高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册2.1 圆的方程第1课时教案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册2.1 圆的方程第1课时教案，共11页。教案主要包含了圆的标准方程，点与圆的位置关系，圆的标准方程的实际应用等内容，欢迎下载使用。

第1课时 圆的标准方程
学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系.3.能用圆的标准方程解决一些实际应用问题．
导语 人们向往圆满的人生，对于象征着团圆、和谐、美满的中秋圆月更是情有独钟！有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头．放出白毫千丈，散作太虚一色，万象入吾眸．星斗避光彩，风露助清幽．”圆是完美的图形，这节课我们继续学习在平面直角坐标系下有关圆的知识．
一、圆的标准方程
问题1 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
提示 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
确定圆的要素：圆心和半径，
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
问题2 已知圆的圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出该圆的方程吗？
提示 设圆上任一点M(x，y)，则MA＝r，由两点间的距离公式，得eq \r(x－a2＋y－b2)＝r，
化简可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
知识梳理
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径．
注意点：
(1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．
(2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
(3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上．
例1 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
答案 (x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是________________．
答案 (x－1)2＋(y－2)2＝25
解析 ∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，
eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)eq \r(5＋32＋5＋12)＝5为半径，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
反思感悟 直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
跟踪训练1 求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
解 (1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
二、点与圆的位置关系
问题3 点M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么？在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么？
提示 点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径．
知识梳理
点与圆的位置关系
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝PC＝eq \r(x0－a2＋y0－b2).
例2 已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
解 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－1＝0，,x－2y＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))
∴圆心M的坐标为(0,1)，
半径r＝MP＝eq \r(52＋1－62)＝5eq \r(2).
∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.
∵AM＝eq \r(2－02＋2－12)＝eq \r(5)∴点A在圆内．
∵BM＝eq \r(1－02＋8－12)＝5eq \r(2)＝r，
∴点B在圆上．
∵CM＝eq \r(6－02＋5－12)＝2eq \r(13)>r，
∴点C在圆外．
∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．
反思感悟 判断点与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
跟踪训练2 已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．
解 因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，
所以圆的半径r＝eq \r(－3－02＋－4－02)＝5，
所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.
因为P1C＝eq \r(－1＋32＋0＋42)＝eq \r(4＋16)＝2eq \r(5)<5，
所以P1(－1,0)在圆内；
因为P2C＝eq \r(1＋32＋－1＋42)＝5，
所以P2(1，－1)在圆上；
因为P3C＝eq \r(3＋32＋－4＋42)＝6>5，
所以P3(3，－4)在圆外．
三、圆的标准方程的实际应用
例3 已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
解 以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x轴，以过拱顶的竖直直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，则O(0,0)，A(6，－2)．
设圆的标准方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)．
将A(6，－2)的坐标代入方程得r＝10，
∴圆的标准方程为x2＋(y＋10)2＝100.
当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)．
将A′(x0，－3)代入圆的标准方程，解得x0＝eq \r(51)，
∴水面下降1米后，水面宽为2x0＝2eq \r(51)(米)．
反思感悟 解决圆的标准方程的实际应用题时应注意以下几个方面
跟踪训练3 一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )
A．1.4 m B．3.5 m
C．3.6 m D．2.0 m
答案 B
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为h，
则A(0.8，h)，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝3.62，
把点A的坐标代入上式可得，0.82＋h2＝3.62，
解得h＝4eq \r(0.77)≈3.5 m.
1．知识清单：
(1)圆的标准方程．
(2)点与圆的位置关系．
(3)与圆有关的实际应用问题．
2．方法归纳：直接法、几何法、待定系数法．
3．常见误区：几何法求圆的标准方程时出现漏解情况．
1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标为( )
A．(2,1) B．(2，－1)
C．(－2,1) D．(－2，－1)
答案 B
解析 结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，－1)．
2．以(2 020,2 020)为圆心，2 021为半径的圆的标准方程为( )
A．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212
B．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 0212
C．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 021
D．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 021
答案 A
解析 由圆的标准方程知(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212.
3．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为________．
答案 a＞1或a＜－eq \f(1,5)
解析 因为(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，所以4a2＋(a－2)2＞5，解得a＞1或a＜－eq \f(1,5).
4．若点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的标准方程是________________．
答案 (x＋2)2＋y2＝10
解析 因为点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋1＝m.
∴m＝10，即圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝10.
课时对点练
1．已知两直线x－2y＝0和x＋y－3＝0的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝1
B．(x－1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－2)2＋(y－1)2＝1
答案 D
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝0，,x＋y－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))即圆心M(2,1)，又半径为1，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
2．圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案 B
解析 圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则直线过圆心(1,1)，
即1＝k＋3，解得k＝－2.
3．圆心在直线2x＋y＝0上，并且经过点A(1,3)和B(4,2)的圆的半径为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 设圆心坐标为(a，b)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－12＋b－32＝a－42＋b－22，,2a＋b＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，))
所以该圆的半径r＝eq \r(1－12＋－2－32)＝5.
4．若点(5eq \r(a)＋1，eq \r(a))在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是( )
A．0C．a>1 D．a＝1
答案 B
解析 由于点在圆的内部，所以(5eq \r(a)＋1－1)2＋(eq \r(a))2<26，即26a<26，又a≥0，解得0≤a<1.
5．(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是( )
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．圆M的圆心为(－4,3)
C．圆M的半径为5
D．圆M被y轴截得的线段长为6
答案 ACD
解析 由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，
得圆心为(4，－3)，半径为5，则AC正确；
令x＝0，得y＝0或y＝－6，故圆M被y轴截得的线段长为6，故D正确．
6．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
答案 B
解析 在圆C2上任取一点(x，y)，
则此点关于直线x－y－1＝0的对称点(y＋1，x－1)在圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1上，
所以(y＋1＋1)2＋(x－1－1)2＝1，
即(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
7．若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的标准方程为____________________.
答案 (x－2)2＋(y±eq \r(3))2＝4
解析 设圆心C(a，b)，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(a－12＋b2)＝\r(a－32＋b2)，,\r(a－12＋b2)＝|a|，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝±\r(3)，))半径r＝|a|＝2，
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－eq \r(3))2＝4或(x－2)2＋(y＋eq \r(3))2＝4.
8．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
答案 eq \r(2)＋1
解析 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1,1)，
则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq \f(|1－1－2|,\r(12＋－12))＝eq \r(2)，
故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为eq \r(2)＋1.
9．已知点A(1，－2)，B(－1,4)，求：
(1)过点A，B且周长最小的圆的方程；
(2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
解 (1)当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．
即AB的中点(0,1)为圆心，半径r＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(10).
则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)方法一 AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝eq \f(1,3)x.即x－3y＋3＝0，
由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，联立两直线方程得圆心坐标是C(3,2)．
r＝AC＝eq \r(1－32＋－2－22)＝2eq \r(5).
故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
方法二 待定系数法
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a2＋－2－b2＝r2，,－1－a2＋4－b2＝r2，,2a－b－4＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝2，,r2＝20，))
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
10．已知圆M过A(1，－1)，B(－1,1)两点，且圆心M在直线x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程．
(2)若圆M上存在点P，使OP＝a(a>0)，其中O为坐标原点，求实数a的取值范围．
解 (1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b－2＝0，,1－a2＋－1－b2＝r2，,－1－a2＋1－b2＝r2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，,r＝2，))
所以圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)由(1)知M(1,1)，r＝2，故OM＝eq \r(2)，
如图，得a＝OP∈[2－eq \r(2)，2＋eq \r(2)]．
11．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( )
A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20
C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20
答案 AD
解析 令x＝0，则y＝4；
令y＝0，则x＝2.
所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)，B(2,0)．AB＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，以A为圆心，
过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20.
以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.
12．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
答案 B
解析 由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，
得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y－1＝0，,3x－2y＋5＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1，))即P(－1,1)．
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴PC＝eq \r(－1－22＋1＋32)＝5，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B.
13．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________．
答案 (x－4)2＋y2＝1
解析 设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b＋1,a－3)·－1＝－1，,\f(a＋3,2)＋\f(b－1,2)－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝0，))
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.
14．若圆心在x轴上，半径为eq \r(5)的圆C位于y轴左侧，且圆心到直线x＋2y＝0的距离等于半径，则圆C的方程是________________.
答案 (x＋5)2＋y2＝5
解析 设圆心坐标为C(a,0)(a<0)，
则eq \f(|a|,\r(12＋22))＝eq \r(5)，所以|a|＝5.
又因为a<0，所以a＝－5，
故圆C的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
15．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 A
解析 设圆心C(x，y)，则eq \r(x－32＋y－42)＝1，
化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，
所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，
所以OC＋1≥OM＝eq \r(32＋42)＝5，
所以OC≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号．
16.如图，矩形ABCD的两条对角线交于M(3,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－7＝0，点E(0,1)在BC边所在直线上．
(1)求AD边所在的直线方程；
(2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程．
解 (1)因为AB⊥AD，所以kAD＝－eq \f(1,kAB)＝－eq \f(1,\f(1,3))＝－3，E(0,1)关于M(3,0)的对称点为(6，－1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y＋1＝－3(x－6)，
即3x＋y－17＝0.
(2)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y－17＝0，,x－3y－7＝0，))
解得A(5.8，－0.4)，
r2＝AM2＝(5.8－3)2＋(－0.4－0)2＝8.
所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－3)2＋y2＝8.位置关系
d与r的大小
图示
点P的坐标的特点
点在圆外
d＞r
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
点在圆上
d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
d＜r
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2