高考复习《直线与圆的位置关系》课时作业9.3

这是一份高考复习《直线与圆的位置关系》课时作业9.3，共7页。

1．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29
B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116
D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
B 由题意可知A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的圆心为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－4＋6,2)，\f(－5－1,2)))，即(1，－3)，
半径为eq \f(\r(（6＋4）2＋（－1＋5）2),2)＝eq \r(29)，
故以线段AB为直径的圆的方程是
(x－1)2＋(y＋3)2＝29.故选B.
2．(2020·荆州模拟)若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
B 由题意知直线y＝kx＋3过圆心(1，1)，
即1＝k＋3，解得k＝－2.
3．(2020·福建厦门联考)若a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，1，\f(3,4)))，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B 方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－24．已知三点A(1，0)，B(0，eq \r(3))，C(2，eq \r(3))，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(\r(21),3)
C.eq \f(2\r(5),3) D.eq \f(4,3)
B 由点B(0，eq \r(3))，C(2，eq \r(3))，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①
由点A(1，0)，B(0，eq \r(3))，得线段AB的垂直平分线方程为
y－eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，②
联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3)))，
其到原点的距离为 eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(21),3).故选B.
5．(2020·长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )
A．1＋eq \r(2) B．2
C．1＋eq \f(\r(2),2) D．2＋2eq \r(2)
A 将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq \f(|1－1－2|,\r(2))＝eq \r(2)，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋1＝eq \r(2)＋1，故选A.
6．(2020·河北九校联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2－y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
C 由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则eq \f(|3m＋4|,\r(32＋42))＝2，解得m＝2或m＝－eq \f(14,3)(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，故选C.
7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
解析 由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．
答案 (－2，－4) 5
8．(2020·成都诊断)若圆C：x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2m)))eq \s\up12(2)＝n的圆心为椭圆M：x2＋my2＝1的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为____________________．
解析 ∵圆C的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2m)))，∴eq \r(\f(1,m)－1)＝eq \f(1,2m)，m＝eq \f(1,2).又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0，1)，从而n＝4.故圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4.
答案 x2＋(y＋1)2＝4
9．(2020·河北衡中同卷)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________．
解析 圆C的方程可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(k,2)))eq \s\up12(2)＋(y＋1)2＝－eq \f(3,4)k2＋1，所以当k＝0时，圆C的面积最大，此时圆心C的坐标为(0，－1)．
答案 (0，－1)
10．已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________________________．
解析 过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，
∵kCM＝eq \f(1－0,2－1)＝1，
∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，
即x＋y－1＝0.
答案 x＋y－1＝0
11．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解 (1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2).
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)
＝eq \f(4k2＋4,k2).
由题设知eq \f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，
即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝－x0＋5，,（x0＋1）2＝\f(（y0－x0＋1）2,2)＋16.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝3，,y0＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝11，,y0＝－6.))
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
12.在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为2eq \r(2)，在y轴上截得的线段长为2eq \r(3).
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为eq \f(\r(2),2)，求圆P的方程．
解 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r，
则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.
∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.
∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P点的坐标为(x0，y0)，
则eq \f(|x0－y0|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，即|x0－y0|＝1.
∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.
①当y0＝x0＋1时，由yeq \\al(2,0)－xeq \\al(2,0)＝1，得(x0＋1)2－xeq \\al(2,0)＝1.
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝0，,y0＝1，))∴r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3.
②当y0＝x0－1时，由yeq \\al(2,0)－xeq \\al(2,0)＝1，得(x0－1)2－xeq \\al(2,0)＝1.
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝0，,y0＝－1，))∴r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.
综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3.
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13．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．1 B．5
C．4eq \r(2) D．3＋2eq \r(2)
D 由题意知圆心C(2，1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(a＋b)＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(2a,b)
≥3＋2 eq \r(\f(b,a)×\f(2a,b))＝3＋2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(2a,b)，即b＝2－eq \r(2)，a＝eq \r(2)－1时，等号成立．
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为3＋2eq \r(2).
14．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．
解析 设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq \\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))＋2.xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)为圆上任一点到原点距离的平方，∴(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))max＝(5＋1)2＝36，
∴dmax＝74.
答案 74
15．(2020·运城模拟)已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为eq \f(\r(5),5)，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为______________________．
解析 设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.
由题意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r2＝2b2，,r2＝a2＋1，,\f(|a－2b|,\r(5))＝\f(\r(5),5)，))
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－1，,r2＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，,r2＝2.))
故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案 (x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2
16．(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C：y＝eq \f(x2,2)，D为直线y＝－eq \f(1,2)上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
(1)证明 设Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，－\f(1,2)))，A(x1，y1)，则xeq \\al(2,1)＝2y1.
因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故eq \f(y1＋\f(1,2),x1－t)＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
(2)解 由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋eq \f(1,2).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝tx＋\f(1,2)，,y＝\f(x2,2)))可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，
y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
|AB|＝eq \r(1＋t2)|x1－x2|＝eq \r(1＋t2)× eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝2(t2＋1)．
设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，
则d1＝eq \r(t2＋1)，d2＝eq \f(2,\r(t2＋1)).
因此，四边形ADBE的面积
S＝eq \f(1,2)|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)eq \r(t2＋1).
设M为线段AB的中点，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，t2＋\f(1,2))).
因为eq \(EM,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，而eq \(EM,\s\up6(→))＝(t，t2－2)，eq \(AB,\s\up6(→))与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.
当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4eq \r(2).
因此，四边形ADBE的面积为3或4eq \r(2).