设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0.
∵直线l经过点(1,2)，
∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11，
∴所求直线的方程为3x＋4y－11＝0.
反思感悟 与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程，也可以先设成一般式，用待定系数法求方程．
跟踪训练2 (1)已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为( )
A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7
C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7
答案 D
解析 过点(0,7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y＝－4x＋7，故选D.
(2)求过点P(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程．
解 设所求直线方程为x－2y＋c＝0，把P(－1,3)代入直线方程得c＝7，
所以所求直线方程为x－2y＋7＝0.
三、直线平行的应用
例3 已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．
解 ∵直线l1：x＋my＋6＝0，
直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，
∴A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m.
(1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，
即1×3－m(m－2)≠0，
即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0，
即m≠3，且m≠－1.
故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交．
(2)若l1∥l2，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－mm－2＝0，,2m2－18≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－3＝0，,m2≠9，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3或m＝－1，,m≠3且m≠－3，))
∴m＝－1.
故当m＝－1时，直线l1与l2平行．
(3)若l1与l2重合，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－mm－2＝0，,2m2－18＝0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3或m＝－1，,m＝3或m＝－3，))∴m＝3.
故当m＝3时，直线l1与l2重合．
反思感悟 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则：
l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
跟踪训练3 l1：9x－y＋a＋2＝0；l2：ax＋(a－2)y＋1＝0.求当a为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．
解 由题意得A1＝9，B1＝－1，C1＝a＋2，a2＝a，B2＝a－2，C2＝1.
(1)若l1与l2相交，则a1B2－a2B1≠0，
即9(a－2)－a×(－1)≠0，
∴a≠eq \f(9,5).故当a≠eq \f(9,5)时，直线l1与l2相交．
(2)若l1∥l2，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9a－2－a×－1＝0，,－1－a2－4≠0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(9,5)，,a≠±\r(3).))
∴当a＝eq \f(9,5)时，l1与l2平行．
(3)若l1与l2重合，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1＝0，))
由(2)知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(9,5)，,a＝±\r(3)，))不成立，∴直线l1与l2不重合．
综上所述，当a≠eq \f(9,5)时，两直线相交，当a＝eq \f(9,5)时，两直线平行，不论a为何值两直线不会重合．
1．知识清单：
(1)两直线平行的条件．
(2)由两直线平行求参数值．
(3)求与已知直线平行的直线方程．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合．
3．常见误区：研究两直线平行关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．
1．已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1∥l2，则直线l2的斜率为( )
A.eq \r(3) B．－eq \r(3)
C.eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3)
答案 C
解析 因为l1∥l2，所以kl2＝kl1＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).
2．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是( )
A．1 B．－2 C．1或－2 D．－1或2
答案 B
解析 由已知，得a(a＋1)－2＝0，
解得a＝－2或a＝1.当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2.
3．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为( )
A．－8 B．0 C．2 D．10
答案 A
解析 由已知，得eq \f(4－m,m＋2)＝－2，∴m＝－8.
4．已知直线l的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为________．
答案 ±2
解析 由题意知m2－3＝tan 45°，解得m＝±2.
课时对点练
1．(多选)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列选项中正确的是( )
A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2
B．若k1＝k2，则l1∥l2
C．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
D．若α1＝α2，则l1∥l2
答案 BCD
2．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对
答案 B
解析 斜率都为0且不重合，所以平行．
3．已知直线l的倾斜角为eq \f(3π,4)，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为( )
A．0 B．1 C．6 D．0或6
答案 C
解析 由直线l的倾斜角为eq \f(3π,4)得l的斜率为－1，
因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.
又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，
所以l1的斜率为eq \f(3,3－a)，故eq \f(3,3－a)＝－1，解得a＝6.
4．若直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，则实数m的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 ∵直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＋2－m＝0，,m＋22－m≠0，))解得m＝1.
5．设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 当m＝2时，易知两直线平行，即充分性成立．
当l1∥l2时，显然m≠0，从而有eq \f(2,m)＝m－1，
解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选C.
6．已知直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，若l∥y轴，但不重合，则下列结论正确的是( )
A．a≠1，b≠2，c≠0 B．a≠1，b＝－2，c≠0
C．a＝1，b≠－2，c≠0 D．a≠1，b≠－2，c≠0
答案 B
解析 ∵直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，l∥y轴，
但不重合，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1≠0，,b＋2＝0，,c≠0，))
解得a≠1，b＝－2，c≠0.故选B.
7．直线l1的斜率k1＝eq \f(3,4)，直线l2经过点A(1,2)，B(a－1,3)，l1∥l2，则a的值为________．
答案 eq \f(10,3)
解析 直线l2的斜率k2＝eq \f(3－2,a－1－1)＝eq \f(1,a－2)，
∵l1∥l2，
∴k1＝k2，
∴eq \f(1,a－2)＝eq \f(3,4)，
∴a＝eq \f(10,3).
8．直线x＋a2y＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为______________．
答案 0或－1
解析 两直线无公共点，即两直线平行．当a＝0时，这两条直线分别为x＋6＝0和x＝0，无公共点；当a≠0时，由－eq \f(1,a2)＝－eq \f(a－2,3a)，解得a＝3或a＝－1.若a＝3，这两条直线分别为x＋9y＋6＝0，x＋9y＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；若a＝－1，这两条直线分别为x＋y＋6＝0和3x＋3y＋2＝0，两直线平行，无公共点．综上，a＝0或a＝－1.
9．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2eq \r(3))，N(－2，－3eq \r(3))．
解 (1)由题意知k1＝eq \f(5－1,－3－2)＝－eq \f(4,5)，k2＝eq \f(－7＋3,8－3)＝－eq \f(4,5).
因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
(2)由题意知k1＝tan 60°＝eq \r(3)，k2＝eq \f(－3\r(3)－2\r(3),－2－3)＝eq \r(3).
所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．
10．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.若l1与l2平行，求a的值．
解 方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－eq \f(a,2)x－3，
l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，
l1∥l2⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)＝\f(1,1－a)，,－3≠－a＋1，))
解得a＝－1，
综上可知，当a＝－1时，l1∥l2.
方法二 由a1B2－a2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0，
由a1C2－a2C1≠0，
得a(a2－1)－1×6≠0，
所以l1∥l2⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa－1－1×2＝0，,aa2－a－1×6≠0，))
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a－2＝0，,aa2－1≠6，))可得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.
11．(多选)已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 BC
解析 当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD.
当m≠0时，kAB＝eq \f(m＋4－3,2m－m)，kCD＝eq \f(2－0,m＋1－1)，
则kAB＝kCD，即eq \f(m＋1,m)＝eq \f(2,m)，得m＝1，∴m＝0或1.
12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )
A．(－3,1) B．(4,1)
C．(－2,1) D．(2，－1)
答案 A
解析 如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A.
13．(多选)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．5
答案 CD
解析 由两直线平行得，当k－3＝0，即k＝3时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝eq \f(3,2)，显然两直线平行．当k－3≠0，即k≠3时，由eq \f(k－3,2k－3)＝eq \f(4－k,－2)≠eq \f(1,3)，可得k＝5.综上，k的值是3或5.
14．已知两条直线的斜率分别为eq \f(1,b2)和－eq \f(b2－1,a)，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为________．
答案 eq \f(1,4)
解析 因为两条直线互相平行，所以eq \f(1,b2)＝－eq \f(b2－1,a)，所以a＝－b4＋b2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b2－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)≤eq \f(1,4)，当且仅当b2＝eq \f(1,2)时取等号，故实数a的最大值为eq \f(1,4).
15．已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为________．
答案 3x＋4y－24＝0或3x＋4y＋24＝0
解析 因为直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，所以设直线l的方程为3x＋4y＋b＝0(b≠－7)，
则其与x轴交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,3)，0))，与y轴交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(b,4))).
依题意可得，eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(b,3)))×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(b,4)))＝24，
解得b＝±24，
所以直线l的方程为3x＋4y±24＝0.
16．已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，求m的值.
解 当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不符合题意；
当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不符合题意；
当m≠－2，且m≠－1时，
kPQ＝eq \f(4－m,m－－2)＝eq \f(4－m,m＋2)，
kMN＝eq \f(3－1,m＋2－1)＝eq \f(2,m＋1).
因为直线PQ∥直线MN，所以kPQ＝kMN，
即eq \f(4－m,m＋2)＝eq \f(2,m＋1)，解得m＝0或m＝1.
当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合．
综上，m的值为0或1.