初中第一章 三角形的证明综合与测试单元测试当堂达标检测题

这是一份初中第一章 三角形的证明综合与测试单元测试当堂达标检测题，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


北师大版初中数学八年级下册第一单元《三角形的证明》单元测试卷
考试范围：第一章；   考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，等边▵ABC的边长为1，D是▵ABC外一点，且∠BDC = 120∘，BD = CD，∠MDN = 60∘，▵AMN的周长为(    )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 无法计算
2. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE=AF，AC与EF相交于点G.下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF=EF；③当∠DAF=15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF=60°时，S△ABE=12S△CEF.其中正确的是(    )
A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④
3. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为(2,1)，(6,1)，∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为(    )
A. (−4,−5) B. (−5,−4) C. (−3,−4) D. (−4,−3)
4. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD，DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为(    )
A. 3 B. 4 C. 25 D. 5
5. 如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3,4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为(    )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
6. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB=∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF//AC，分别交AB、AD于点F、G.则下列结论：①∠BAC=90°；②∠AEF=∠BEF；③∠BAE=∠BEA；④∠B=2∠AEF，其中正确的有(    )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为(    )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
8. 如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，AB于M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△AＢC的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AC+BC；④△ADM≌△BCD.正确的有(    )
A. ①②
B. ①③
C. ①②③
D. ③④
9. 如图，在等腰ΔABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是(       )
A. 60°
B. 55°
C. 50°
D. 45°
10. 如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB=90°+12∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab.其中正确的是(    )
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③
11. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF//BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．
①EF=BE+CF    ②∠BOC=90°+12∠A  ③点O到△ABC各边的距离相等  ④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=12mn，正确的结论有(    )个．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12. 如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA ①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD.其中正确的结论个数有(    )个．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB与∠CAB的平分线交于点P，PD⊥AB于点D.若△APC与△APD的周长差为2，四边形BCPD的周长为12+2，则BC等于________．

14. 如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为______．


15. 如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C=90°，AC=5，AB=13.点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形，则BD的长是______．
16. 课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的S1，S2，S3满足的数量关系是              .现将△ABF向上翻折，如图②，已知S甲=6，S乙=5，S丙=4，则△ABC的面积是              ．


三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，D是CA延长线上一点，以BD为边作等边三角形BDE，连接AE．
(1)求∠EAD的度数．
(2)求AE−AD的值．










18. 如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
(2)若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的长．
(3)若B、C、E三点在一条直线上(如图2)，且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．








19. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

(1)求证：BM=MN；
(2)∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．







20. 如图，矩形ABCD中，AB=4，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，∠ADB=30°.连结EF，作点D关于直线EF的对称点P．
(1)若EF⊥BD，求DF的长；
(2)若PE⊥BD，求DF的长；
(3)直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围．








21. 如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点，请按下列要求完成作图(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(1)作直线DE，使直线DE//AB；
(2)在直线DE上确定一点P，使点P到B，D两点的距离相等．








22. 在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6cm．

(1)求BC的长；
(2)分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．







23. (1)如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E.判断DE=DB+EC是否成立？为什么？

(2)如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想．








24. 如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．











答案和解析

1.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各边长相等、各内角为60°的性质，本题中求证MN=NE=NC+CE=NC+BM是解题的关键．延长AC到E，使CE=BM，连接DE，求证△BMD≌△CED可得∠BDM=∠CDE，进而求证△MDN≌△EDN可得MN=NE=NC+CE=NC+BM，即可计算△AMN周长，即可解题．
【解答】
解：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，

∵BD=DC，∠BDC=120°，
∴∠CBD=∠BCD=30°，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，
∵BM=CE，BD=CD，∠MBD=∠ECD=90°，
∴△BMD≌△CED，
∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，
又∵∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=60°，
∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，
又∵DN=DN，
∴△MDN≌△EDN(SAS)，
∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，
所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．
故选B．  
2.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的判定和性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质是解题关键．
①通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，
②设BC=a，CE=y，由勾股定理就可以得出EF与a、y的关系，表示出BE+DF与EF，即可判断BE+DF与EF关系不确定；
③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF为等边三角形，
④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．
【解答】
解：①四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AE=AFAB=AD，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF
∵BC=CD，
∴BC−BE=CD−DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF.(故①正确)．
②设BC=a，CE=y，
∴BE+DF=2(a−y)
EF=2y，
∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y=(2−2)a时成立，(故②错误)．
③当∠DAF=15°时，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF=∠BAE=15°，
∴∠EAF=90°−2×15°=60°，
又∵AE=AF
∴△AEF为等边三角形．(故③正确)．
④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出：
(x+y)2+y2=(2x)2
∴x2=2y(x+y)
∵S△CEF=12x2，S△ABE=12y(x+y)，
∴S△ABE=12S△CEF.(故④正确)．
综上所述，正确的有①③④，
故选：C．  
3.【答案】A

【解析】解：∵点B，C的坐标分别为(2,1)，(6,1)，∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴A(4,3)，
设直线AB解析式为y=kx+b，则
3=4k+b1=2k+b，
解得k=1b=−1，
∴直线AB解析式为y=x−1，
令x=0，则y=−1，
∴P(0,−1)，
又∵点A与点A′关于点P成中心对称，
∴点P为AA′的中点，
设A′(m,n)，则m+42=0，3+n2=−1，
∴m=−4，n=−5，
∴A′(−4,−5)，
故选：A．
先求得直线AB解析式为y=x−1，即可得出P(0,−1)，再根据点A与点A′关于点P成中心对称，利用中点公式，即可得到点A′的坐标．
本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB的解析式是解题的关键．

4.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查了轴对称−最短路线问题，判断出G点的轨迹是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.因为EF=2，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG=1，所以G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；根据勾股定理求得A′D=5，即可求得A′G=A′D−DG=5−1=4，从而得出PA+PG的最小值．
【解答】
解：∵EF=2，点G为EF的中点，
∴DG=1，
∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，

此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；
∵AB=2，AD=3，
∴AA′=4，
∴A′D=5，
∴A′G=A′D−DG=5−1=4，
∴PA+PG的最小值为4，
故选B．  
5.【答案】C

【解析】
【分析】
本题主要考查直角三角形的性质，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值.连结OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，根据勾股定理可求解OM=5，进而求解AB=2OP′．
【解答】
解：∵PA⊥PB，
∴∠APB=90∘，
∵AO=BO，
∴AB=2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连结OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q．

则OQ=3，MQ=4，
∴OM=5，
又∵MP′=2，
∴OP′=3，
∴AB=2OP′=6．
故选C．
  
6.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．①正确．证明∠BAD+∠CAD=90°即可．
②错误．如果EA=EC，则结论成立，无法判断EA=EC，故错误．
③正确．利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可解决问题．
④正确．证明∠B=∠CAD即可解决问题．
【解答】
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠CAB=90°，故①正确，
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=∠CAE，∠BAD=∠C，
∴∠BAE=∠C+∠CAE=∠BEA，故③正确，
∵EF//AC，
∴∠AEF=∠CAE，
∵∠CAD=2∠CAE，
∴∠CAD=2∠AEF，
∵∠CAD+∠BAD=90°，∠BAD+∠B=90°，
∴∠B=∠CAD=2∠AEF，故④正确，
无法判定EA=EC，故②错误．
故选：B．  
7.【答案】C

【解析】解：连接AD，AM．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA=MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的最短周长=(CM+MD)+CD=AD+12BC=8+12×4=8+2=10．
故选：C．
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

8.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查了线段垂直平分线性质及等腰三角形性质的综合应用，是基础题，要熟练掌握．
①由AB=AC，∠A=36°知∠ABC=∠C=72°，MN是AB的中垂线知AD=BD，∠ABD=∠A=36°，所以∠DBC=36°①正确．
②三角形的角平分线是线段，②错误．
③由①知，DA=BD，△BCD的周长=BC+CD+BD=AC+BC=AB+BC，③正确．
④由①知∠AMD=90°，而△BCD为锐角三角形，所以④不正确．
【解答】
解：由AB=AC，∠A=36°知∠ABC=∠C=72°，
∵MN是AB的中垂线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=36°，
∴①正确，
又∵∠ABC=72°，
∴∠ABD=36°，
∴线段BD是△ABC的角平分线而不是射线BD，
∴②错误，
由AD=BD，AB=AC知，
△BCD的周长=BC+CD+BD=AC+BC=AB+BC，
∴③正确，
∵AM⊥MD，而△BCD为锐角三角形，
∴④错误，
∴正确的为①③．
故选B．  
9.【答案】C

【解析】解：如图，连接OB，

∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=12∠BAC=12×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=65°−25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°−∠COE−∠OCB=180°−40°−40°=100°，
∴∠CEF=12∠CEO=50°．
故选C．
连接OB，OC，先根据角分线的定义求出∠BAO=25°，进而求出∠OBC=40°，求出∠COE=∠OCB=40°，最后根据三角形内角和定理和折叠的性质，问题即可解决．
本题主要考查了等腰三角形以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．

10.【答案】C

【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA=12∠CBA，∠OAB=12∠CAB，
∴∠AOB=180°−∠OBA−∠OAB=180°−12∠CBA−12∠CAB=180°−12(180°−∠C)=90°+12∠C，①正确；
∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AOF=60°，
∴∠BOE=60°，
如图，在AB上取一点H，使BH=BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO=∠EBO，
在△HBO和△EBO中，BH=BE∠HBO=∠EBOBO=BO，
∴△HBO≌△EBO(SAS)，
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°−60°−60°=60°，

∴∠AOH=∠AOF，
在△HBO和△EBO中，∠HAO=∠FAOAO=AO∠AOH=∠AOF，
∴△HBO≌△EBO(ASA)，
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH=OM=OD=a，
∵AB+AC+BC=2b
∴S△ABC=12×AB×OM+12×AC×OH+12×BC×OD=12(AB+AC+BC)⋅a=ab，④正确．
故选：C．
由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HBO≌△EBO，得到AF=AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，是解决问题的关键．

11.【答案】D

【解析】
【分析】
此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线与三角形面积的求解方法，即可求得④正确．
【解答】
解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°−12∠A，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=90°+12∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF//BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM，故③正确；
设ON=OD=OM=m，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE⋅OM+12AF⋅OD=12OD⋅(AE+AF)=12mn；故④正确；
故选：D．  
12.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，②正确；
由全等三角形的性质得出∠OCA=∠ODB，由三角形的外角性质得：∠CMD+∠OCA=∠COD+∠ODB，得出∠CMD=∠COD=36°，∠AMB=∠CMD=36°，①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA=∠OHB=90°，由AAS证明△OGA≌△OHB(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA 【解答】
解：∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故②正确；
∵∠OCA=∠ODB，
由三角形的外角性质得：
∠CMD+∠OCA=∠COD+∠ODB，
得出∠CMD=∠COD=36°，∠AMB=∠CMD=36°，故①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，

则∠OGA=∠OHB=90°，
在△OGA和△OHB中，
∵∠OGA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBHOA=OB，
∴△OGA≌△OHB(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，
在△AMO与△DMO中，∠AOM=∠DOMOM=OM∠AMO=∠DMO,
∴△AMO≌△DMO(ASA)，
∴AO=OD，
∵OC=OD，
∴OA=OC，
而OA 正确的个数有3个；
故选：B．  
13.【答案】6

【解析】
【分析】
本题考查了三角形角平分线的性质. 作PE⊥AC，PF⊥BC，根据角平分线性质知道PD=PE=PF=EC=FC，AE=AD，BD=BF，然后根据已知条件列式计算即可．
【解答】
解：作PE⊥AC，PF⊥BC，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，
根据角平分线性质知道PD=PE=PF=EC=FC，AE=AD，BD=BF，
∴△APC的周长=AP+PC+AC=AP+PC+AE+EC，
又△APD的周长=AP+PD+AD，
∴△APC的周长−△APD的周长=AP+PC+AE+EC−(AP+PD+AD)=PC=2，
∵BC=BF+FC=BD+PD
∴四边形BCPD的周长=BC+BD+PD+2=2BC+2，
∵四边形BCPD的周长=12+2，
∴2BC+2=12+2，
∴BC=6．
故答案为6．  
14.【答案】18

【解析】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．

∵EG垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴DF+DC=AD+DF，
∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，
∵12⋅BC⋅AH=120，
∴AH=12，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=10，
∵BF=3FC，
∴CF=FH=5，
∴AF=AH2+HF2=122+52=13，
∴DF+DC的最小值为13．
∴△CDF周长的最小值为13+5=18；
故答案为18．
如图作AH⊥BC于H，连接AD.由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；
本题考查轴对称−最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．

15.【答案】7或263

【解析】
【分析】
本题考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长．
【解答】
解：在Rt△ABC中，BC=AB2−AC2=132−52=12．
(1)当∠EDB′=90°时，如图1，

过点B′作B′F⊥AC，交AC的延长线于点F，
由折叠得：AB=AB′=13，BD=B′D=CF，
设BD=x，则B′D=CF=x，B′F=CD=12−x，
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：
(5+x)2+(12−x)2=132，
即：x2−7x=0，解得：x1=0(舍去)，x2=7，
因此，BD=7．
(2)当∠DEB′=90°时，如图2，此时点E与点C重合，

由折叠得：AB=AB′=13，则B′C=13−5=8，
设BD=x，则B′D=x，CD=12−x，
在Rt△B′CD中，由勾股定理得：
(12−x)2+82=x2，
解得：x=263，
因此BD=263．
故答案为7或263．  
16.【答案】S1+S2=S3；7

【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.分别用AB、BC和AC表示出S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系．根据S1、S2、S3的关系得出S△ABF′=S△ACE+S△BCD，进而求解即可．
【解答】
解：如图①，

S1=34AC2，S2=34BC2，S3=34AB2，
∵BC2+AC2=AB2，
∴S1+S2=S3，
如图②，

由上可知：S△ABF′=S△ACE+S△BCD，
即S4+S5+S6+S丙=S甲+S4+S乙+S6，
∴S5=S甲+S乙−S丙=6+5−4=7．
∴S△ABC=7．
故答案为S1+S2=S3；7．  
17.【答案】解：(1)∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，BD=BE，∠ABC=∠C=∠BAC=∠DBE=60°，
∴∠ABC+∠ABD=∠DBE+∠ABD，
即∠CBD=∠ABE，
在△CBD和△ABE中，
BC=AB∠CBD=∠ABEBD=BE，
∴△CBD≌△ABE(SAS)，
∴∠BAE=∠BCD=60°，
∴∠EAD=180°−60°−60°=60°；
(2)∵△CBD≌△ABE，
∴CD=AE，
∴AE−AD=CD−AD=AC=2．

【解析】(1)由SAS证明△CBD≌△ABE，得出∠BAE=∠BCD=60°，即可得出∠EAD的度数；
(2)由全等三角形的性质得出CD=AE，即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

18.【答案】解：(1)全等，理由是：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
CD=CE∠BCD=∠ACEBC=AC，
∴△ACE≌△BCD( SAS)；
(2)如图3，由(1)得：△BCD≌△ACE，

∴BD=AE，
∵△DCE都是等边三角形，
∴∠CDE=60°，CD=DE=2，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=2，
∴AE=AD2+DE2=9+4=13，
∴BD=13；
(3)如图2，过A作AF⊥CD于F，

∵B、C、E三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE=180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°，
在Rt△ACF中，AF=32，
∴S△ACD=12×CD×AF=12×2×32=32，
∴CF=12AC=1×12=12，
FD=CD−CF=2−12=32，
在Rt△AFD中，AD2=AF2+FD2=(32)2+(32)2=3，
∴AD=3．

【解析】(1)依据等式的性质可证明∠BCD=∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；
(2)由(1)知：BD=AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；
(3)如图2，过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD=60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．
本题是三角形的综合题，主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．

19.【答案】(1)证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN//AD，MN=12AD，
在Rt△ABC中，∵M是AC中点，
∴BM=12AC，
∵AC=AD，
∴MN=BM．
(2)解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
由(1)可知，BM=12AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，
∵MN//AD，
∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴BN2=BM2+MN2，
由(1)可知MN=BM=12AC=1，
∴BN=2

【解析】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)根据三角形中位线定理得MN=12AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=12AC，由此即可证明．
(2)首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．

20.【答案】解：(1)∵点D、点P关于直线EF对称，EF⊥BD，
∴点P在BD上，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AB=4，∠ADB=30°．
∴AD=43，
∵点E是边AD的中点，
∴DE=23，
∵EF⊥BD，
∴DF=3；
(2)①如图2，

∵PE⊥BD，∠ADB=30°．
∴∠PED=60°，
由对称可得，EF平分∠PED，
∴∠DEF=∠PEF=30°，
∴△DEF是等腰三角形，
∴DF=EF，
∵PE⊥BD，∠ADB=30°.DE=23，
∴QE=3，
∵∠PEF=30°，
∴EF=2，
∴DF=EF=2；
②如图3，

∵PE⊥BD，∠ADB=30°．
∴∠PED=120°，
由对称可得，PF=DF，EP=ED，EF平分∠PED，
∴∠DEF=∠PEF=120°，
∴∠EFD=30°，
∴△DEF是等腰三角形，
∵PE⊥BD，
∴QD=QF=12DF，
∵PE⊥BD，∠ADB=30°.DE=23，
∴QE=3，QD=3
∴DF=2QD=6；
∴DF的长为2或6；
(3)由(2)得，当∠DQE=90°时，DF=2(如图2)或6(如图3)，
当∠DEQ=90°时，
第一种情况，如图4，

∵EF平分∠PED，
∴∠DEF=45°，
过点F作FM⊥AD于点M，设EM=a，则FM=a，DM=3a，
∴3a+a=23，
∴a=3−3，DF=6−23，
∴2 第二种情况，如图5，

∵EF平分∠AEQ，
∴∠MEF=45°，
过点F作FM⊥AD于点M，设EM=a，则FM=a，DM=3a，
∴3a−a=23，
∴a=3+3，DF=6+23，
∵6+23>8，
∴DF最大值为8，
∴6 综上，DF长的取值范围为2
【解析】(1)由题意得点P在BD上，根据含30°直角三角形的性质即可求解；
(2)由对称可得△DEF是等腰三角形，分两种情况画出图形，根据含30°直角三角形的性质即可求解；
(3)分两种情况画出图形，根据中点的定义以及直角三角形的性质分别求出EM、FM、DM的值，即可得出DF的值，结合(2)中求得的DF的值即可得出答案。
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、对称的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

21.【答案】解：如图，

(1)以D为顶点，DC为边作一个角等于∠ABC，
(2)作出BD中垂线；
(3)两直线交点为P，点P即为所求．

【解析】作出线段BD的垂直平分线，进而作一个角等于∠ABC得出两直线的交点即可得出答案．
此题主要考查了复杂作图，正确掌握线段垂直平分线和作一个角等于已知角的基本作图是解题关键．

22.【答案】解：(1)∵l1、l2分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=CE，
∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，
∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，
∴BC=6cm；
(2)∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，

∴OA=OC=OB，
∵△OBC的周长为16cm，
即OC+OB+BC=16，
∴OC+OB=16−6=10，
∴OC=5，
∴OA=OC=OB=5cm．

【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
(1)先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，AE=CE，再根据AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC即可得出结论；
(2)先根据线段垂直平分线的性质得出OA=OC=OB，再由△OBC的周长为16cm求出OC的长，进而得出结论．

23.【答案】解：(1)成立；
∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，
∴∠1=∠2，∠5=∠4．
∵DE//BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．
∴∠1=∠3，∠6=∠5．
根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．
∴DE=DF+EF=BD+CE．
故成立．

(2)∵BF分∠ABC，
∴∠DBF=∠FBC．
∵DF//BC，∴∠DFB=∠FBC．
∴∠ABF=∠DFB，
∴BD=DF．
∵CF平分∠ACG，
∴∠ACF=∠FCG．
∵DF//BC，
∴∠DFC=∠FCG．
∴∠ACF=∠DFC，
∴CE=EF．
∴EF+DE=DF，即DE+EC=BD．

【解析】(1)根据平行线的性质和角平分线的性质，解出△BED和△CFD是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论．
(2)同(1)，只要求出△BDF与△ECF是等腰三角形即可．
本题考查了等腰三角形性质及平行线的性质与角平分线的性质；一般是利用等腰(等边)三角形的性质得出相等的边，进而得出结论是解答本题的基本思路．

24.【答案】证明；∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∠EAD=∠FAD，
在△AED和△AFD中，
∠AED=∠AFD∠EAD=∠FADAD=AD，
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE=AF，DE=DF，
∴AD是EF的垂直平分线，
即AD垂直平分EF．

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可以证明结论成立．