2022年河南省南阳市唐河县中考一模数学试题

这是一份2022年河南省南阳市唐河县中考一模数学试题，共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省南阳市唐河县2022年中考数学模拟试卷(解析版)
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．﹣2022的相反数的倒数是（　　）
A．﹣2022 B．2022 C． D．
2．2021年11月30日，通过百度搜索引度搜索“六中全会”共得到相关结果约7150万个，将数据“7150万”用科学记数法表示为（　　）
A．7150×104 B．0.715×108 C．7.15×107 D．7.15×103
3．墨迹覆盖了等式“x2x＝x3（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
4．平顶山某校有3000名学生，随机抽取了300名学生进行睡眠质量调查，下列说法错误的是（　　）
A．总体是该校3000名学生的睡眠质量
B．个体是每一个学生
C．样本是抽取的300名学生的睡眠质量
D．样本容量是300
5．用5个大小相同的小正方体黏合成如图所示的几何体，将几何体向右翻滚90°，与原几何体相比较，三视图没有发生改变的是（　　）

A．左视图 B．主视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
6．如图，直线a∥b，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，若∠2＝65°，则∠1是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
7．如图，在面积为16的菱形ABCD中，进行下面的作图．
（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，且直线EF与边CD交于点M；（3）连接BM．则△BCM的面积是（　　）

A．12 B．8 C．4 D．2
8．《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
10．如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（　　）

A． B．2π C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．从﹣1，π，3中随机任取一数，取到有理数的概率是 　 　．
12．已知关于x的不等式组的解集是﹣1＜x＜3，则（m+n）2022＝　 　．
13．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根，则k的取值范围是 　 　．
14．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，点E为x轴上一动点，当ED'+EC'取最小值时，点E的坐标为 　 　．

15．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为边AB上一点且AE长为1，P为射线BC上一点．把△EBP沿EP折叠，点B落在点B'处．若点B'到直线AD的距离为3，则BP长为　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）随着十九届六中全会的召开，中学生对时事新闻的关注度高涨．某校组织全校学生开展“时事新闻大比拼”比赛，并随机抽取九年级的25名学生的成绩（满分为100分）进行分析．收集数据：25名学生的成绩（满分为100分）统计如下（单位：分）：
90，74，88，65，98，75，81，44，85，70，55，80，95，88，72，87，60，56，76，66，78，72，82，63，100
整理数据：
成绩x（分）
90≤x＜100
75≤x＜90
60≤x＜75
x＜60
人数

10
8

分析数据：
平均数
中位数
方差
76

190.88
（1）将表格中的数据补充完整（3个）；
（2）“75≤x＜90”这组数据的众数是 　 　分；
（3）若全校九年级有800名学生，请估计全校九年级有多少名学生成绩达到90分及以上？
（4）若八年级成绩的平均数为76分，中位数为80分，方差为102.5，你认为哪个年级的成绩较好？请你做出评价．（至少从两个方面说明）
18．（9分）洛阳白马寺东有一齐云塔，是洛阳一带地面现存最早的古建筑，曾进行过一次维修保护．维修时塔前有一段斜坡，小明想测量齐云塔高度，取得如下数据：如图，斜坡BE的坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为15米，在坡顶B处，坡底E处分别测得塔CD顶部点D的仰角为45°，60°，求维修时齐云塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，≈1.41，）

19．（9分）某健身房暑假期间面对大学生推出健身优惠月活动，活动方案如下：
方案一：不购买会员卡健身，每次收费10元；
方案二：购买会员卡健身，需交会员费120元，每次另收费4元；
设大学生健身次数为x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x（k1≠0）；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x+b（k2≠0）．其函数图象如图所示．
（1）填空：k1＝　 　，k2＝　 　，b＝　 　；
（2）两种方案的函数图象交于点A，请解释点A的实际意义；
（3）若某同学署假期间准备健身30次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由．

20．（9分）如图1，由四根木条围成的四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，且AB＞BC，过点A，C画一条射线AC．

（1）利用 　 　（填ASA，SAS或SSS），可得到△ABC≌△ADC，则射线AC就是∠DAB的平分线，此装置可视为一个角平分仪；
（2）将上述角平分仪的顶点A落在圆O的直径MN的端点M处，边AB与直径MN共线，边AD与圆O相交于点G，连接AC交圆O于点E．有以下两个真命题：
①过点E作圆O的切线EF，交边AD于点F，则EF一定垂直于AD；
②过点E作EF垂直AD于点F，则EF为圆O的切线；
请选择一个命题，并将其拆分，填入下面的横线处，将试题补充完整并证明．
已知：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，在AB边上有一点O（OA＜AB），以点O为圆心，OA的长为半径作圆O，交AB于点N，连接AC交圆O于点E，　 　．求证：　 　．
21．（9分）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把△OAB向上平移得到△O'A'B'，当点B'恰好经过反比例函数图象时，求△OAB和△O'A'B'重叠部分的面积．

22．（10分）在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．
如图1，三角形ABC和三角形CDE都是等腰直角三角形，∠C＝90°，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，点M，P，N分别为DE，AD，AB的中点．试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系．

勤奋小组发现：PM＝PN，PM⊥PN．并进行了证明，下面的两个片段是截取的部分证明过程（该片段前后证明过程已省略）：
片段1：
……
∵点P，M分别是AD，DE的中点，∴PM∥AE，PM＝AE．（直接依据1）
片段2：
……
∵∠BCA＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°．（直接依据2）
……
反思交流：
（1）①上述片段中的“直接依据1”“直接依据2”分别是指什么？
②图1中，MN与AB的位置关系是 　 　．
（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置，请判断△PMN的形状并证明；
（3）缜密小组的同学继续探究：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，当CD＝4，CB＝10时，直接写出线段MN长度的最大值．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C，D为直线AB上方抛物线上一动点．
（1）求b和c的值；
（2）连接DO交AB于点E，当DE：OE＝3：4时，求此时点D的坐标；
（3）是否存在点D，使得∠DBA＝2∠BAC？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．



参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．﹣2022的相反数的倒数是（　　）
A．﹣2022 B．2022 C． D．
【分析】根据相反数和倒数的定义解答即可．
【解答】解：﹣2022的相反数是2022，2022的倒数是．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数和倒数，掌握相关定义是解答本题的关键．
2．2021年11月30日，通过百度搜索引度搜索“六中全会”共得到相关结果约7150万个，将数据“7150万”用科学记数法表示为（　　）
A．7150×104 B．0.715×108 C．7.15×107 D．7.15×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：7150万＝71500000＝7.15×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3．墨迹覆盖了等式“x2x＝x3（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵x2×x＝x3（x≠0），
∴覆盖的是：×．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题关键．
4．平顶山某校有3000名学生，随机抽取了300名学生进行睡眠质量调查，下列说法错误的是（　　）
A．总体是该校3000名学生的睡眠质量
B．个体是每一个学生
C．样本是抽取的300名学生的睡眠质量
D．样本容量是300
【分析】根据题意可得3000名学生的睡眠质量情况，从中抽取了300名学生进行睡眠质量调查，这个问题中的总体是3000名学生的睡眠质量情况，样本是抽取的300名学生进行睡眠质量情况，个体是每一个学生的睡眠质量情况，样本容量是300，注意样本容量不能加任何单位．
【解答】解：A．总体是该校3000名学生的睡眠质量，故此选项不合题意；
B．个体是每名学生的睡眠质量，故此选项符合题意；
C．样本是抽取的300名学生的睡眠质量，故此选项不合题意；
D．样本容量是300，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
5．用5个大小相同的小正方体黏合成如图所示的几何体，将几何体向右翻滚90°，与原几何体相比较，三视图没有发生改变的是（　　）

A．左视图 B．主视图
C．俯视图 D．主视图和左视图
【分析】作出几何体翻滚前后的三视图，即可得出没有发生改变的视图．
【解答】解：翻滚之前几何体的三视图为：

翻滚之后几何体的三视图为：

因此，三视图没有发生改变的是左视图．
故选：A．
【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
6．如图，直线a∥b，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，若∠2＝65°，则∠1是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】先由平行线的性质求出∠3的度数，再根据三角形外角的性质求出∠1的度数．
【解答】解：∵直线a∥b，∠2＝65°，

∴∠3＝∠2＝65°．
∵∠3＝∠A+∠1，∠A＝45°，
∴∠1＝65°﹣45°＝20°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
7．如图，在面积为16的菱形ABCD中，进行下面的作图．
（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，且直线EF与边CD交于点M；（3）连接BM．则△BCM的面积是（　　）

A．12 B．8 C．4 D．2
【分析】利用基本作图可判断EF垂直平分CD，则CM＝DM，然后根据三角形面积公式和菱形的面积公式计算△BCM的面积．
【解答】解：由作法得EF垂直平分CD，
∴CM＝DM，
∴S△BCM＝S菱形ABCD＝×16＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
8．《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组解答即可．
【解答】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y，
根据题意可得：，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
9．如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据点P运动路径分段写出△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数关系式即可．
【解答】解：∵BC∥AD，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠PEC＝∠D＝90°，
∴△PCE∽△CAD，
∴＝＝，
∵AD＝3，CD＝4，
∴AC＝＝5，
∴当P在CA上时，即当0＜x≤5时，
PE＝＝x，
CE＝＝x，
∴y＝PE•CE＝＝x2，
当P在AD上运动时，即当5＜x≤8时，
PE＝CD＝4，
CE＝8﹣x，
∴y＝PE•CE＝×4×（8﹣x）＝16﹣2x，
综上，当0＜x≤5时，函数图象为二次函数图象，且y随x增大而增大，当5＜x≤8时，函数图象为一次函数图象，且y随x增大而减小，
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的性质，熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
10．如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（　　）

A． B．2π C． D．
【分析】由于△ODB绕O旋转60°到△OD′B′，可见，阴影部分面积为扇形OBB′减扇形ODD′，分别计算两扇形面积，在计算其差即可．
【解答】解：如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，
∴AD＝BD＝AB＝4，
在Rt△OBD中，OB2﹣OD2＝BD2＝16，
∵△ODB绕O旋转60°到△OD′B′，
∴△ODB≌△OD′B′，
∴∠DOD′＝∠BOB′＝60°，
∴S扇形ODD′＝＝π，S扇形OBB′＝＝π，
∴S阴影＝S扇形OBB′﹣S扇形ODD′＝﹣π＝π＝π＝π．
故选：C．

【点评】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的差是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．从﹣1，π，3中随机任取一数，取到有理数的概率是 　　．
【分析】根据题意可知﹣1，π，3中有理数是﹣1，3，从而可以得到随机任取一数，取到有理数的概率．
【解答】解：﹣1，π，3中有理数是﹣1，3，
∴从﹣1，π，3中随机任取一数，取到有理数的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
12．已知关于x的不等式组的解集是﹣1＜x＜3，则（m+n）2022＝　1　．
【分析】分别解两个不等式，根据解集为﹣1＜x＜3确定m和n的值，再代入求值即可．
【解答】解：，
由①得：x＜3m，
由②得：x＞，
∵不等式组的解集是解集是﹣1＜x＜3，
∴，3m＝3，
∴n＝﹣2，m＝1．
∴（m+n）2022＝（1﹣2）2022＝（﹣1）2022＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，根据解集确定参数的值是解题的关键．
13．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根，则k的取值范围是 　k＜﹣1　．
【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0没有实数根，
∴Δ＝22﹣4×k×（﹣1）＜0，k≠0，
解得：k＜﹣1．
故答案为：k＜﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
14．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，点E为x轴上一动点，当ED'+EC'取最小值时，点E的坐标为 　（1，0）　．

【分析】在Rt△AOD'中，求出OD'＝，即可确定D'（0，），C'（2，），可知D'关于x轴的对称点为D''（0，﹣），连接D''C'与x轴的交点即为E点，此时ED'+EC'取最小值，再求出直线D''C'的直线解析式为y＝x﹣，则可求点E的坐标．
【解答】解：∵正方形边长为2，
∴AD＝AD'＝2，AB＝2，
∵O是AB的中点，
∴OA＝1，
在Rt△AOD'中，OD'＝，
∴D'（0，），C'（2，），
∴D'关于x轴的对称点为D''（0，﹣），
连接D''C'与x轴的交点即为E点，
∵D''E＝D'E，
∴D'E+EC'＝D''E+DC'＝D''C'，此时ED'+EC'取最小值，
设直线D''C'的直线解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣，
当y＝0时，x＝1，
∴E（1，0），
故答案为（1，0）．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，由题意能够确定D'点的坐标是解题的关键．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为边AB上一点且AE长为1，P为射线BC上一点．把△EBP沿EP折叠，点B落在点B'处．若点B'到直线AD的距离为3，则BP长为　或15　．

【分析】过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，进而得出四边形ABNM是矩形，四边形AEHM是矩形．再分两种情况进行讨论：①如图1，若点B'在AD下方；②如图2，若点B'在AD上方，分别根据Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，即可得到BP的值．
【解答】解：过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，
∵AD∥BC，MN∥AB，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABNM是矩形
同理可得：四边形AEHM是矩形．
①如图：

若点B'在AD下方，则B'M＝3cm，B'N＝3cm，
∵MH＝AE＝1（cm），
∴B'H＝2（cm），
由折叠可得，EB'＝EB＝5（cm），
∴Rt△EB'H中，EH＝＝（cm），
∴BN＝AM＝EH＝（cm），
设BP＝tcm，
∴PB'＝tcm，PN＝（﹣t） cm
∵Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，
∴t2＝（﹣t）2+32，
解得：t＝．
②如图：

若点B'在AD上方，则B'M＝3cm，B'N＝9cm，
同理可得，EH＝3cm，
设BP＝tcm，
∴B'P＝tcm，PN＝（t﹣3）cm，
∵Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，
∴t2＝（t﹣3）2+92，
解得：t＝15．
综上所述，BP的值为或15．
【点评】本题主要考查了折叠问题，勾股定理以及正方形的性质的运用，解题时我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）
＝+﹣1﹣2
＝﹣；
（2）
＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（9分）随着十九届六中全会的召开，中学生对时事新闻的关注度高涨．某校组织全校学生开展“时事新闻大比拼”比赛，并随机抽取九年级的25名学生的成绩（满分为100分）进行分析．收集数据：25名学生的成绩（满分为100分）统计如下（单位：分）：
90，74，88，65，98，75，81，44，85，70，55，80，95，88，72，87，60，56，76，66，78，72，82，63，100
整理数据：
成绩x（分）
90≤x＜100
75≤x＜90
60≤x＜75
x＜60
人数

10
8

分析数据：
平均数
中位数
方差
76

190.88
（1）将表格中的数据补充完整（3个）；
（2）“75≤x＜90”这组数据的众数是 　88　分；
（3）若全校九年级有800名学生，请估计全校九年级有多少名学生成绩达到90分及以上？
（4）若八年级成绩的平均数为76分，中位数为80分，方差为102.5，你认为哪个年级的成绩较好？请你做出评价．（至少从两个方面说明）
【分析】（1）根据已知数据按分组计数可得，再根据中位数的概念可补全统计分析表；
（2）根据众数的定义求解即可；
（3）总人数乘以样本中成绩达到90分及以上的学生人数所占比例；
（4）分别从平均数和中位数及方差的意义逐一分析可得．
【解答】解：（1）补全表格如下
成绩x（分）
90≤x≤100
75≤x＜90
60≤x＜75
x＜60
人数
4
10
8
3
分析数据：补充完成下面的统计分析表：
平均数
中位数
方差
76
76
190.88
（2）“75≤x＜90”这组数据75，76，78，80，81，82，85，87，88，88，
∴这组数据的众数是88分，
故答案为：88；
（3）估计全校九年级成绩达到90分及以上的学生人数为800×＝128（人）；
（4）从平均数看，八年级和九年级平均数相等，两个年级的平均成绩相等；
从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数，所以八年级高分的人数多于九年级高分人数，八年级的成绩较好；
从方差看，八年级的方差小于九年级的方差，所以八年级的成绩比九年级的成绩稳定，八年级的成绩较好；
综上可知，八年级的成绩较好．
【点评】考查频数分布表、众数、中位数、平均数、方差的意义及计算方法，明确各自的意义和计算方法是解决问题的前提．
18．（9分）洛阳白马寺东有一齐云塔，是洛阳一带地面现存最早的古建筑，曾进行过一次维修保护．维修时塔前有一段斜坡，小明想测量齐云塔高度，取得如下数据：如图，斜坡BE的坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为15米，在坡顶B处，坡底E处分别测得塔CD顶部点D的仰角为45°，60°，求维修时齐云塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，≈1.41，）

【分析】过点B作BF⊥CD，垂足为F，根据题意可得则AB＝CF＝3米，BF＝AC，再设DF＝x米，在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义表示出BF的长，从而表示出DC，EC的长，然后在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，

则AB＝CF＝3米，BF＝AC，
设DF＝x米，
在Rt△BDF中，∠DBF＝45°，
∴BF＝＝x米，
∴AC＝BF＝x米，
∵AE＝15米，
∴EC＝（x﹣15）米，
在Rt△DEC中，∠DEC＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
∴x＝24+9，
经检验，x＝24+9是原方程的根．
∴DC＝DF+CF＝24+9+3＝27+9≈42.6（米），
∴维修时齐云塔的高度42.6米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．（9分）某健身房暑假期间面对大学生推出健身优惠月活动，活动方案如下：
方案一：不购买会员卡健身，每次收费10元；
方案二：购买会员卡健身，需交会员费120元，每次另收费4元；
设大学生健身次数为x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x（k1≠0）；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x+b（k2≠0）．其函数图象如图所示．
（1）填空：k1＝　10　，k2＝　4　，b＝　120　；
（2）两种方案的函数图象交于点A，请解释点A的实际意义；
（3）若某同学署假期间准备健身30次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由．

【分析】（1）根据题意可得k1，k2，和b的值；
（2）根据函数关系式列方程组解答即可；
（3）把x＝30代入相关函数关系式解答即可．
【解答】解：（1）由题意，得：k1＝10，k2＝4，b＝120；
故答案为：10；4；120；
（2）由题意得：
，
解得，
故点A的实际意义为：当健身20次时，两种方案所需费用相同，均为200元；
（3）择方案二所需费用较少，理由如下：
若健身30次，方案一所需费用为300元；
方案二所需费用为：30×4+120＝240（元），
∵300＞240，
∴择方案二所需费用较少．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出y1、y2关于x的函数解析式．
20．（9分）如图1，由四根木条围成的四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，且AB＞BC，过点A，C画一条射线AC．

（1）利用 　SSS　（填ASA，SAS或SSS），可得到△ABC≌△ADC，则射线AC就是∠DAB的平分线，此装置可视为一个角平分仪；
（2）将上述角平分仪的顶点A落在圆O的直径MN的端点M处，边AB与直径MN共线，边AD与圆O相交于点G，连接AC交圆O于点E．有以下两个真命题：
①过点E作圆O的切线EF，交边AD于点F，则EF一定垂直于AD；
②过点E作EF垂直AD于点F，则EF为圆O的切线；
请选择一个命题，并将其拆分，填入下面的横线处，将试题补充完整并证明．
已知：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，在AB边上有一点O（OA＜AB），以点O为圆心，OA的长为半径作圆O，交AB于点N，连接AC交圆O于点E，　过点E作EF垂直AD于点F，　．求证：　EF为圆O的切线　．
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法解答即可；
（2）连接OE，利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质可得OE∥AD，利用平行线的性质可得OE⊥EF，再利用切线的判定定理即可得出结论．
【解答】解：（1）在△ADC和△ABC中，
∵，
∴△ADC≌△ABC（SSS）．
∴∠DAC＝∠BAC．
即射线AC就是∠DAB的平分线．
由上可知利用SSS得到△ABC≌△ADC，
故答案为：SSS；
（2）选择②．
连接OE，如图，

∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA．
∵∠GAE＝∠EAO，
∴∠GAE＝∠OEA．
∴OE∥AD．
∵EF⊥AD，
∴OE⊥EF．
∵OE是圆的半径，
∴EF为圆O的切线．
故答案为：过点E作EF垂直AD于点F；EF为圆O的切线．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的有关性质，平行线的判定与性质，切线的判定，连接OE是解题的关键．
21．（9分）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）把△OAB向上平移得到△O'A'B'，当点B'恰好经过反比例函数图象时，求△OAB和△O'A'B'重叠部分的面积．

【分析】（1）过点A作AH⊥OB于点H，利用等边三角形的性质可得出A点坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先利用平移得出B′的横坐标，代入解析式求出纵坐标，即为CE的长，再利用AE＝CE得出EF为△AOB的中位线，即可求出重叠面积．
【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥OB于点H，

∵△OAB是等边三角形，AH⊥OB，B（4，0），
∴C为OB中点，OA＝OB＝4，
∴OH＝OA＝2，
在Rt△AOH中，
AH2＝OA2﹣OH2，即
AH＝＝＝2，
∴A（2，2），
将A（2，2）代入y＝中，
可得：k＝4，
∴反比例函数解析式为：y＝．
（2）如图，△OAB向上平移得到△O′A′B′，点B′在反比例函数上，O′B′分别交OA，AC，AB于点D，E，F，

∴B′的横坐标为4，
将x＝4代入y＝中，得
y＝，
∴B′（4，），
∴△OAB向上平移了，
∴CE＝，
∵AC＝2，
∴点E为AC中点，
∴DF为△OAB中位线，
∴DF＝OB＝2，
∴S△ADF＝DF•AE＝×2×＝，
∴△OAB和△O'A'B'重叠部分的面积为．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，掌握等边三角形的性质，平移的性质是解题的关键．
22．（10分）在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．
如图1，三角形ABC和三角形CDE都是等腰直角三角形，∠C＝90°，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，点M，P，N分别为DE，AD，AB的中点．试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系．

勤奋小组发现：PM＝PN，PM⊥PN．并进行了证明，下面的两个片段是截取的部分证明过程（该片段前后证明过程已省略）：
片段1：
……
∵点P，M分别是AD，DE的中点，∴PM∥AE，PM＝AE．（直接依据1）
片段2：
……
∵∠BCA＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°．（直接依据2）
……
反思交流：
（1）①上述片段中的“直接依据1”“直接依据2”分别是指什么？
②图1中，MN与AB的位置关系是 　MN⊥AB　．
（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，把△CDE绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置，请判断△PMN的形状并证明；
（3）缜密小组的同学继续探究：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，当CD＝4，CB＝10时，直接写出线段MN长度的最大值．

【分析】（1）①利用三角形中位线定理，直角三角形的性质解决问题即可，②结论：NM⊥AB．利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质证明∠ANM＝90°即可；
（2）证明△CBD≌△CAE（SAS）．推出∠CBD＝∠CAE，BD＝AE，再利用三角形的中位线定理，平行线的性质证明即可；
（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，MN＝PM，推出点D在BC的延长线上．此时BD＝CB+CD＝14，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）①直接依据1：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
直接依据2：直角三角形的两锐角互余．
②∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∵PN∥BC，
∴∠ANP＝∠B＝45°，
∵△PNM是等腰直角三角形，
∴∠PNM＝45°，
∴∠ANM＝∠ANP+∠PNM＝90°，
∴MN⊥AB，
故答案为：MN⊥AB；
（2）证明：如图2中，连接BD，由旋转知，∠BCD＝∠ACE．

∵CB＝CA，CD＝CE，
∴△CBD≌△CAE（SAS）．
∴∠CBD＝∠CAE，BD＝AE．
∵点P，M，N分别是AD，ED，AB的中点，
∴PN，PM分别是△ABD，△ADE的中位线，
∴PN＝BD，PM＝AE，
∴PM＝PN．
∴△PMN是等腰三角形．
又∵PM∥AE，PN∥BD．
∴∠DPM＝∠DAE，∠PNA＝∠DBA．
∵∠DPN＝∠DAB+∠PNA＝∠DAB+∠DBA，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DAE+∠DAB+∠DBA＝∠BAE+∠DBA＝∠CAB+∠CAE+∠DBA＝∠CAB+∠CBD+∠DBA＝∠CAB+∠ABC，
∵∠BCA＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°．
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形．
（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，MN＝PM，
∴点D在BC的延长线上时，PM有最大值，
∴BD＝CB+CD＝14，
∴PM＝7，
∴MN＝7．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C，D为直线AB上方抛物线上一动点．
（1）求b和c的值；
（2）连接DO交AB于点E，当DE：OE＝3：4时，求此时点D的坐标；
（3）是否存在点D，使得∠DBA＝2∠BAC？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．


【分析】（1）分别令x＝0和y＝0代入y＝x+2中可得点A和点B的坐标．把点A和点B代入抛物解析式，用待定系数法求出a，b的值即可；
（2）由（1）可知函数解析式，过点D作DF⊥x轴于G，交AB于点F，证明△DFE∽△OBE，设点D（m，﹣m2﹣m+2），F（m，m+2），根据相似三角形性质建立方程求解即可；
（3）过点B作BH∥x轴，交抛物线于点H，过点D作DM⊥x轴，交BH于点N，先证明∠DBH＝∠HBA＝∠BAC，然后设点D（m，﹣m2﹣m+2），应用三角函数定义建立方程求解．
【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0时，x+2＝0，
∴x＝﹣4，
∴A（﹣4，0）；
把A（﹣4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c中得：
，
解得：，
∴b＝﹣，c＝2；
（2）由（1）得抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
如图，过点D作DF⊥x轴于G，交AB于点F，

设点D（m，﹣m2﹣m+2），F（m，m+2），
∴DF＝﹣m2﹣m+2﹣（m+2）＝m2﹣2m，
∵DF⊥x轴，
∴∠DGA＝∠BOA＝90°，
∴DF∥OB，
∴△DFE∽△OBE，
∴＝，
∵DE：OE＝3：4，
∴＝＝，即：＝，
∴﹣m2﹣4m＝3，
解得：m1＝﹣1，m2＝﹣3，
∵点D为直线AB上方抛物线上的点，
∴D的坐标为（﹣1，3）或（﹣3，2）；
（3）存在点D，使得∠DBA＝2∠BAC，理由如下：
如图，过点B作BH∥x轴，交抛物线于点H，过点D作DM⊥x轴，交BH于点N，

∴∠BAC＝∠HBA，
∵∠DBA＝2∠BAC，
∴∠DBH＝∠HBA＝∠BAC，
在Rt△AOB中，OB＝2，OA＝4，
∴tan∠DBH＝tan∠BAC＝＝，
∴tan∠DBH＝＝，
设点D（m，﹣m2﹣m+2），则DN＝﹣m2﹣m，BN＝﹣m，
∴＝，
解得：m＝﹣2，
∴点D的坐标为（﹣2，3）；
∴存在点D，使得∠DBA＝2∠BAC，此时点D（﹣2，3）．
【点评】本题是二次函数的综合题，属于中考压轴题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、相似三角形判定与性质、平行线的性质、三角函数定义以及两函数的交点问题．熟练掌握二次函数的性质，相似三角形性质与判定以及正确添加辅助线是解答此题的关键．