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高中苏教版 (2019)1.5 平面上的距离教案
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这是一份高中苏教版 (2019)1.5 平面上的距离教案，共10页。教案主要包含了两点之间的距离公式，由两点间距离求参数值，坐标法的应用等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.会用坐标法证明简单的平面几何问题．
导语
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？
一、两点之间的距离公式
问题1 在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？
提示 AB＝|xA－xB|.
问题2 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？
提示 (1)当P1P2与x轴平行时，P1P2＝|x2－x1|；
(2)当P1P2与y轴平行时，P1P2＝|y2－y1|；
(3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，P1Peq \\al(2,2)＝P1Q2＋QPeq \\al(2,2)，
所以P1P2＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
知识梳理
1．平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP＝eq \r(x2＋y2).
注意点：
(1)此公式与两点的先后顺序无关．
(2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|，或P1P2＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.
例1 已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．
解 方法一 ∵AB＝eq \r(3＋32＋－3－12)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)，
AC＝eq \r(1＋32＋7－12)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)，
又BC＝eq \r(1－32＋7＋32)＝eq \r(104)＝2eq \r(26)，
∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二 ∵kAC＝eq \f(7－1,1－－3)＝eq \f(3,2)，kAB＝eq \f(－3－1,3－－3)＝－eq \f(2,3)，
∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又AC＝eq \r(1＋32＋7－12)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)，
AB＝eq \r(3＋32＋－3－12)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)，
∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形．
反思感悟 计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
跟踪训练1 若点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________________．
答案 (2,10)或(－10,10)
解析 由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.
设点M的坐标为(xM，±10)．
由两点间距离公式，得MN＝eq \r(xM＋42＋10－22)＝10或MN＝eq \r(xM＋42＋－10－22)＝10，
解得xM＝－10或xM＝2，
所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10)．
二、由两点间距离求参数值
例2 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A(2,0)，若直线l上存在点M满足MA＝2MO(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是____________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2－4\r(2),3)，\f(2＋4\r(2),3)))
解析 设M(x，－x－a)，由MA＝2MO，得(x－2)2＋(－x－a)2＝4x2＋4(－x－a)2，整理，得6x2＋(6a＋4)x＋3a2－4＝0，由Δ≥0得9a2－12a－28≤0，解得eq \f(2－4\r(2),3)≤a≤eq \f(2＋4\r(2),3)，故a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2－4\r(2),3)，\f(2＋4\r(2),3))).
反思感悟 将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解．
跟踪训练2 在直线2x－3y＋5＝0上求点P，使点P到A(2,3)的距离为eq \r(13)，则点P的坐标是( )
A．(5,5) B．(－1,1)
C．(5,5)或(－1,1) D．(5,5)或(1，－1)
答案 C
解析 设点P(x，y)，则y＝eq \f(2x＋5,3).由PA＝eq \r(13)，得(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋5,3)－3))2＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，∴点P的坐标为(－1,1)或(5,5)．
三、坐标法的应用
例3 求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．
证明 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点．
设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，
则AB＝|c|.
又由中点坐标公式，得Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，\f(n,2)))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c＋m,2)，\f(n,2)))，
∴DE＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c＋m,2)－\f(m,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))，
∴DE＝eq \f(1,2)AB，
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．
反思感悟 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”．
(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
①建立坐标系，用坐标表示有关的量．
②进行有关代数运算．
③把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
跟踪训练3 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：AC＝BD.
证明 如图所示，建立平面直角坐标系，
设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)．
∴AC＝eq \r(b－02＋c－02)＝eq \r(b2＋c2)，
BD＝eq \r(a－b－a2＋c－02)＝eq \r(b2＋c2).
故AC＝BD.
1．知识清单：
(1)两点间的距离．
(2)由两点间距离求参数．
(3)坐标法的应用．
2．方法归纳：待定系数法、坐标法．
3．常见误区：已知距离求参数问题易漏解．
1．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且AB＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1,5
答案 C
解析 由两点间距离公式得eq \r(a＋22＋3＋12)＝5.
解得a＝1或a＝－5，故选C.
2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则PQ等于( )
A．4 B．4eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
答案 B
解析 ∵P(1,1)，Q(5,5)，∴PQ＝eq \r(42＋42)＝4eq \r(2).
3．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于eq \r(2)的点的坐标是( )
A．(－4,5) B．(－3,4) C．(－1,2) D．(0,1)
答案 BC
解析 设所求点的坐标为(x0，y0)，有
x0＋y0－1＝0，且eq \r(x0＋22＋y0－32)＝eq \r(2)，
两式联立解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－3，,y0＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,y0＝2.))
4．在平面直角坐标系xOy中，点A(－3,3)，B(－1,1)，若直线x－y－m＝0上存在点P使得PA＝eq \r(3)PB，则实数m的取值范围是________.
答案 [－2eq \r(3)，2eq \r(3)]
解析 设P(x，x－m)，
因为PA＝eq \r(3)PB，所以PA2＝3PB2，
所以(－3－x)2＋(3－x＋m)2＝3(－1－x)2＋3(1－x＋m)2，
化简得2x2－2mx＋m2－6＝0，
则Δ＝4m2－4×2(m2－6)≥0，
解得－2eq \r(3)≤m≤2eq \r(3)，
即实数m的取值范围是[－2eq \r(3)，2eq \r(3)]．
课时对点练
1．若A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则eq \f(AC,CB)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C．3 D．2
答案 D
解析 AC＝4eq \r(2)，CB＝2eq \r(2)，故eq \f(AC,CB)＝2.
2．(多选)对于eq \r(x2＋2x＋5)，下列说法正确的是( )
A．可看作点(x,0)与点(1,2)的距离
B．可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离
C．可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离
D．可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离
答案 BCD
解析 eq \r(x2＋2x＋5)＝eq \r(x＋12＋4)
＝eq \r(x＋12＋0±22)＝eq \r(x＋12＋－1－12)，
可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离，
可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确．
3．点P(－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为( )
A．41 B.eq \r(41) C.eq \r(39) D．39
答案 B
解析 设M(x，y)，由中点坐标公式得eq \f(x－2,2)＝1，eq \f(y＋5,2)＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5)，则OM＝eq \r(42＋－52)＝eq \r(41).
4．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是( )
A．2eq \r(5) B．3eq \r(5) C.eq \f(5\r(5),2) D.eq \f(7\r(5),2)
答案 C
解析 由中点坐标公式可得，BC边的中点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，6)).
由两点间的距离公式得AD＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(3,2)))2＋1－62)＝eq \f(5\r(5),2).
5．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则AB的值为( )
A.eq \f(\r(89),5) B.eq \f(17,5) C.eq \f(13,5) D.eq \f(11,5)
答案 C
解析 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,5)))，
由两点间的距离公式，得AB＝eq \f(13,5).
6．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取最小值时，实数a的值是( )
A．－eq \f(7,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(7,2)
答案 C
解析 ∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，
∴AB＝eq \r([a＋1－5]2＋[a－4－2a－1]2)
＝eq \r(a－42＋a＋32)＝eq \r(2a2－2a＋25)
＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋\f(49,2))，
∴当a＝eq \f(1,2)时，AB取得最小值．
7．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则AB＝________.
答案 eq \r(2)
解析 由题意知kAB＝eq \f(b－a,5－4)＝b－a＝1，所以AB＝eq \r(5－42＋b－a2)＝eq \r(2).
8．若动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________．
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 由两点间的距离公式得P到原点的距离为eq \r(x2＋1－x2)＝eq \r(2x2－2x＋1)＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋\f(1,2))，
∴最小值为eq \r(\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2).
9．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为eq \f(\r(2),4)，求a的值．
解 由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝eq \f(1,a)，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，0))，令x＝0，有y＝eq \f(1,2)，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，故AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)，\f(1,4)))，
∵线段AB的中点到原点的距离为eq \f(\r(2),4)，
∴eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－0))2)＝eq \f(\r(2),4)，解得a＝±2.
10．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使AB＝5，求直线l的方程．
解 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y＋1＝k(x－1)，
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－6＝0，,y＝kx－k－1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(7＋k,k＋2)，,y＝\f(4k－2,k＋2)，))
即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7＋k,k＋2)，\f(4k－2,k＋2))).
由AB＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7＋k,k＋2)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k－2,k＋2)＋1))2)＝5，
解得k＝－eq \f(3,4)，
所以直线l的方程为y＋1＝－eq \f(3,4)(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1.
此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意．
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
11．已知A(2,4)，B(1,0)，动点P在直线x＝－1上，当PA＋PB取最小值时，点P的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(8,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(21,5)))
C．(－1,2) D．(－1,1)
答案 A
解析 点B关于直线x＝－1对称的点为B1(－3,0)，
由图形知，当A，P，B1三点共线时，PA＋PB1＝(PA＋PB)min，
此时，直线AB1的方程为y＝eq \f(4,5)(x＋3)，
令x＝－1，得y＝eq \f(8,5)，故选A.
12．已知x，y∈R，S＝eq \r(x＋12＋y2)＋eq \r(x－12＋y2)，则S的最小值是( )
A．0 B．2 C．4 D.eq \r(2)
答案 B
解析 S＝eq \r(x＋12＋y2)＋eq \r(x－12＋y2)可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.
13．已知△ABC的三顶点A(3,8)，B(－11,3)，C(－8，－2)，则BC边上的高AD的长度为________．
答案 eq \f(5\r(34),2)
解析 由两点间距离公式得AB＝eq \r(221)，BC＝eq \r(34)，AC＝eq \r(221).
∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，
∴D为BC的中点，由中点坐标公式易得Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19,2)，\f(1,2)))，
∴AD＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19,2)－3))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－8))2)＝eq \f(5\r(34),2).
14．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则eq \f(PA2＋PB2,PC2)＝________.
答案 10
解析 以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
设A(4a,0)，B(0,4b)，则D(2a,2b)，P(a，b)，
所以PA2＝9a2＋b2，PB2＝a2＋9b2，
PC2＝a2＋b2，
于是PA2＋PB2＝10(a2＋b2)＝10PC2，
即eq \f(PA2＋PB2,PC2)＝10.
15．已知两点A(2,3)，B(4,1)，P为直线l：x＋2y－2＝0上一动点，则PA＋PB的最小值为________，PA－PB的最大值为________．
答案 eq \f(2\r(170),5) 2eq \r(2)
解析 如图，可判断A，B在直线l的同侧，设点A关于l的对称点A′的坐标为(x1，y1)．
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x1＋2,2)＋2·\f(y1＋3,2)－2＝0，,\f(y1－3,x1－2)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－\f(2,5)，,y1＝－\f(9,5).))故A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)，－\f(9,5))).
由平面几何知识可知，当点P为直线A′B与直线l的交点时，PA＋PB最小，此时PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，故PA＋PB的最小值为
A′B＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)－4))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)－1))2)＝eq \f(2\r(170),5).
由平面几何知识可知，当点P为直线AB与l的交点时，PA－PB最大，此时PA－PB＝AB.故PA－PB的最大值为AB＝eq \r(2－42＋3－12)＝2eq \r(2).
16.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：AB2＋BC2－eq \f(1,2)AC2＝2BD2.
证明 如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系．
设B(b，c)，C(a,0)，依题意得A(－a,0)．
AB2＋BC2－eq \f(1,2)AC2
＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－eq \f(1,2)(2a)2
＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，
2BD2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，
所以AB2＋BC2－eq \f(1,2)AC2＝2BD2.
学习目标 1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.会用坐标法证明简单的平面几何问题．
导语
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？
一、两点之间的距离公式
问题1 在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？
提示 AB＝|xA－xB|.
问题2 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？
提示 (1)当P1P2与x轴平行时，P1P2＝|x2－x1|；
(2)当P1P2与y轴平行时，P1P2＝|y2－y1|；
(3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，P1Peq \\al(2,2)＝P1Q2＋QPeq \\al(2,2)，
所以P1P2＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
知识梳理
1．平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP＝eq \r(x2＋y2).
注意点：
(1)此公式与两点的先后顺序无关．
(2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|，或P1P2＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.
例1 已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．
解 方法一 ∵AB＝eq \r(3＋32＋－3－12)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)，
AC＝eq \r(1＋32＋7－12)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)，
又BC＝eq \r(1－32＋7＋32)＝eq \r(104)＝2eq \r(26)，
∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二 ∵kAC＝eq \f(7－1,1－－3)＝eq \f(3,2)，kAB＝eq \f(－3－1,3－－3)＝－eq \f(2,3)，
∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又AC＝eq \r(1＋32＋7－12)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)，
AB＝eq \r(3＋32＋－3－12)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)，
∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形．
反思感悟 计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
跟踪训练1 若点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________________．
答案 (2,10)或(－10,10)
解析 由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.
设点M的坐标为(xM，±10)．
由两点间距离公式，得MN＝eq \r(xM＋42＋10－22)＝10或MN＝eq \r(xM＋42＋－10－22)＝10，
解得xM＝－10或xM＝2，
所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10)．
二、由两点间距离求参数值
例2 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A(2,0)，若直线l上存在点M满足MA＝2MO(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是____________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2－4\r(2),3)，\f(2＋4\r(2),3)))
解析 设M(x，－x－a)，由MA＝2MO，得(x－2)2＋(－x－a)2＝4x2＋4(－x－a)2，整理，得6x2＋(6a＋4)x＋3a2－4＝0，由Δ≥0得9a2－12a－28≤0，解得eq \f(2－4\r(2),3)≤a≤eq \f(2＋4\r(2),3)，故a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2－4\r(2),3)，\f(2＋4\r(2),3))).
反思感悟 将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解．
跟踪训练2 在直线2x－3y＋5＝0上求点P，使点P到A(2,3)的距离为eq \r(13)，则点P的坐标是( )
A．(5,5) B．(－1,1)
C．(5,5)或(－1,1) D．(5,5)或(1，－1)
答案 C
解析 设点P(x，y)，则y＝eq \f(2x＋5,3).由PA＝eq \r(13)，得(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋5,3)－3))2＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，∴点P的坐标为(－1,1)或(5,5)．
三、坐标法的应用
例3 求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．
证明 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点．
设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，
则AB＝|c|.
又由中点坐标公式，得Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，\f(n,2)))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c＋m,2)，\f(n,2)))，
∴DE＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c＋m,2)－\f(m,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))，
∴DE＝eq \f(1,2)AB，
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．
反思感悟 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”．
(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
①建立坐标系，用坐标表示有关的量．
②进行有关代数运算．
③把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
跟踪训练3 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：AC＝BD.
证明 如图所示，建立平面直角坐标系，
设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)．
∴AC＝eq \r(b－02＋c－02)＝eq \r(b2＋c2)，
BD＝eq \r(a－b－a2＋c－02)＝eq \r(b2＋c2).
故AC＝BD.
1．知识清单：
(1)两点间的距离．
(2)由两点间距离求参数．
(3)坐标法的应用．
2．方法归纳：待定系数法、坐标法．
3．常见误区：已知距离求参数问题易漏解．
1．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且AB＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．－1,5
答案 C
解析 由两点间距离公式得eq \r(a＋22＋3＋12)＝5.
解得a＝1或a＝－5，故选C.
2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则PQ等于( )
A．4 B．4eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
答案 B
解析 ∵P(1,1)，Q(5,5)，∴PQ＝eq \r(42＋42)＝4eq \r(2).
3．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于eq \r(2)的点的坐标是( )
A．(－4,5) B．(－3,4) C．(－1,2) D．(0,1)
答案 BC
解析 设所求点的坐标为(x0，y0)，有
x0＋y0－1＝0，且eq \r(x0＋22＋y0－32)＝eq \r(2)，
两式联立解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－3，,y0＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,y0＝2.))
4．在平面直角坐标系xOy中，点A(－3,3)，B(－1,1)，若直线x－y－m＝0上存在点P使得PA＝eq \r(3)PB，则实数m的取值范围是________.
答案 [－2eq \r(3)，2eq \r(3)]
解析 设P(x，x－m)，
因为PA＝eq \r(3)PB，所以PA2＝3PB2，
所以(－3－x)2＋(3－x＋m)2＝3(－1－x)2＋3(1－x＋m)2，
化简得2x2－2mx＋m2－6＝0，
则Δ＝4m2－4×2(m2－6)≥0，
解得－2eq \r(3)≤m≤2eq \r(3)，
即实数m的取值范围是[－2eq \r(3)，2eq \r(3)]．
课时对点练
1．若A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则eq \f(AC,CB)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C．3 D．2
答案 D
解析 AC＝4eq \r(2)，CB＝2eq \r(2)，故eq \f(AC,CB)＝2.
2．(多选)对于eq \r(x2＋2x＋5)，下列说法正确的是( )
A．可看作点(x,0)与点(1,2)的距离
B．可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离
C．可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离
D．可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离
答案 BCD
解析 eq \r(x2＋2x＋5)＝eq \r(x＋12＋4)
＝eq \r(x＋12＋0±22)＝eq \r(x＋12＋－1－12)，
可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离，
可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确．
3．点P(－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为( )
A．41 B.eq \r(41) C.eq \r(39) D．39
答案 B
解析 设M(x，y)，由中点坐标公式得eq \f(x－2,2)＝1，eq \f(y＋5,2)＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5)，则OM＝eq \r(42＋－52)＝eq \r(41).
4．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是( )
A．2eq \r(5) B．3eq \r(5) C.eq \f(5\r(5),2) D.eq \f(7\r(5),2)
答案 C
解析 由中点坐标公式可得，BC边的中点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，6)).
由两点间的距离公式得AD＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(3,2)))2＋1－62)＝eq \f(5\r(5),2).
5．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则AB的值为( )
A.eq \f(\r(89),5) B.eq \f(17,5) C.eq \f(13,5) D.eq \f(11,5)
答案 C
解析 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,5)))，
由两点间的距离公式，得AB＝eq \f(13,5).
6．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取最小值时，实数a的值是( )
A．－eq \f(7,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(7,2)
答案 C
解析 ∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，
∴AB＝eq \r([a＋1－5]2＋[a－4－2a－1]2)
＝eq \r(a－42＋a＋32)＝eq \r(2a2－2a＋25)
＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋\f(49,2))，
∴当a＝eq \f(1,2)时，AB取得最小值．
7．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则AB＝________.
答案 eq \r(2)
解析 由题意知kAB＝eq \f(b－a,5－4)＝b－a＝1，所以AB＝eq \r(5－42＋b－a2)＝eq \r(2).
8．若动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________．
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 由两点间的距离公式得P到原点的距离为eq \r(x2＋1－x2)＝eq \r(2x2－2x＋1)＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋\f(1,2))，
∴最小值为eq \r(\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2).
9．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为eq \f(\r(2),4)，求a的值．
解 由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝eq \f(1,a)，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，0))，令x＝0，有y＝eq \f(1,2)，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，故AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)，\f(1,4)))，
∵线段AB的中点到原点的距离为eq \f(\r(2),4)，
∴eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－0))2)＝eq \f(\r(2),4)，解得a＝±2.
10．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使AB＝5，求直线l的方程．
解 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y＋1＝k(x－1)，
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－6＝0，,y＝kx－k－1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(7＋k,k＋2)，,y＝\f(4k－2,k＋2)，))
即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7＋k,k＋2)，\f(4k－2,k＋2))).
由AB＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7＋k,k＋2)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k－2,k＋2)＋1))2)＝5，
解得k＝－eq \f(3,4)，
所以直线l的方程为y＋1＝－eq \f(3,4)(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1.
此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意．
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
11．已知A(2,4)，B(1,0)，动点P在直线x＝－1上，当PA＋PB取最小值时，点P的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(8,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(21,5)))
C．(－1,2) D．(－1,1)
答案 A
解析 点B关于直线x＝－1对称的点为B1(－3,0)，
由图形知，当A，P，B1三点共线时，PA＋PB1＝(PA＋PB)min，
此时，直线AB1的方程为y＝eq \f(4,5)(x＋3)，
令x＝－1，得y＝eq \f(8,5)，故选A.
12．已知x，y∈R，S＝eq \r(x＋12＋y2)＋eq \r(x－12＋y2)，则S的最小值是( )
A．0 B．2 C．4 D.eq \r(2)
答案 B
解析 S＝eq \r(x＋12＋y2)＋eq \r(x－12＋y2)可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.
13．已知△ABC的三顶点A(3,8)，B(－11,3)，C(－8，－2)，则BC边上的高AD的长度为________．
答案 eq \f(5\r(34),2)
解析 由两点间距离公式得AB＝eq \r(221)，BC＝eq \r(34)，AC＝eq \r(221).
∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，
∴D为BC的中点，由中点坐标公式易得Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19,2)，\f(1,2)))，
∴AD＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19,2)－3))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－8))2)＝eq \f(5\r(34),2).
14．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则eq \f(PA2＋PB2,PC2)＝________.
答案 10
解析 以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
设A(4a,0)，B(0,4b)，则D(2a,2b)，P(a，b)，
所以PA2＝9a2＋b2，PB2＝a2＋9b2，
PC2＝a2＋b2，
于是PA2＋PB2＝10(a2＋b2)＝10PC2，
即eq \f(PA2＋PB2,PC2)＝10.
15．已知两点A(2,3)，B(4,1)，P为直线l：x＋2y－2＝0上一动点，则PA＋PB的最小值为________，PA－PB的最大值为________．
答案 eq \f(2\r(170),5) 2eq \r(2)
解析 如图，可判断A，B在直线l的同侧，设点A关于l的对称点A′的坐标为(x1，y1)．
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x1＋2,2)＋2·\f(y1＋3,2)－2＝0，,\f(y1－3,x1－2)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－\f(2,5)，,y1＝－\f(9,5).))故A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)，－\f(9,5))).
由平面几何知识可知，当点P为直线A′B与直线l的交点时，PA＋PB最小，此时PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，故PA＋PB的最小值为
A′B＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)－4))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)－1))2)＝eq \f(2\r(170),5).
由平面几何知识可知，当点P为直线AB与l的交点时，PA－PB最大，此时PA－PB＝AB.故PA－PB的最大值为AB＝eq \r(2－42＋3－12)＝2eq \r(2).
16.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：AB2＋BC2－eq \f(1,2)AC2＝2BD2.
证明 如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系．
设B(b，c)，C(a,0)，依题意得A(－a,0)．
AB2＋BC2－eq \f(1,2)AC2
＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－eq \f(1,2)(2a)2
＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，
2BD2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，
所以AB2＋BC2－eq \f(1,2)AC2＝2BD2.
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