高考复习《间接证明》课时作业13.2

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课时作业[基础过关专练]1．(2020·岳阳调研)已知函数f(x)＝，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　)A．A≤B≤C   B．A≤C≤BC．B≤C≤A   D．C≤B≤AA　因为≥≥，又f(x)＝在R上是单调减函数，故f≤f()≤f.2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b >c，且a＋b＋c＝0，求证<a”索的因应是(　　)A．a－b>0   B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0   D．(a－b)(a－c)<0C　由题意知<a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.3．(2020·郑州模拟)设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sin x＋cos x)2，则(　　)A．P>Q   B．P<QC．P≤Q   D．P≥QA　因为2x＋2－x≥2＝2(当且仅当x＝0时等号成立)，而x>0，所以P>2；又(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x，而sin 2x≤1，所以Q≤2.于是P>Q.故选A.4．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根A　因为“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x2＋ax＋b＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”．故选A.5．若<<0，则下列结论不正确的是(　　)A．a2<b2   B．ab<b2C．a＋b<0   D．|a|＋|b|>|a＋b|D　∵<<0，∴0>a>b.∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a|＋|b|＝|a＋b|.6．(2020·济宁模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　)A．②③   B．①②③C．③   D．③④⑤C　若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，下面用反证法证明：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.7．用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________________________________________________________________________．答案　a，b都不能被5整除8．(2020·邢台调研)＋与2＋的大小关系为____________．解析　要比较＋与2＋的大小，只需比较(＋)2与(2＋)2的大小，只需比较6＋7＋2与8＋5＋4的大小，只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴＋>2＋.答案　＋>2＋9．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是________．解析　若二次函数f(x)≤0在区间[－1，1]内恒成立，则解得p≤－3或p≥，故满足条件的p的取值范围为.答案　10．(2020·武汉联考)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．解析　①⇒l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，①正确；②⇒l∥β或l⊂β，∴l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；③⇒m⊥α，又m⊂β，∴β⊥α，故③正确；④⇒m⊂α或m∥α.又m⊂β，∴α，β可能相交或平行，故④错误．答案　①③11．(2020·黄冈模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)．其中m为常数，且m≠－3且m≠0.(1)求证：{an}是等比数列；(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：为等差数列．证明　(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man，m≠－3且m≠0，∴＝，∴{an}是等比数列．(2)∵(3－m)Sn＋2man＝m＋3，∴(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，∴a1＝1.b1＝a1＝1，q＝f(m)＝，∴当n∈N*且n≥2时，bn＝f(bn－1)＝·，得bnbn－1＋3bn＝3bn－1，即－＝.∴是首项为1，公差为的等差数列．12．设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}(n＝1，2，3，…)，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数．(1)若an＝n，bn＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，>M；或者存在正整数m，使得cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列．解　(1)c1＝b1－a1＝1－1＝0，c2＝max{b1－2a1，b2－2a2}＝max{1－2×1，3－2×2}＝－1，c3＝max{b1－3a1，b2－3a2，b3－3a3}＝max{1－3×1，3－3×2，5－3×3}＝－2.当n≥3时，(bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n＜0，所以bk－nak在k∈N*上单调递减．所以cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}＝b1－a1n＝1－n.所以对任意n≥1，cn＝1－n，于是cn＋1－cn＝－1，所以{cn}是等差数列．(2)证明：设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，则bk－nak＝b1＋(k－1)d2－[a1＋(k－1)d1]n＝b1－a1n＋(d2－nd1)(k－1)．所以cn＝①当d1＞0时，取正整数m＞，则当n≥m时，nd1＞d2，因此，cn＝b1－a1n，此时，cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列．②当d1＝0时，对任意n≥1，cn＝b1－a1n＋(n－1)max{d2，0}＝b1－a1＋(n－1)(max{d2，0}－a1)．此时，c1，c2，c3，…，cn，…是等差数列．③当d1＜0时，当n＞时，有nd1＜d2，所以＝＝n(－d1)＋d1－a1＋d2＋≥n(－d1)＋d1－a1＋d2－|b1－d2|.对任意正数M，取正整数m＞max，故当n≥m时，＞M.[技能过关提升]13．(2020·西安模拟)已知a，b，c∈R，若·>1且＋≥－2，则下列结论成立的是(　　)A．a，b，c同号B．b，c同号，a与它们异号C．a，c同号，b与它们异号D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定A　由·>1知与同号，若>0且>0，不等式＋≥－2显然成立，若<0且<0，则－>0，－>0，＋≥2>2，即＋<－2，这与＋≥－2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同号．故选A.14．设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy.证明　由于x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．15．(2020·中山模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．解　(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p<q<r，且p，q，r∈N*)，则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)又因为p<q<r，所以r－q，r－p∈N*.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，矛盾．所以假设不成立，原命题得证．16．(新定义题)若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a<b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．(1)设g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；(2)是否存在常数a，b(a>－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．解　(1)由题设得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，则b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.因为b>1，所以b＝3.(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有即解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在常数a，b(a>－2)使函数h(x)＝是[a，b]上的“四维光军”函数．