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选择性必修第一册1.2 直线的方程教案
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这是一份选择性必修第一册1.2 直线的方程教案，共10页。教案主要包含了直线的一般式方程，直线一般式方程的应用等内容，欢迎下载使用。
导语
前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式方程，经过化简后可以发现它们都是二元一次方程．现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？
一、直线的一般式方程
问题 直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？
提示 y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，是二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线．
知识梳理
方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．
注意点：
(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程；
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列；
③x的系数一般不为分数和负数；
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．
例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是eq \r(3)，且经过点A(5,3)；
(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．
解 (1)由点斜式，得直线方程为y－3＝eq \r(3)(x－5)，
即eq \r(3)x－y－5eq \r(3)＋3＝0.
(2)由两点式，得直线方程为eq \f(y－5,－1－5)＝eq \f(x－－1,2－－1)，
即2x＋y－3＝0.
(3)由截距式，得直线方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,－1)＝1，
即x＋3y＋3＝0.
(4)y－2＝0.
反思感悟 求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
跟踪训练1 (1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．
①斜率是－eq \f(1,2)，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________；
②在x轴和y轴上的截距分别是eq \f(3,2)和－3的直线方程为________________；
③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________．
答案 ①x＋2y＋4＝0 ②2x－y－3＝0
③x＋y－1＝0
(2)在y轴上的截距为－6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为______________．
答案 x－y－6＝0
解析 设直线的斜截式方程为y＝kx＋b(k≠0)，则由题意得k＝tan 45°＝1，b＝－6，所以y＝x－6，即x－y－6＝0.
二、直线的一般式方程化为其他形式的方程
例2 (1)已知直线Ax＋By＋C＝0(AB>0，BC>0)，则直线不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 直线Ax＋By＋C＝0化为y＝－eq \f(A,B)x－eq \f(C,B)，
又AB>0，BC>0，所以－eq \f(A,B)<0，－eq \f(C,B)<0，则直线不经过第一象限．
(2)设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：
①l在x轴上的截距是－3；
②l的斜率是－1.
解 ①当直线在x轴上的截距为－3时，有eq \f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，且m2－2m－3≠0，解得m＝－eq \f(5,3).
②当斜率为－1时，有－eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝－1，且2m2＋m－1≠0，解得m＝－2.
延伸探究
对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值．
解 ∵直线l与y轴平行，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－3≠0，,2m2＋m－1＝0，,6－2m≠0，))∴m＝eq \f(1,2).
反思感悟 含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不全为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
跟踪训练2 (1)直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.eq \f(1,4) B．2 C．1 D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，－1)，故三角形面积为eq \f(1,2).
(2)若a，b，c都大于0，则直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的( )
答案 D
解析 直线ax＋by＋c＝0化为y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b)，因为a，b，c都大于0，所以－eq \f(a,b)<0，－eq \f(c,b)<0，所以直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的D.
三、直线一般式方程的应用
例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
(1)证明 将直线l的方程整理为y－eq \f(3,5)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,5)))，
∴直线l的斜率为a，且过定点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(3,5)))，又点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(3,5)))在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．
(2)解 直线OA的斜率为k＝eq \f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)＝3.
如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，
∴a≥3.
延伸探究
1．本例中若直线在y轴上的截距为2，求a的值，这时直线的一般式方程是什么？
解 把方程5ax－5y－a＋3＝0化成斜截式方程为y＝ax＋eq \f(3－a,5).
由条件可知eq \f(3－a,5)＝2，解得a＝－7，
这时直线方程的一般式为7x＋y－2＝0.
2．本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
解 (1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．
(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝eq \f(1,a－1)x－eq \f(a＋2,a－1)，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a－1)≥0，,\f(a＋2,a－1)≥0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,a≤－2或a>1，))综上，可知a≥1.
反思感悟 已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
跟踪训练3 直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解 (1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意；
②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2，
令y＝0，则x＝eq \f(a－2,a＋1).
∵l在两坐标轴上的截距相等，
∴a－2＝eq \f(a－2,a＋1)，
解得a＝2或a＝0.
综上，a的值为2或0.
(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋1≥0，,a－2≤0，))解得a≤－1.
∴a的取值范围为(－∞，－1]．
1．知识清单：
(1)直线方程的一般式方程．
(2)直线五种形式方程的互化．
(3)直线一般式方程的应用．
2．方法归纳：分类讨论法、转化与化归．
3．常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况．
1．直线eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1化成一般式方程为( )
A．y＝－eq \f(4,3)x＋4 B．y＝－eq \f(4,3)(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
答案 C
2．在平面直角坐标系中，直线x＋eq \r(3)y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 C
解析 直线斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，所以倾斜角为150°，故选C.
3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，则该直线过定点________．
答案 (－2,1)
解析 直线l：kx－y＋1＋2k＝0，
即k(x＋2)＋(－y＋1)＝0，
∴当x＋2＝0，－y＋1＝0时过定点，
∴x＝－2，y＝1，
∴该直线过定点(－2,1)．
4．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________．
答案 3
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2m2－5m＋2,m2－4)＝1，,m2－4≠0，))∴m＝3.
课时对点练
1．过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为( )
A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0
C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0
答案 D
解析 根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
2．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件( )
A．bc＝0 B．a≠0
C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝c＝0
答案 D
解析 y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足的条件为
b＝c＝0，a≠0.
3．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是( )
答案 C
解析 将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.
A中，由l1的图象可知，a<0，b<0，由l2的图象可知，b<0，a>0，两者矛盾，故A错误；
B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知，b>0，a>0，两者矛盾，故B错误；
C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故C正确；
D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知，a>0，b>0，两者矛盾，故D错误．
4．直线ax＋by＋c＝0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
答案 B
解析 直线ax＋by＋c＝0化为y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b)，因为直线ax＋by＋c＝0经过第一、第二、第四象限，所以－eq \f(a,b)<0，－eq \f(c,b)>0，所以ab>0，bc<0.
5．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为( )
A．－eq \r(3)，－1 B.eq \r(3)，－1 C．－eq \r(3)，1 D.eq \r(3)，1
答案 A
解析 原方程化为eq \f(x,\f(1,a))＋eq \f(y,\f(1,b))＝1，
∴eq \f(1,b)＝－1，∴b＝－1.
∴ax＋by－1＝0的斜率k＝－eq \f(a,b)＝a，
∵eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0的倾斜角为60°，
∴k＝tan 120°＝－eq \r(3)，∴a＝－eq \r(3)，故选A.
6．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0
答案 A
解析 因为点A(2,1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，所以2a1＋b1＋1＝0，由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．因为点A(2,1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，所以2a2＋b2＋1＝0，由此可知点P2(a2，b2)在直线2x＋y＋1＝0上，所以过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0.
7．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 由y－3＝2(x－1)得2x－y＋1＝0.
8．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
答案 －eq \f(4,15)
解析 把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，
∴a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
令x＝0，得y＝－eq \f(4,15).
9．已知直线l：x－2y＋2m－2＝0.若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，求实数m的值．
解 直线l与两坐标轴的交点分别为(－2m＋2,0)，(0，m－1)，
则所围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×|－2m＋2|×|m－1|，
由题意可知eq \f(1,2)×|－2m＋2|×|m－1|＝4，
化简得(m－1)2＝4，解得m＝3或m＝－1.
10．已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．
解 设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线BE：y－1＝0上，
∴设B点坐标为(x,1)．
又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，
∴由中点坐标公式得D点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,2)，2)).
又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
∴eq \f(x＋1,2)－2×2＋1＝0，解得x＝5，
∴B点坐标为(5,1)．
同理可求出C点的坐标是(－3，－1)．
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.
11．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
答案 D
解析 ∵k＝－eq \f(1,a2＋1)，∴－1≤k<0.
∴倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
12．设A(－2,2)，B(1,1)，若直线l：ax＋y＋1＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))∪[2，＋∞)
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，2))
C．(－∞，－2]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(3,2)))
答案 C
解析 由ax＋y＋1＝0得，y＝－ax－1，
因此直线l过定点P(0，－1)，且斜率k＝－a，
如图所示，当直线l由直线PA按顺时针方向旋转到直线PB的位置时，符合题意．
易得kPB＝eq \f(1－－1,1－0)＝2，kPA＝eq \f(2－－1,－2－0)＝－eq \f(3,2).
结合图形知，－a≥2或－a≤－eq \f(3,2)，解得a≤－2或a≥eq \f(3,2).故选C.
13．已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________．
答案 2x＋3y＋4＝0
解析 ∵两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，
∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0，
因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0.
14．若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上的截距等于1，则实数m的值为________．
答案 3
解析 由题意可知直线过点(0,1)，
代入可得m2－m－2＝m＋1，变形可得m2－2m－3＝0，
解得m＝3或m＝－1，
当m＝－1时，m＋1＝m2－m－2＝0，不满足题意，所以m＝3.
15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为____________．
答案 x＋4y－14＝0
解析 过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略)．
∵四边形ACGH为正方形，
∴Rt△AMH≌Rt△COA，
∵OC＝1，∴AM＝OC＝1，又MH＝OA＝2，
∴OM＝OA＋AM＝3，
∴点H的坐标为(2,3)，同理得到F(－2,4)，
∴直线FH的方程为eq \f(y－3,4－3)＝eq \f(x－2,－2－2)，
化为一般式方程为x＋4y－14＝0.
16．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)．
(1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围；
(2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程；
(3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值；
(4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值．
解 (1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3；
令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝eq \f(1,2).
所以若方程表示一条直线，则m≠－1.
即实数m的取值范围为{m|m≠－1}．
(2)由(1)知当m＝eq \f(1,2)时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x＝eq \f(4,3).
(3)依题意，得eq \f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，所以3m2－4m－15＝0，m2－2m－3≠0，
所以m＝－eq \f(5,3).
(4)因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，
所以－eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1,2m2＋m－1≠0，解得m＝eq \f(4,3)，
所以若方程表示的直线的倾斜角为45°，则m＝eq \f(4,3).
导语
前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式方程，经过化简后可以发现它们都是二元一次方程．现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？
一、直线的一般式方程
问题 直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？
提示 y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，是二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线．
知识梳理
方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．
注意点：
(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程；
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列；
③x的系数一般不为分数和负数；
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．
例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是eq \r(3)，且经过点A(5,3)；
(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．
解 (1)由点斜式，得直线方程为y－3＝eq \r(3)(x－5)，
即eq \r(3)x－y－5eq \r(3)＋3＝0.
(2)由两点式，得直线方程为eq \f(y－5,－1－5)＝eq \f(x－－1,2－－1)，
即2x＋y－3＝0.
(3)由截距式，得直线方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,－1)＝1，
即x＋3y＋3＝0.
(4)y－2＝0.
反思感悟 求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
跟踪训练1 (1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．
①斜率是－eq \f(1,2)，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________；
②在x轴和y轴上的截距分别是eq \f(3,2)和－3的直线方程为________________；
③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________．
答案 ①x＋2y＋4＝0 ②2x－y－3＝0
③x＋y－1＝0
(2)在y轴上的截距为－6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为______________．
答案 x－y－6＝0
解析 设直线的斜截式方程为y＝kx＋b(k≠0)，则由题意得k＝tan 45°＝1，b＝－6，所以y＝x－6，即x－y－6＝0.
二、直线的一般式方程化为其他形式的方程
例2 (1)已知直线Ax＋By＋C＝0(AB>0，BC>0)，则直线不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 直线Ax＋By＋C＝0化为y＝－eq \f(A,B)x－eq \f(C,B)，
又AB>0，BC>0，所以－eq \f(A,B)<0，－eq \f(C,B)<0，则直线不经过第一象限．
(2)设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：
①l在x轴上的截距是－3；
②l的斜率是－1.
解 ①当直线在x轴上的截距为－3时，有eq \f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，且m2－2m－3≠0，解得m＝－eq \f(5,3).
②当斜率为－1时，有－eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝－1，且2m2＋m－1≠0，解得m＝－2.
延伸探究
对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值．
解 ∵直线l与y轴平行，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－3≠0，,2m2＋m－1＝0，,6－2m≠0，))∴m＝eq \f(1,2).
反思感悟 含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不全为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
跟踪训练2 (1)直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.eq \f(1,4) B．2 C．1 D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，－1)，故三角形面积为eq \f(1,2).
(2)若a，b，c都大于0，则直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的( )
答案 D
解析 直线ax＋by＋c＝0化为y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b)，因为a，b，c都大于0，所以－eq \f(a,b)<0，－eq \f(c,b)<0，所以直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的D.
三、直线一般式方程的应用
例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
(1)证明 将直线l的方程整理为y－eq \f(3,5)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,5)))，
∴直线l的斜率为a，且过定点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(3,5)))，又点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(3,5)))在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．
(2)解 直线OA的斜率为k＝eq \f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)＝3.
如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，
∴a≥3.
延伸探究
1．本例中若直线在y轴上的截距为2，求a的值，这时直线的一般式方程是什么？
解 把方程5ax－5y－a＋3＝0化成斜截式方程为y＝ax＋eq \f(3－a,5).
由条件可知eq \f(3－a,5)＝2，解得a＝－7，
这时直线方程的一般式为7x＋y－2＝0.
2．本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
解 (1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．
(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝eq \f(1,a－1)x－eq \f(a＋2,a－1)，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a－1)≥0，,\f(a＋2,a－1)≥0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,a≤－2或a>1，))综上，可知a≥1.
反思感悟 已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
跟踪训练3 直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解 (1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意；
②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2，
令y＝0，则x＝eq \f(a－2,a＋1).
∵l在两坐标轴上的截距相等，
∴a－2＝eq \f(a－2,a＋1)，
解得a＝2或a＝0.
综上，a的值为2或0.
(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，故要使l不经过第二象限，只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋1≥0，,a－2≤0，))解得a≤－1.
∴a的取值范围为(－∞，－1]．
1．知识清单：
(1)直线方程的一般式方程．
(2)直线五种形式方程的互化．
(3)直线一般式方程的应用．
2．方法归纳：分类讨论法、转化与化归．
3．常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况．
1．直线eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1化成一般式方程为( )
A．y＝－eq \f(4,3)x＋4 B．y＝－eq \f(4,3)(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
答案 C
2．在平面直角坐标系中，直线x＋eq \r(3)y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 C
解析 直线斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，所以倾斜角为150°，故选C.
3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，则该直线过定点________．
答案 (－2,1)
解析 直线l：kx－y＋1＋2k＝0，
即k(x＋2)＋(－y＋1)＝0，
∴当x＋2＝0，－y＋1＝0时过定点，
∴x＝－2，y＝1，
∴该直线过定点(－2,1)．
4．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________．
答案 3
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2m2－5m＋2,m2－4)＝1，,m2－4≠0，))∴m＝3.
课时对点练
1．过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为( )
A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0
C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0
答案 D
解析 根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
2．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件( )
A．bc＝0 B．a≠0
C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝c＝0
答案 D
解析 y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足的条件为
b＝c＝0，a≠0.
3．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是( )
答案 C
解析 将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.
A中，由l1的图象可知，a<0，b<0，由l2的图象可知，b<0，a>0，两者矛盾，故A错误；
B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知，b>0，a>0，两者矛盾，故B错误；
C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故C正确；
D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知，a>0，b>0，两者矛盾，故D错误．
4．直线ax＋by＋c＝0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
答案 B
解析 直线ax＋by＋c＝0化为y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b)，因为直线ax＋by＋c＝0经过第一、第二、第四象限，所以－eq \f(a,b)<0，－eq \f(c,b)>0，所以ab>0，bc<0.
5．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为( )
A．－eq \r(3)，－1 B.eq \r(3)，－1 C．－eq \r(3)，1 D.eq \r(3)，1
答案 A
解析 原方程化为eq \f(x,\f(1,a))＋eq \f(y,\f(1,b))＝1，
∴eq \f(1,b)＝－1，∴b＝－1.
∴ax＋by－1＝0的斜率k＝－eq \f(a,b)＝a，
∵eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0的倾斜角为60°，
∴k＝tan 120°＝－eq \r(3)，∴a＝－eq \r(3)，故选A.
6．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0
答案 A
解析 因为点A(2,1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，所以2a1＋b1＋1＝0，由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．因为点A(2,1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，所以2a2＋b2＋1＝0，由此可知点P2(a2，b2)在直线2x＋y＋1＝0上，所以过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0.
7．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 由y－3＝2(x－1)得2x－y＋1＝0.
8．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
答案 －eq \f(4,15)
解析 把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，
∴a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
令x＝0，得y＝－eq \f(4,15).
9．已知直线l：x－2y＋2m－2＝0.若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，求实数m的值．
解 直线l与两坐标轴的交点分别为(－2m＋2,0)，(0，m－1)，
则所围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×|－2m＋2|×|m－1|，
由题意可知eq \f(1,2)×|－2m＋2|×|m－1|＝4，
化简得(m－1)2＝4，解得m＝3或m＝－1.
10．已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．
解 设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线BE：y－1＝0上，
∴设B点坐标为(x,1)．
又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，
∴由中点坐标公式得D点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,2)，2)).
又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
∴eq \f(x＋1,2)－2×2＋1＝0，解得x＝5，
∴B点坐标为(5,1)．
同理可求出C点的坐标是(－3，－1)．
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.
11．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
答案 D
解析 ∵k＝－eq \f(1,a2＋1)，∴－1≤k<0.
∴倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
12．设A(－2,2)，B(1,1)，若直线l：ax＋y＋1＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))∪[2，＋∞)
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，2))
C．(－∞，－2]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(3,2)))
答案 C
解析 由ax＋y＋1＝0得，y＝－ax－1，
因此直线l过定点P(0，－1)，且斜率k＝－a，
如图所示，当直线l由直线PA按顺时针方向旋转到直线PB的位置时，符合题意．
易得kPB＝eq \f(1－－1,1－0)＝2，kPA＝eq \f(2－－1,－2－0)＝－eq \f(3,2).
结合图形知，－a≥2或－a≤－eq \f(3,2)，解得a≤－2或a≥eq \f(3,2).故选C.
13．已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________．
答案 2x＋3y＋4＝0
解析 ∵两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，
∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0，
因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0.
14．若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上的截距等于1，则实数m的值为________．
答案 3
解析 由题意可知直线过点(0,1)，
代入可得m2－m－2＝m＋1，变形可得m2－2m－3＝0，
解得m＝3或m＝－1，
当m＝－1时，m＋1＝m2－m－2＝0，不满足题意，所以m＝3.
15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为____________．
答案 x＋4y－14＝0
解析 过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略)．
∵四边形ACGH为正方形，
∴Rt△AMH≌Rt△COA，
∵OC＝1，∴AM＝OC＝1，又MH＝OA＝2，
∴OM＝OA＋AM＝3，
∴点H的坐标为(2,3)，同理得到F(－2,4)，
∴直线FH的方程为eq \f(y－3,4－3)＝eq \f(x－2,－2－2)，
化为一般式方程为x＋4y－14＝0.
16．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)．
(1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围；
(2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程；
(3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值；
(4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值．
解 (1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3；
令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝eq \f(1,2).
所以若方程表示一条直线，则m≠－1.
即实数m的取值范围为{m|m≠－1}．
(2)由(1)知当m＝eq \f(1,2)时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x＝eq \f(4,3).
(3)依题意，得eq \f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，所以3m2－4m－15＝0，m2－2m－3≠0，
所以m＝－eq \f(5,3).
(4)因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，
所以－eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1,2m2＋m－1≠0，解得m＝eq \f(4,3)，
所以若方程表示的直线的倾斜角为45°，则m＝eq \f(4,3).
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