第18题 空间向量与立体几何——【新课标全国卷（理）】2023届高考数学二轮复习考点题号一对一

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1.已知直四棱柱中，，，.
(1)求证：平面.
(2)求二面角的余弦值.
2.如图，在几何体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为4的正方形，平面ABCD，，点E为PD的中点，四棱锥是高为4的正四棱锥.
（1）求证：平面平面QBC；
（2）求平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值.
3.如图，四棱锥中，，，，，.
（1）证明：平面平面PCD；
（2）求平面ABCD与平面PCD所成角的余弦值.
4.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，.
（1）证明：为直角三角形；
（2）若，E是PC的中点，且二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.
5.已知几何体，如图所示，其中四边形、四边形、四边形均为正方形，且边长均为1，点在棱上.
(1)求证：.
(2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为45°？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
6.如图.在多面体中是边长为4的等边三角形，，，点为的中点，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角? 若存在，试指出点的位置，若不存在，请说明理由.
7.如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，为等边三角形.
（1）当PB的长为多少时，平面平面ABCD？并说明理由；
（2）若二面角的大小为，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
8.等边的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且满足（如图1）.将沿DE折起到的位置，使平面平面BCED，连接、（如图2）.
（1）求证：平面BCED；
（2）在线段BC上是否存在点P，使直线与平面所成的角为60°？若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由.
9.如图所示，在梯形ABCD中，，，四边形ACFE为矩形，且平面ABCD，.
（1）求证：平面BCF；
（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB的夹角为，试求的取值范围.
10.如图，三棱柱中，侧棱平面ABC，为等腰直角三角形，，且，E、F分别为、BC的中点.
（1）若D是的中点，求证：平面AEF；
（2）若M是线段AE上的任意一点，求直线与平面AEF所成角的正弦的最大值.
11.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，底面ABCD，，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上.
（1）求证：面面PAC；
（2）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值.
12.如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，点Q为线段上的一动点.
（1）求证：当点Q为线段的中点时，平面；
（2）设，试问：是否存在实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由.
13.如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，，，平面平面ABCD，E为棱PB上一点（不与P、B重合），平面ADE交棱PC于点F.
（1）求证：；
（2）若平面BAC与平面ACE夹角的余弦值为，求点B到平面AEC的距离.
14.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，平面平面ABCD，F为棱PD的中点.
（1）在棱AB上是否存在一点E，使得平面PCE？并说明理由；
（2）当二面角的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角.
15.如图，四棱锥中，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是的菱形，M为棱PC上的动点，且.
（1）求证：为直角三角形；
（2）试确定的值，使得平面PAD与平面ADM夹角的余弦值为.
答案以及解析
1.答案：(1)证明过程见解析.
(2)余弦值为.
解析：(1)四棱柱是直四棱柱，平面ABCD.
平面ABCD，.
在四边形ABCD中，，，.
又，平面.
(2)如图，连接，记，，连接，
则平面ABCD，且.
以O为坐标原点，分别以OA，OB，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，.
，，.
设平面的法向量为，则即
取，则，，
是平面的一个法向量.
同理，是平面的一个法向量.
.
由图知，二面角为锐角，
所求二面角的余弦值为.
2.答案：（1）见解析
（2）平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值为
解析：（1）连接BD，与AC交于点O，因为四边形ABCD是正方形，所以.
连接OQ，因为四棱锥是正四棱锥，所以，
因为，所以平面QBD.
因为平面QBD，所以.
延长QO，与PB交于点F，则，又，，
所以，，
，
所以，所以.
连接OE，因为点E为PD的中点，点O为BD的中点，所以，所以，
因为，所以平面EAC.
因为平面QBC，所以平面平面QBC.
（2）以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，.
设平面PAC的法向量为，
则得
取，得.
设平面QAB的法向量为，
则得
取，得.
设平面PAC与平面QAB所成锐二面角的大小为，
则，
所以平面PAC与平面QAB所成锐二面角的余弦值为.
3.答案：（1）见解析
（2）平面ABCD与平面PCD所成角的余弦值为
解析：（1），，.
，，，
.
，.
又，，平面PCD，
又平面PAC，
平面平面PCD.
（2）在中，，，
由（1）知平面PCD，
故可以点P为坐标原点，PA，PD，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，.
设平面ABCD的法向量为，
则即
不妨取，则.
显然平面PCD的一个法向量为，
，
平面ABCD与平面PCD所成角的余弦值为.
4.答案：（1）见解析
（2）时，三棱锥的体积为；当时，三棱锥的体积为
解析：（1）因为四边形ABCD是菱形，，
所以，
取AB的中点M，连接DM，PM，易知，
因为，所以，
因为，所以平面PDM，
又平面PDM，所以.
取BC的中点N，连接DN，PN，同理得，
又，所以平面ABCD，
又平面ABCD，所以，故为直角三角形.
（2）由（1）可知，直线DM，DC，DP两两垂直，故可以D为坐标原点，DM，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设，则，，，，
因为E是PC的中点，所以，
则，，，
设平面PAB的法向量为，
则得令，则.
设平面ABE的法向量为，
则得令，则，
所以.
令，则，解得或，
所以或，所以或.
连接AC，因为，，
所以.
当时，三棱锥的体积为；当时，三棱锥的体积为.
5.答案：(1)证明过程见解析.
(2)存在点M使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.
解析：(1)四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形，
，.
又，平面ABCD.
以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，.
点在棱上，故可设.
，，
，.
(2)假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.
设平面的法向量为，
，，
，，
令，得为平面BEF的一个法向量，
.
直线与平面所成的角为45°，
，
解得.
又.存在点.
当点M位于棱DG上，且时，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.
6.答案：(1)证明过程见解析.
(2)存在，当T为线段BC上靠近点C的八等分点时，二面角为直二面角.
解析：(1)因为，是边长为4的等边三角形，
所以，
所以是等腰直角三角形，，
又点为的中点，所以.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为，所以，
所以与都是直角三角形，故.
又，所以平面.所以，
因为平面，平面，
所以平面.
(2)连接，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设存在，使得二面角为直二面角，易知，且，
设平面的法向量为，则由，
得，令，得，故，
设平面向量的法向量为，
则由，
得，令，得，
故，由，
得，故，
所以当T为线段BC上靠近点C的八等分点时，二面角为直二面角.
7.答案：（1）当时，平面平面ABCD.
理由如下：在中，因为，，
所以.
又，，
所以平面PAD，
又平面ABCD，
所以平面平面ABCD.
（2）分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，因为为等边三角形，O为AD的中点，所以，因为O，E分别为AD，BC的中点，所以，又，所以，故为二面角的平面角，所以，
如图，分别以，的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则，，，.
，，，
设为平面PBC的法向量，
则
即，令，得，，，
设AB与平面PBC所成角为，
则
，
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
8.答案：（1）证明：在中，，，，
得，
所以，从而，
所以在题图2中，.
又平面平面BCED，平面平面，平面，
所以平面BCED.
（2）由（1）知，，DB，DE两两垂直，以DB，DE，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，
则，，
假设线段BC上存在点P，使直线与平面所成的角为60°，
设，其中，
则.
易知平面的一个法向量，
则.
解得，此时.
所以存在满足要求的点P，且线段BP的长度为.
9.答案：（1）证明：连接AC，设，
，，，，
，
，.
四边形ACFE为矩形，.
，平面BCF，且，
平面BCF.
，平面BCF.
（2）以C为坐标原点，直线CA，CB，CF分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，，
所以，，
设为平面MAB的法向量，
由得
取，所以.
因为是平面FCB的一个法向量，所以.
因为，所以当时，有最小值；当时，有最大值，
所以.
10.答案：（1）证明：连接，.
因为D、E分别是、的中点，
所以，又，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为E，F分别是，BC的中点，
所以，
所以平面平面.
又平面，所以平面AEF.
（2）以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，.
设平面AEF的法向量为，
由得
令，得，，
所以平面AEF的一个法向量为.
设，，则，
所以，所以，
设直线与平面AEF所成角为，
则
，
易知当时，.
故直线与平面AEF所成角的正弦的最大值为.
11.答案：（1）证明：面ABCD，面ABCD，.
在中，，，
，
又，且，四边形ABEF为平行四边形，，因此，又，面PAC，面PAC，
面PAC，
又面EMF，面面PAC.
（2）分别以AE，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则，，，，，，，，.
设平面PBC的法向量为，
则
令，则，，
易知平面ABCD的一个法向量.
设，，
则，
.
直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，
，
即，
即，解得，故.
12.答案：（1）证明：连接，.
点Q为线段的中点，四边形为矩形，
，Q，三点共线，且点Q为的中点.
点P，Q分别为和的中点，
.
在直三棱柱中，，
平面，
又平面，.
又，四边形为正方形，
.
，平面.
而，平面.
（2）以C为原点，分别以CA，CB，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，连接，，BP，则，.设.
，.
.
点Q在线段上运动，
平面的法向量即为平面的法向量.
设平面的法向量为，
，，
，.
由得
令，得.
设平面的法向量为，
，，.
由得
令，得.
由题意得，
，解得或.
当或时，平面与平面所成夹角的余弦值为.
13.答案：（1）证明：底面ABCD为矩形，
，
又平面PBC，平面PBC，
平面PBC.
又平面ADE，平面平面，.
（2）如图，取AD的中点O，连接PO，过点O作交BC于点H.
侧面PAD为正三角形，，
平面平面ABCD，且交线为AD，
平面ABCD，底面ABCD为矩形，
，.
以O为原点，OA，OH，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则，，，，，，.
设，
则，
.
设平面AEC的法向量为，
则
令，则，.
平面AEC的一个法向量为.
易知是平面ABC的一个法向量.
，
解得，，
.
又平面AEC的一个法向量，
点B到平面AEC的距离为.
14.答案：（1）在棱AB上存在点E，使得平面PCE，且E为棱AB的中点.
理由如下：如图，取PC的中点Q，连接EQ、FQ，
由题意得，且，
因为且，
所以且.
所以四边形AEQF为平行四边形.
所以.
又平面PCE，平面PCE，
所以平面PCE.
（2）连接BD、DE.由题意知为正三角形，所以，即，
又，所以，且平面平面ABCD，平面平面，
所以平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则由题意知，，，
则，，
设平面FBC的法向量为.
则
令，则，，
所以，
易知平面DFC的一个法向量，
因为二面角的余弦值为，
所以，即，解得（负值舍去）.
因为平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，
所以为直线PB与平面ABCD所成的角，
由题意知在中，，所以，
所以直线PB与平面ABCD所成的角为45°.
15.答案：（1）证明：取AD的中点O，连接OP，OC，AC，依题意可知，均为正三角形，所以，，又，平面POC，平面POC，所以平面POC，
又平面POC，所以，因为，所以，即，从而为直角三角形.
（2）由（1）可知，又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，所以平面ABCD.
以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，
则，，，，.
由可得点M的坐标为，
所以，，
设平面ADM的法向量为，
则
即
解得令，得，
显然平面PAD的一个法向量为，
依题意得，
解得或（舍去），
所以当时，平面PAD与平面ADM夹角的余弦值为.