初中数学北师大版八年级下册第六章 平行四边形综合与测试单元测试复习练习题

这是一份初中数学北师大版八年级下册第六章 平行四边形综合与测试单元测试复习练习题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北师大版初中数学八年级下册第六单元《平行四边形》单元测试卷
考试范围：第六章； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。


第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，点P为▱ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD，若△APB的面积为18，△APD的面积为5，则△APC的面积为(    )
A. 10
B. 13
C. 18
D. 20
2. 如图，在▱ ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ ABE、△ ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，则以下四个结论：
①△ CDF≌△ EBC；
②∠ CDF=∠ EAF；
③△ ECF是等边三角形；
④ CG⊥ AE．
一定正确的有(    )个．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
3. 如图，在▱ABCD中，AB=2AD，F是CD的中点，作BE⊥AD于点E，连接EF、BF，下列结论①∠CBF=∠ABF；②FE=FB；③2S△EFB=S四边形DEBC；④∠BFE=3∠DEF.其中正确的个数是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 在面积为621的平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于F，若AB=37，BC=27，则CE+CF的值为(    )
A. 10+57 B. 2+7
C. 10+57或2+7 D. 10+57或57−10
5. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60∘，AB=12BC，连接OE.下列结论： ①AE>CE; ②S△ABCD=AB⋅AC; ③S△ABE=2S△AOE; ④OE=14AD，其中成立的有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是(    )
A. AB=CD，AD=BC B. AB // CD，∠B=∠D
C. ∠A=∠B，∠C=∠D D. AB=CD，∠BAC=∠ACD
7. 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=12BC=1，则下列结论；①∠CAD=30°；②BD=7；③S□ABCD=AB·AC；④OE=14AD，正确的个数是  (    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AB的长为(    )
A. 3 B. 5 C. 2或3 D. 3或5
9. 在等腰三角形ABC中，∠ABC=120∘，点P是底边BC上一个动点，点M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则ΔABC的周长是(       )
A. 2 B. 2+3 C. 4 D. 4+23
10. 点A，B，C，D在同一平面内，有以下条件：①AB // DC，②AB=DC，③BC // AD，④BC=AD，从四个条件中任意选取两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有(    )
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
11. 将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合．已知AB=43，P、Q分别是AC、BC上的动点，当四边形DPBQ
为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是(    )

A. 33 B. 63 C. 92 D. 9
12. 如图，在▱ABCD中，F，G分别为CD，AD的中点，BF = 2，BG = 3，∠FBG = 60°，则BC的长为(     )
A. 212
B. 125
C. 2.5
D. 2133
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 在平行四边形ABCD中，∠A=30°，AD=43，BD=4，则平行四边形ABCD的面积等于______．
14. 如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠ACD=90°，点E是BC的中点，AF平分∠BAC，CF⊥AF于点F，连接EF.已知AB=5，BC=13，则EF的长为______ ．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=135°，AD=42，AB=8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为______．

16. 如图，点A(0,4)，点B(3,0)，连接AB，点M、N分别是OA、AB的中点，在射线MN上有一动点P.当AP⊥PB时，点P的坐标是______．






三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
(1)若DP=2AP=4，CP=17，CD=5，求△ACD的面积．
(2)若AE=BN，AN=CE，求证：AD=2CM+2CE．








18. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABC=∠BCD=90°，AD=10cm，BC=8cm，CD=16cm.点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线段AB−BC−CD运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，设运动时间为t秒(0≤t≤8)．
(1)求AB的长；
(2)当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
(3)在点P运动过程中，当t=______秒的时候，使得△BPD的面积为20cm2．







19. 如图1，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD//BC，AB=12，AD=21，BC=16.一动点P从点A出发，在线段AD上以每秒2个单位长度的速度向点D运动；动点Q同时从点B出发在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P运动到点D时，点Q随之停止运动．设运动时间为t(秒)．
(1)当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形；
(2)当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形．








20. 已知，如图，在▱ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，∠C=120°，
(1)求BC边上的高AH的长；
(2)求▱ABCD的面积．







21. 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AE=CF，BG=DH．
(1)若AC=6，BD=8，试求AD的取值范围；
(2)若AC=AD，∠CAD=50°，试求∠ABC的度数；
(3)求证：四边形EHFG是平行四边形．







22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l1：y=43x与直线l2：y=mx+154相交于点A(a,125)，且直线l2交x轴于点B．
(1)填空：a=______，m=______；
(2)在坐标平面内是否存在一点C，使以O、A、B、C四点为顶点的四边形是矩形．若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)图中有一动点P从原点O出发，沿y轴的正方向以每秒1个单位长度的速度向上移动，设运动时间为t秒．若直线AP能与x轴交于点D，当△AOD为等腰三角形时，求t的值．







23. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=5cm，E、F为直线BD上的两个动点(点E、F始终在▱ABCD的外面)，且DE=12OD，BF=12OB，连接AE、CE、CF、AF．
(1)求证：四边形AFCE为平行四边形．
(2)若DE=13OD，BF=13OB，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？
(3)若CA平分∠BCD，∠AEC=60°，求四边形AECF的周长．







如图，在平面直角坐标系中，AB//OC，A(0,12)，B(a,c)，C(b,0)，并且a，b满足b=a−21+21−a+16.动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t(秒)．



(1)求B，C两点的坐标；
(2)当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P，Q两点的坐标；
(3)当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标．






答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：DC与AP交于点E，设点P到DC的距离为h1，DC和AB之间的距离为h2，
∵S△PAD=5，S△PAB=18，

∴DE(h1+h2)2=5，AB(h1+h2)2=18，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∴(AB−DE)(h1+h2)2=18−5=13，
即(DC−DE)(h1+h2)2=13，
∴CE(h1+h2)2=13，
即△APC的面积是13，
故选：B．
根据题意，表示出已知三角形的面积，然后作差，再根据平行四边形的性质即可解答本题．
本题主要考查了平行四边形的性质和三角形的面积公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

2.【答案】B

【解析】解：∵△ABE、△ADF是等边三角形，
∴FD=AD，BE=AB，
∵AD=BC，AB=DC，
∴FD=BC，BE=DC，
∵∠ABC=∠ADC，∠FDA=∠ABE=60°，
∴∠CDF=∠EBC，
∴△CDF≌△EBC(SAS)，故①正确；
∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+(180°−∠CDA)=300°−∠CDA，
∠FDC=360°−∠FDA−∠ADC=300°−∠CDA，
∴∠CDF=∠EAF，故②正确；
同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF，
∵BC=AD=AF，BE=AE，
∴△EAF≌△EBC(SAS)，
∴∠AEF=∠BEC，
∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°，
∴∠FEC=60°，
∵CF=CE，
∴△ECF是等边三角形，故③正确；
在等边三角形ABE中，
∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，
∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG=30°，∠ABC=150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．
∴①②③正确．
故选：B．
根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．

3.【答案】C

【解析】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
∵AB=2AD，
∴CD=2AD，
∵F是CD的中点，
∴DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD//AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠CBF=∠ABF，故①正确，
∵DE//CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△FCG(AAS)，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵S△DFE=S△CFG，
∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，∵CF//BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH//AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④错误，
故选：C．
延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH.想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

4.【答案】C

【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=37，BC=AD=27，
①如图1中：由平行四边形面积公式得：BC×AE=CD×AF=621，
∴AE=33，AF=23．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，把AB=37，AE=33代入求出BE=6>27，
即E在BC延长线上．同理DF=4<37，即F在DC上(如图1)，
∴CE=6−27，CF=37−4，即CE+CF=2+7．
②如图2中：∵AB=37，AE=33，
在△ABE中，由勾股定理得：BE=6，
同理DF=4，
∴CE=6+27，CF=37+4，
∴CE+CF=10+57．
∴综上可得：CE+CF=2+7或10+57．
故选：C．
根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．
本题考查了平行四边形性质，勾股定理的应用，主要培养学生的理解能力和计算能力，注意：要分类讨论．

5.【答案】C

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60∘，∠BAD=120∘，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60∘，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60∘，
∵AB=12BC，
∴AE=BE=12BC，∴AE=CE，故 ①错误;
由AE=CE可得∠EAC=∠ACE=30∘，
∴∠BAC=90∘，
∴S▱ABCD=AB⋅AC，故 ②正确;
∵BE=EC，
∴E为BC的中点，
∴S△ABE=S△ACE，
∵AO=CO，
∴S△AOE=S△EOC=12S△ACE=12SΔABE，
∴S△ABE=2S△AOE，故 ③正确;
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE=30∘，
∴OE=12EC，
∵EC=12BC，
∴OE=14BC=14AD，故 ④正确．
故正确的有3个，故选C．


6.【答案】C

【解析】
【分析】
此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是解题关键．根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可．
【解答】
解：A.“AB=CD，AD=BC”是四边形ABCD的两组对边分别相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
B.由AB//CD得到∠BAC=∠DCA，结合∠B=∠D、AC=CA可以判定△ABC≌△CDA(AAS)，则AB=CD，根据一组对边相等且平行可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C.“∠A=∠B，∠C=∠D”是四边形ABCD的两组同旁内角相等，不可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D.由∠BAC=∠ACD可以推知AB//CD，结合AB=CD，根据四边形ABCD的一组对边平行且相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误．

故选C．  
7.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键．①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：OE=12AB=12，OE//AB，根据勾股定理计算OC和OD的长，可得BD的长；③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断．
【解答】
解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD//BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=12AB=12，OE//AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
在Rt△EOC中，OC=12−(12)2=32，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∵∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
在Rt△OCD中，OD=12+(32)2=72，
∴BD=2OD=7，
故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S▱ABCD=AB⋅AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=12AB，
∵AB=12BC，
∴OE=14BC=14AD，
故④正确；
本题正确的有：①②③④，共4个．
故选D．  
8.【答案】D

【解析】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC//AD，CD=AB，CD//AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∵EF=2，
∴BC=BE+CF−EF=2AB−EF=8，
∴AB=5；
②在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC//AD，CD=AB，CD//AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∵EF=2，
∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF=8，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为3或5．
故选：D．
分两种情况分别求解.关键是判断出BA=BE，CF=CD即可得解．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，考查分类讨论思想，属较难题．

9.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的性质和轴对称及三角函数等知识的综合应用．正确确定P点的位置是解题的关键．
本题首先要明确P点在何处，通过M关于AC的对称点M′，根据勾股定理就可求出MN的长，根据中位线的性质及三角函数分别求出AB、BC、AC的长，从而得到△ABC的周长．
【解答】
解：作M点关于AC的对称点M′，连接M′N，则与AC的交点即是P点的位置，

∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN//AC，
∴PM′PN=KM′KM，
∴PM′=PN，
即：当PM+PN最小时P在AC的中点，
∴MN=12AC
∴PM=PN=1，MN=3
∴AC=23，
AB=BC=2PM=2PN=2
∴△ABC的周长为：2+2+23=4+23．
故选：D．  
10.【答案】B

【解析】选①②利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可确定四边形ABCD是平行四边形;
选①③利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形可确定四边形ABCD是平行四边形;
选①④为一组对边平行，另一组对边相等，不确定四边形ABCD是平行四边形;
选②③一组对边平行，另一组对边相等，不确定四边形ABCD是平行四边形;
选②④利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形可确定四边形ABCD是平行四边形;
选③④利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可确定四边形ABCD是平行四边形．
故选B．


11.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质.正确的识别图形是解题的关键．
在▱DPBQ中，BC//DP，得到DP⊥AC，根据等腰直角三角形的性质得到∠DCP=45°，推出△DPC是等腰直角三角形，求得DP=CP=12AC，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：在▱DPBQ中，BQ//DP，
∴∠DQC=∠ACB=90°，
∴DP⊥AC，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DCP=45°，
∴△DPC是等腰直角三角形，
∴DP=CP=12AC，
∵AB=43，∠BAC=30°，
∴AC=32AB=6，
∴PD=PC=3，
∴S▱DPBQ=DP⋅CP=3×3=9，
故选D．  
12.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．作GE⊥BF于E，延长AF交AD的延长线于点H，由直角三角形的性质得出∠BGE=30°，得出BE=12BG=32，GE=3BE=332，证明△BCF≌△HDF，得出BF=HF=2，BC=HD，求出BH=2BF=4，GH=32BC，EH=BH−BE=52，在Rt△EGH中，由勾股定理得：GH=GE2+EH2=13，即可得出BC的长．
【解答】
解：作GE⊥BF于E，延长AF交AD的延长线于点H，如图所示：

则∠BEG=∠HEG=90°，
∵BG=3，∠FBG=60°，
∴∠BGE=30°，
∴BE=12BG=32，GE=3BE=332，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠CBF=∠H，
∵F，G分别为CD，AD的中点，
∴CF=DF，DG=12AD=12BC，
在△BCF和△HDF中，∠CBF=∠H∠BFC=∠HFDCF=DF，
∴△BCF≌△HDF(AAS)，
∴BF=HF=2，BC=HD，
∴BH=2BF=4，GH=32BC，
∴EH=BH−BE=4−32=52，
在Rt△EGH中，由勾股定理得：GH=GE2+EH2=(332)2+(52)2=13，
∴BC=23GH=2133；
故选D．  
13.【答案】163或83

【解析】解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A=30°，AD=43，
∴DE=12AD=23，
由勾股定理，AE=6，
在Rt△BDE中，∵BD=4，
∴BE=BD2−DE2=42−(23)2=2，

如图1，∴AB=8，
∴平行四边形ABCD的面积=AB⋅DE=8×23=163，

如图2，AB=4，
∴平行四边形ABCD的面积=AB⋅DE=4×23=83，
故答案为：163或83．
过D作DE⊥AB于E，解直角三角形得到AB，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积公式的运用和30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

14.【答案】72

【解析】解：如图，延长AB、CF交于点H，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∴AC=BC2−AB2=169−25=12，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF=45°，
在△AFH和△AFC中，
∠HAF=∠CAFAF=AF∠AFH=∠AFC=90°，
∴△AFH≌△AFC(ASA)，
∴AC=AH=12，HF=CF，
∴BH=AH−AB=7，
∵点E是BC的中点，HF=CF，
∴EF=12BH=72，
故答案为：72．
延长AB、CF交于点H，由“ASA”可证△AFH≌△AFC，可得AC=AH=12，HF=CF，由三角形中位线定理可求解．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

15.【答案】203

【解析】解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵平行四边形ABCD中，∠ABC=135°，AD=42，
∴∠CBH=45°，BC=42，
又∵∠H=90°，
∴∠BCH=45°，
∴CH=BH=4，
设AE=x，则BE=8−x，
∵EF垂直平分AC，
∴CE=AE=x，
∵在Rt△CEH中，CH2+EH2=EC2，
∴42+(8−x+4)2=x2，
解得x=203，
∴AE的长为203．
故答案为：203．
连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，设AE=x，则BE=8−x，CE=AE=x，再根据勾股定理，即可得到x的值．
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．

16.【答案】(4,2)．

【解析】解：∵点A(0,4)，点M是OA的中点，
∴OM=2，
∵点M、N分别是OA、AB的中点，
∴MN//OB，MN=12OB=1.5，
在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=5，
∵∠APB=90°，点N是AB的中点，
∴PN=12AB=2.5，
则PM=PN+MN=4，
∴点P的坐标是(4,2)，
故答案为：(4,2)．
根据题意求出OM，根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理求出MN，根据直角三角形的性质求出PN，根据坐标与图形性质解答．
本题考查的是考查的是三角形中位线定理，直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

17.【答案】(1)解：作CG⊥AD于G，如图1所示：
设PG=x，则DG=4−x，
在Rt△PGC中，GC2=CP2−PG2=17−x2，
在Rt△DGC中，GC2=CD2−GD2=52−(4−x)2=9+8x−x2，
∴17−x2=9+8x−x2，
解得：x=1，即PG=1，
∴GC=4，
∵DP=2AP=4，
∴AD=6，
∴S△ACD=12×AD×CG=12×6×4=12；
(2)证明：连接NE，如图2所示：
∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，
∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，
在△NBF和△EAF中，∠NBF=∠EAF∠BFN=∠EFAAE=BN，
∴△NBF≌△EAF(AAS)，
∴BF=AF，NF=EF，
∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，
∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，
在△ANE和△ECM中，∠MEC=∠EAFAN=EC∠ANE=∠ECM，
∴△ANE≌△ECM(ASA)，
∴CM=NE，
又∵NF=22NE=22MC，
∴AF=22MC+EC，
∴AD=2MC+2EC．

【解析】(1)作CG⊥AD于G，设PG=x，则DG=4−x，在Rt△PGC和Rt△DGC中，由勾股定理得出方程，解方程得出x=1，即PG=1，得出GC=4，求出AD=6，由三角形面积公式即可得出结果；
(2)连接NE，证明△NBF≌△EAF得出BF=AF，NF=EF，再证明△ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF=22NE=22MC，得出AF=22MC+EC，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

18.【答案】53或7.8

【解析】解：(1)如图1中，作AH⊥CD于H．

∵∠AHC=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴AH=BC=8cm，AB=CH，
在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=10cm，AH=8cm，
∴DH=AD2−AH2=102−82=6(cm)，
∴AB=CH=CD−DH=16−6=10(cm)．

(2)当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，

由题知：BP=10−3t，DQ=2t，
∴10−3t=2t，解得t=2，此时，BP=DQ=4，CQ=12
∴BQ=82+122=413，
∴四边形PBQD的周长=2(BP+BQ)=8+813．

(3)①当点P在线段AB上时，即0⩽t⩽103时，如图3−1中，S△BPQ=12BP⋅BC=12(10−3t)×8=20，解得t=53．

②当点P在线段BC上时，即103
可得S△BPQ=12BP⋅QC=12(3t−10)×(16−2t)=20
化简得：3t2−34t+100=0，△=−44<0，所以方程无实数解．
③当点P在线段CD上时，

若点P在Q的右侧，即6⩽t⩽345，则有PQ=34−5tS△BPQ=12QP⋅BC=12(34−5t)×8=20，解得t=295<6，舍去，
若点P在Q的左侧，即345 解得t=7.8．
综上所述，满足条件的t存在，其值分别为t=53或t═7.8．
故答案为53或7.8．
(1)如图1中，作AH⊥CD于H.则四边形ABCH是矩形解直角三角形求出DH即可解决问题．
(2)当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，根据PB=DQ构建方程解决问题即可．
(3)分三种情形：①当点P在线段AB上时．②当点P在线段BC上时．③当点P在线段CD上时，分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形问题转化为三角形或特殊四边形，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

19.【答案】解：(1)当四边形PQCD是平行四边形时，PD=QC，
∴21−2t=16−t，
解得：t=5，
∴当t=5时，四边形PQCD是平行四边形；
(2)过点P作PE⊥BC于点E，
∵EB=AP=2t，PE=AB=12，
①当PC=PQ时，QE=CE=12CQ=12(16−t)，

∴QE=BE−BQ=AP−BQ，
∴12(16−t)=2t−t，
解得：t=163，
∴当t=163时，PC=PQ；
②当CQ=PQ时，
∵EB=AP=2t，
∴QE=BE−BQ=2t−t=t，
∵CQ=16−t，
∴PQ=16−t，
在Rt△PQE中，根据勾股定理得：
t2+122=(16−t)2，
解得：t=72，
∴当t=72时，CQ=PQ．
综上所述：当t为163或72时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形．

【解析】(1)当四边形PCDQ为平行四边形时，PC=DQ，即16−t=21−2t，可将t求出；
(2)过点P作PE⊥BC于点E，可得EB=AP=2t，PE=AB=12，
①当PC=PQ时，列式计算即可求出t；当CQ=PQ时，根据勾股定理得t2+122=(16−t)2可将t求出．
本题考查了梯形的性质，平行四边形的对边相等的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线利用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理是解题的关键．

20.【答案】解：(1)∵在▱ABCD中，AB//CD
∴∠B=180°−120°=60°
在直角三角形ABH中，AH=AB⋅sinB=8×32=43．

(2)S平行四边形ABCD=BC⋅AH=403．

【解析】(1)根据平行四边形的邻角互补，得到∠B=60°，再根据直角三角形的知识进行求解；
(2)根据平行四边形的面积等于底乘以高进行计算．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟悉平行四边形的各角之间的关系：对角相等，邻角互补是解题的关键．

21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=12AC=3，OD=12BD=4，
∴1
(2)∵CA=AD，∠CAD=50°，
∴∠ADC=∠ACD=12(180°−50°)=65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=65°．

(3)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴AE=CF，BG=DH，
∴OE=OF，OG=OH，
∴四边形EHFG是平行四边形．

【解析】(1)在△AOD中求出OA、OD，即可利用三边关系确定AD的范围；
(2)由四边形ABCD是平行四边形，可知∠ABC=∠ADC，求出∠ADC即可；
(3)只要证明OE=OF，OG=OG即可解决问题；
本题考查平行四边形的性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

22.【答案】95  −34

【解析】解：(1)∵y=43x经过点A(a,125)，
∴125=43a，
∴a=95，
把A(95,125)代入y=mx+154，
∴125=95m+154，
∴m=−34，
故答案为95，−34．

(2)如图1中，

∵y=43x与直线l2：y=−34x+154垂直，
∴以AO、AB为邻边构造平行四边形AOCB，则四边形AOCB是矩形．连接AC交OB于K，
∵B(5,0)，
∴OK=KB=2.5，设C(m,n)，
则有：95+m2=2.5，125+n2=0，
解得m=165，n=−125，
∴C(165,−125).


(3)如图2中，

由题意：OA=(95)2+(125)2=3，
①当点D在x轴的负半轴上时，OD=OA=3，
∴D(−3,0)，
设直线AD的解析式为y=kx+b，则有−3k+b=095k+b=125，解得k=12b=32，
∴P(0,32)，
∴t=OP=32．
②当点D′在x轴的正半轴上时，OD′=OA=3，
∴D′(3,0)，
设直线AD′的解析式为y=k′x+b′，则有3k+b=095k+b=125，解得k=−2b=6
∴P′(0,6)，
∴t=OP′=6．
③当AO=AD′时，D′(185,0)，
设直线AD′的解析式为y=mx+n，则有185m+n=095m+n=125，解得m=−43n=245
∴P′(0,245)，
∴t=OP′=245．
④当D′O=D′A时，线段OA的中垂线的解析式为y=−34x+158，
∴D′(52,0)，
∴直线AD′的解析式为y=−247x+607
∴t=OP′=607，
综上所述，满足条件的t的值为32或6或245或607．
(1)利用待定系数法即可解决问题；
(2)首先说明OA⊥AB，以AO、AB为邻边构造平行四边形AOCB，则四边形AOCB是矩形．连接AC交OB于K，求出点K坐标，再利用中点坐标公式计算即可；
(3)分四种情形讨论求解即可解决问题；
本题考查一次函数综合题、待定系数法、矩形的判定和性质、中点坐标公式、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数解决交点坐标问题，属于中考压轴题．

23.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵DE=12OD，BF=12OB，
∴DE=BF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形．
(2)∵DE=13OD，BF=13OB，
∴DE=BF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形．
∴上述结论成立，由此可得出结论：若DE=1nOD，BF=1nOB，则四边形AFCE为平行四边形．
(3)在▱ABCD中，AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA．
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD．
∵OA=OC，
∴OE⊥AC，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE．
∵∠AEC=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=CE=AC=2OA=10cm，
∴C四边形AECF=2(AE+CE)=2×(10+10)=40cm．

【解析】(1)由平行四边形的性质可知OA=OC、OB=OD，结合DE=12OD、BF=12OB可得出OE=OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形；
(2)由DE=13OD、BF=13OB可得出OE=OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形，由此可得出原结论成立，再找出结论“若DE=1nOD，BF=1nOB，则四边形AFCE为平行四边形”即可；
(3)根据平行四边形的性质结合CA平分∠BCD，即可得出AD=CD，进而可得出OE是AC的垂直平分线，再根据∠AEC=60°可得出△ACE是等边三角形，根据OA的长度即可得出AE、CE的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形AECF的周长．
本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形AFCE为平行四边形；(2)根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形AFCE为平行四边形；(3)根据平行四边形的性质找出△ACE是等边三角形．

24.【答案】解：(1)∵b=a−21+21−a+16，
即a−21⩾0，21−a⩾0，
∴a=21，b=16．
∵AB//OC，A(0,12)，
∴c=12．
∴B(21,12)，C(16,0)；
(2)由题意，得AP=2t，QO=t，
∴PB=21−2t，QC=16−t．
∵当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形，
∴21−2t=16−t，
解得t=5．
∴P(10,12)，Q(5,0)；
(3)①当PQ=CQ时，过Q作QN⊥AB，

由题意，得PN=t，则122+t2=(16−t)2.解得t=3.5．
∴P(7,12)，Q(3.5,0)．
②当PQ=PC时，过P作PM⊥x轴，由题意，得
QM=t，CM=16−2t，则t=16−2t．
解得t=163．
∴P(323,12)，Q(163,0)．
综上所述：P1(7,12)，Q1(3.5,0)；P2(323,3)，Q2(163,0)．

【解析】此题主要考查了坐标与图形的性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、二次根式的性质、分类讨论思想等知识点的综合应用．
(1)根据二次根式的性质得出a，b的值进而得出答案；
(2)由题意得：QP=2t，QO=t，PB=21−2t，QC=16−t，根据平行四边形的判定可得21−2t=16−t，再解方程即可；
(3)①当PQ=CQ时，122+t2=(16−t)2，解方程得到t的值，再求P点坐标；
②当PQ=PC时，由题意得：QM=t，CM=16−2t，进而得到方程t=16−2t，再解方程即可．