2022年上海市宝山区中考数学模拟试卷（3月份）（含答案解析）

2022年上海市宝山区中考数学模拟试卷（3月份）

1. 在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为

A. 50cm B. 500cm C.  D.

2. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值是

A. 2 B.  C.  D.

3. 已知单位向量与非零向量，，下列四个选项中，正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，，，，且，则以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是

A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 不能确定

5. 一次数学作业共有10道题，某小组8位学生正确解答题目数的情况如表：

那么这8位学生正确解答题目数的众数和中位数分别是

A. 3和2 B. 3和1 C. 9和8 D. 9和

6. 如图，已知抛物线经过点，与y轴交于，且顶点在第一象限，那么下列结论：①；②是方程的解；③；④，其中正确的结论为

A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④

7. 已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且，那么AP：AB的比值为______ .
8. 已知中，，如果BC：：4，那么的值为______.
9. 已知一组数据10、3、a、5的平均数为5，那么a为______.
10. 已知的两条中线BD、CE相交于点P，，那么CP的长为______.
11. 已知一个斜坡的坡度：，那么该斜坡的坡角的度数是______度．
12. 正五边形的一个中心角等于______度．
13. 已知圆O的半径为5，点A在圆O外，如果线段OA的长为d，那么d的取值范围是______.
14. 二次函数的图象与y轴的交点坐标为______ .
15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，如果，，用含、的式子表示向量______.

16. 如果抛物线的对称轴是直线，那么的值为______.
17. 如图，正方形ABEF和正方形BCDE的边长相等，点A、B、C在同一条直线上，联结AD、BD，那么的值为______ .
18. 如图，已知在中，，，，把绕着点C按顺时针方向旋转．将点A、B的对应点分别记为点、，如果为直角三角形，那么点A与点的距离为______.
19. 计算：
    
    
    
    
    
    
     
20. 在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上．设EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积．

21. 已知中，，，，过点A、C，交BC边于点且，求CD的长．

22. 我区开展了“关爱老人从我做起”的主题活动．在活动中随机调查了本区部分老人与子女同住情况，根据收集到的数据，绘制成如下统计图表不完整
    老人与子女同住情况百分比统计表：

老人与子女同住人数条形图：

据统计图表中提供的信息，回答下列问题：
本次共抽样调查了______老人，老人与子女同住情况百分比统计表中的______；
将条形统计图补充完整；画在答题纸相对应的图上
根据本次抽样调查，试估计我区约15万老人中与子女“不同住”的老人总数是______人．






 

23. 如图，在中，，AD是BC边上的高，点E在线段DC上，，垂足分别为F，
    求证：；
     

24. 已知一个二次函数的图象经过、、三点，顶点为
    求这个二次函数的解析式；
    求经过A、D两点的直线的表达式；
    设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

已知等边的边长为2，点D为边BC的中点，以点A为圆心的圆交边AC于点点E不与点A、C重合
如果圆A与线段BC有公共点，求线段AE的取值范围；
如果射线DE与线段BA的延长线交于点F，
①设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
②当时，求线段AE的长．







答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：设长度为10cm的线段实际长为x cm，则：
，
解得，
故选：
根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式，根据比例的基本性质即可求得结果．
本题考查了比例线段，能够根据比例尺定义列出方程是解题的关键．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：如图，过P点作轴于A，则，
点P的坐标为，
，，
，
即
故选：
过P点作轴于A，则，利用P点坐标得到，，然后根据正切的定义求出的值即可．
本题考查了解直角三角形．灵活应用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：A、当单位向量与非零向量的方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．
B、当单位向量与非零向量的方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．
C、当单位向量与非零向量的方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．
D、，故本选项符合题意．
故选：
根据平面向量的定义，平面向量模的定义以及共线向量的定义进行判断．
本题考查了平面向量的知识，需要掌握向量共线定理，单位向量的定义，属于基础题．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：，，，
，
，
∽，
，
，
，
，，，
，
，
以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是相交，
故选：
根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，，，求得，于是得到结论．
本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：这8位学生正确解答题目数的众数是9道，中位数是道，
故选：
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：把代入，得，
，
故①正确；
抛物线经过点，
当时，，
当时，方程成立，
是方程的解，
故②正确；
由于函数图象开口向下知，，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
抛物线的顶点在第一象限，
，
，
，
故③错误；
抛物线与与y轴交于，
，
，
，
故④正确；
故选：
把代入抛物线的解析式，便可判断①的正误；根据二次函数与一元二次方程的关系，便可判断②的正误；由抛物线的开口方向确定a的正负，再根据顶点坐标的位置，可以确定b的正负，由抛物线与y轴交点位置，可以确定c的正负，于是便可判断③的正误；把代入抛物线的解析式，便可求得c的值，结合a的正负便可判断④的正误．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：点P是线段AB的黄金分割点，且，
，
，
故答案为：
根据黄金分割的定义即可得出答案．
本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图所示：
在中，，BC：：4，
设，，
，
则
故答案为：
根据题意设，，根据勾股定理求出AC，进而利用锐角三角函数关系求出答案．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
 

9.【答案】2
 

【解析】解：根据题意知，
解得，
故答案为：
根据算术平均数的定义列出关于a的方程，解之即可．
本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
 

10.【答案】4
 

【解析】解：如下图所示，

、CE是ABC的两条中线，且相交于点P，
点P为的重心，

又，

故答案为：
根据三角形中线的交点可知点P为ABC的重心，根据重心的性质重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1即答．
本题主要考查了三角形重心的性质，明确重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．
 

11.【答案】30
 

【解析】解：：，
坡角
坡度=坡角的正切值，据此直接解答．
此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．
 

12.【答案】72
 

【解析】解：正十边形的中心角为：
故答案为：
根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为：，则代入求解即可．
此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．
 

13.【答案】
 

【解析】解：点A在圆外，
，
故答案为：
根据点在圆外，，可得结论．
本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外②点P在圆上③点P在圆内
 

14.【答案】
 

【解析】解：，
当时，，
即二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
故答案为
根据题目中的函数解析式，令，求出相应的y的值，即可解答本题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道抛物线与y轴的交点，横坐标为
 

15.【答案】
 

【解析】
解：如图，取AB的中点F，连接EF，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
点E、F分别是CD、AB上的中点，
，
即，

故答案为：
首先取AB的中点F，连接EF，由四边形ABCD是平行四边形与点E、F分别是CD、AB上的中点，即可得，然后根据平行四边形法则，即可求得的值．
此题考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．解此题的关键是注意数形结合思想的应用与平行四边形法则．
 

16.【答案】0
 

【解析】解对称轴为，
，
，
故答案为：
根据对称轴公式列出，变形即可．
此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆二次函数对称轴公式是解题关键．
 

17.【答案】3
 

【解析】解：连接BF交AD于G，
设正方形的边长为a，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：
连接BF交AD于G，设正方形的边长为a，根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，三角函数的定义，相似三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

18.【答案】或，
 

【解析】解：在中，，，，
，
，
，
，，
绕着点C按顺时针方向旋转得到，
，，，
①当时，如图，过点C作，

，，
，
，
，
；
②当时，如图，过点C作，

，
，，
，
，，
，，
在中，，，
，
，
在中，
，
③当时，如图，过点C作，

，
，，
，
，
，
，
综上所述，或，
故答案为：或
为直角三角形，分A，，分别为直角三角形的顶点三种情况讨论，分别解直角三角形求解即可．
本题考查旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是分三种情况讨论，分别画出对应图形．
 

19.【答案】解：原式


 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
此题主要考查了特殊家的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

20.【答案】解：是等腰直角三角形，四边形EFGD是矩形，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
矩形EFGD的面积
，
由，
解得，
关于x的函数关系式是，
定义域是，
当时，，
即当EF的长为4厘米时，所截得的矩形的面积为48平方厘米．
 

【解析】由题意得，矩形的面积等于相邻两边之积，根据图中几何关系把ED边用x表示出来，再由矩形EFGD在等腰直角三角形内，求出定义域，最后把EF的长为4厘米，代入函数关系式，求得矩形面积．
此题考查等腰直角三角形和矩形的性质，在等腰直角三角形和矩形中解题，要注意几何关系．
 

21.【答案】解：如图，连接AD，延长AO交BC于点
，
，
点O是等腰的外心，
，且
在直角中，，，则
，
，即，
，即线段CD的长度是
 

【解析】如图，连接AC，延长AO交BC于点根据圆心角、弧、弦间的关系推知是等腰三角形，由其“三合一”的性质证得AE是CD的中垂线．在直角中根据勾股定理求得线段CE的长度，进而根据垂径定理来求线段CD的长度．
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形以及圆心角、弧、弦间的关系．注意解题过程中要证明一下AE是线段CD的中垂线．
 

22.【答案】
 

【解析】解：，
不同住子女在区外的所占的比例是，
则；

如图所示；

根据题意得：
故答案为：；；
由条形统计图中不同住子女在本区的人数除以所占的百分比，求出调查的总人数，进而求出不同住子女在区外所占的百分比，即可求出a的值；
求出其他的人数，即可求出同住的人数，补充条形统计图即可；
由不同住的人数为人，利用比例即可求出我区约15万老人中与子女“不同住”的老人总数．
此题考查了条形统计图，弄清题意是解本题的关键．
 

23.【答案】证明：在和中，
是BC边上的高，，，
，
又为公共角，
∽，


证明：在四边形AFEG中，
，
四边形AFEG为矩形，

由知，
，
，
为直角三角形，，
，
∽，
又，
，
即，

 

【解析】小题利用两角对应相等证明和相似即可；
小题先证四边形AFEG是矩形，证出，进而证出两边成比例且夹角相等，推出和相似，证出，即可求出答案．
解此题的关键是检查对相似三角形的性质和判定的理解和掌握，难点是找出证明两三角形相似的条件，进而由相似推出新的结论．题型较好，难度适中．
 

24.【答案】解：设，
将点、、代入，
，
解得，
；
，
，
设直线AD的解析式为，
，
解得，
；
设，
①当AB为平行四边形的对角线时，，
；
②当AC为平行四边形的对角线时，，
，
；
③当AP为平行四边形的对角线时，，
，
；
综上所述：P点的坐标为或或
 

【解析】将点、、代入，即可求解；
求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；
设，分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时，，则；②当AC为平行四边形的对角线时，，则；③当AP为平行四边形的对角线时，，则
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图1，连接AD，
是等边三角形，
，
点D是BC的中点，
，，
，
在中，根据勾股定理得，，
线段AE的取值范围为；

①如图2，
过点D作交AC于G，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
射线DE与线段BA的延长线交于点F，
，
，
即；

②如图2，过点D作于N，
在中，，，
，
根据勾股定理得，，
过点F作交CA的延长线于M，
在中，，
，
，
根据勾股定理得，，
，
，
，
，
由①知，，
联立，解得，，
即线段AE的长为
 

【解析】先求出，再用勾股定理，即可求出答案；
①先求出，再判断出∽，得出，即可求出答案；
②过点D作于N，求出，过点F作交CA的延长线于M，求出，再用，得出，再结合，即可求出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，中位线定理，由∽得出比例式是解本题的关键．