数学模拟测试卷-备战2022年高考数学全真模拟热身卷(新高考专用)（解析版）

2022届高考数学·备战热身卷

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，有一项符合题目要求。）

1．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】.因为，所以.

2．（2022·辽宁·育明高中高三阶段练习）已知复数，是z的共轭复数，则（       ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】B

【解析】因为（），，

所以，所以，而.

3．（2020·广东茂名·高一期末）从一副混合的扑克牌共52张（没有大小鬼2张），中随机抽取13张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，事件是互斥事件，

所以.

4．（2019·山西·祁县第二中学校高一期中）已知函数，则函数的图象

A．关于轴对称     B．关于轴对称     C．关于直线对称     D．关于原点对称

【答案】D

【解析】∵，∴=-=-f（x），

∴f（x）为奇函数，故f（x）的图象关于原点对称.

5．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A．       B．       C．       D．

【答案】A

【解析】设方程的两个异号的实根分别为，，则，．

又，，，

则（当且仅当，时取“”），

由不等式恒成立，得，解得．

实数的取值范围是．

6．（2022·辽宁·辽阳县第一高级中学高二阶段练习）已知等差数列的公差不为零，，是和的等比中项，设，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设的公差，因为，是和的等比中项，所以，

即，解得，则，

所以，

所以的最小值为.

7．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数图像与函数图像的交点为，，…，，则（       ）

A．20 B．15 C．10 D．5

【答案】A

【解析】函数定义域为，

其图象是4条曲线组成，在区间，，，上都单调递减，

当时，，当或时，取一切实数，当时，，

，即的图象关于点对称，

函数定义域为R，在R上单调递增，值域为，其图象夹在二平行直线之间，

，的图象关于点对称，

因此，函数的图象与的图象有4个交点，即，它们关于点对称，

不妨令点与相互对称，与相互对称，则，，

所以.

8．（2020·全国·高三专题练习）设是偶函数的导函数，当时，，则不等式的解集为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意，得，

进而得到，令，

则，，.

由，得，即.

当时，，在上是增函数.

函数是偶函数，也是偶函数，且在上是减函数，

，解得，又，即，.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）

9．（2022·全国·高二期末）已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点，，下列判断正确的是（       ）

A．， B．

C．的离心率等于 D．的渐近线方程为

【答案】BCD

【解析】如下图所示，因为，即为中点，为中点，所以，

因为，所以，所以，，A错误，B正确；

由知：，又，，

所以，即，所以，解得：，C正确；

所以，所以，所以，所以，

所以的渐近线方程为，D正确．

10．（2022·江苏无锡·模拟预测）甲､乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示，以下说法正确的是（       ）

A．甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；

B．甲同学的平均分比乙同学的平均分高；

C．甲同学的平均分比乙同学的平均分低；

D．甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.

【答案】CD

【解析】根据给定的茎叶图中的数据可知：

选项A.甲同学成绩的中位数是81，乙同学的中位数是87.5，

所以甲同学的中位数小于乙同学的中位数，所以A不正确；

甲同学的平均数为 ，

乙同学的平均数为，

所以乙的平均数高于甲的平均数，所以B不正确；选项C正确

选项D，又由甲同学的成绩数据比较集中，方差小，乙同学的数据比较分散，方差大，

所以甲同学的方差小于乙同学的方差，选项D正确

11．（2022·重庆市凤鸣山中学高一阶段练习）下列论述中正确的是（       ）

A．已知平面向量，的夹角为，且，，则与的夹角等于

B．对于给定的，其重心为，过点的直线交，与，，若，，则

C．在四边形中，，且，则

D．在中，若则是外心

【答案】ABC

【解析】对于A，∵平面向量，的夹角为，且，，

∴，，

，∴，

因为，所以与的夹角等于.故A正确

对于B，由于是三角形的重心，三点共线，所以，

，，

，所以，

所以.B选项正确.

对于C，由于，所以四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，且，，所以，C选项正确.

对于D，在中，若，，，所以，同理可证得，所以是三角形的垂心，D选项错误.

12．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）下列大小关系正确的是（     ）

A．       B．       C．       D．

【答案】BCD

【解析】A中，记，则，易知在上函数单调递增，

所以，即；

记，则，易知在上单调递减，所以，即，综上，，故A错误；

B中，记，则，易知在上单调递增，所以，

即，整理得，故B正确；

CD中，记，则，

当时，，可得，函数单调递增；

所以有，即，故C正确，

当时，，可得，函数单调递减.

所以有，即，故D正确.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知是单位向量，且 ，则_______.

【答案】

【解析】因为是单位向量，且，所以，

所以，

又.

14．（2020·江苏·高三阶段练习）杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.如图所示的杨辉三角中，从第3行开始，每一行除1以外，其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和.若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第________行.

【答案】98

【解析】三角形数阵中，第n行的数由二项式系数（，，）组成，

如果第n行中有，，那么，解得.

15．（2021·江西·上饶市第一中学高二期中（理））如图，焦点在x轴上的椭圆1（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于A点，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|F1Q|＝4，则该椭圆的离心率为_____．

【答案】；

【解析】设△APF1的内切圆在上的切点分别为，

因为由△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，

所以由切线长定理得，

因为，所以，所以，

所以，

所以,

所以，得，因为，所以，

所以椭圆的离心率为

16．（2021·江西宜春·模拟预测（理））在三棱锥中，已知，，，，则三棱锥ABCD体积的最大值是______．

【答案】

【解析】过BC作与AD垂直的平面，交AD于E，过E作BC的垂线，垂足为F，

如图所示：，，

则三棱锥的体积为，

故EF取最大值时，三棱锥的体积也取最大值．

由，可得B，C都在以A，D为焦点的椭圆上，

因为平面BCE与线AD垂直，

所以三角形ADB与三角形ADC全等，即三角形BCE为等腰三角形，

又为定值，所以BE取最大值时，三棱锥的体积也取最大值．

在中，动点B到A，D两点的距离和为10，

B在以AD为焦点的椭圆上（长轴、焦距分别为、），

此时，，故BE的最大值为，此时，

故三棱锥的体积的最大值是．

四、解答题（本题共6小题，共70分。第17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（2022·江苏无锡·模拟预测）某学校共有名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集名学生每周上网时间的样本数据单位：小时根据这个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，，．

(1)估计该校学生每周平均使用手机上网时间每组数据以组中值为代表；

(2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过个小时的概率；

(3)将每周使用手机上网时间在内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在内的定义为“不长时间使用手机上网”在样本数据中，有名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．

附：．

【答案】(1)小时；(2)0.75

(3)列联表见解析，有的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关

【解析】(1)根据频率分布直方图得：

；

估计该校学生每周平均使用手机上网时间为小时；

(2)由频率分布直方图得，

估计该校学生每周使用手机上网时间超过个小时的概率为；

(3)根据题意填写列联表如下，

由表中数据，计算，

有的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．

18．（2021·江西·芦溪中学高一阶段练习）已知等差数列的公差为，前项和为，且．

(1)求数列的通项公式和；

(2)若数列的通项公式为，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)，；(2)

【解析】(1)为等差数列，且，，即，

又公差，．，

所以，．

(2)，，

，①

，②

①②得

，

 ，，，

，且，

时，，

又，时，，

存在，使得对任意，总有成立．，，

实数的取值范围为.

19．（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为2，且经过点.

(1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；

(2)先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，函数恰有两个不同的零点 ，求实数的范围和的值.

【答案】(1) , ；(2),

【解析】(1)由的振幅为2，且经过点，

所以，，代入有，

所以，，解得，，

因为，所以，所以，

又因为与关于轴对称，所以；

(2)由题意可得，

当时，，此时，，

而，在上递增，在上递减，

故 时，恰有两个不同的零点，

令 ,则，故.

20．（2022·广西柳州·三模（文））已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，.

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】(1)取三等分点，所以，，即

又因为，，，

所以且，所以四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，

即平面.

(2)因为为三等分点，所以，

，平面，平面平面，

且平面平面，过点作的垂线交延长线于，如下图所示：

由线面垂直的性质有平面，

所以点到平面的距离为，记，

因为，，，

所以，，，

.

即三棱锥的体积为.

21．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知右焦点为的椭圆与直线相交于两点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）为坐标原点，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，说明理由.

【答案】(1) (2) 的面积为定值

【解析】（1）设，，则 ，

，即，①

，，即，②

由①②得，

又，， 椭圆的方程为．

（2）设直线方程为：，

由得，

为重心，，

点在椭圆上，故有，可得，

而，

点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到），

，

当直线斜率不存在时，，，，的面积为定值．

22．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）已知函数为偶函数.

(1)求实数a的值；

(2)判断的单调性，并用定义法证明你的判断：

(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围.

【答案】(1)；(2)在上单调递增，在上单调递减，证明见解析；(3)

【解析】(1)为偶函数，定义域为，

故对定义域内恒成立，，即对定义域内恒成立，故；

(2)，在上单调递增，在上单调递减，

证明：设，

，故在上单调递增，

同理可证在上单调递减；

(3)由题意得，而，

①时，，，解得，

②时，，，故时恒满足题意，

综上，的取值范围是．