高考复习《函数的最值》课时作业2.9

这是一份高考复习《函数的最值》课时作业2.9，共8页。
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A.y＝2x－2 B．y＝eq \f(1,2)(x2－1)
C．y＝lg2x D．y＝lgeq \s\d9(\f(1,2))x
B 由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
A 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
3．(2020·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
C 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)＜eq \f(1,1 000)得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.
4．(2020·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息( )
(参考数据：1.022 54≈1.093，1.022 55≈1.118，1.040 15≈1.217)
A．176元 B．99元
C．77元 D．88元
B 将1 000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋4.01%)5≈1 217(元)，故共得利息1 217－1 000＝217(元)．将1 000元存入银行，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋2.25%)5≈1 118(元)，即获利息1 118－1 000＝118(元)．故可以多获利息217－118＝99(元)．
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3 D．26 m3
A 设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mx（010），))则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.
6．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5万元 B．11万元
C．43万元 D．43.025万元
C 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润
y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32
＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×(10.5)2＋32.
因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
7．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aeq \r(A)(a为常数)，广告效应为D＝aeq \r(A)－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)．
解析 令t＝eq \r(A)(t≥0)，则A＝t2，
∴D＝at－t2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)a))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)a2，
∴当t＝eq \f(1,2)a，即A＝eq \f(1,4)a2时，D取得最大值．
答案 eq \f(1,4)a2
8．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L＝eq \f(51,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(8,x)))(x>0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．
解析 由题意得L＝eq \f(51,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(8,x)))≤eq \f(51,2)－2eq \r(\f(x,2)·\f(8,x))＝21.5，当且仅当eq \f(x,2)＝eq \f(8,x)，即x＝4时等号成立．
当eq \r(x)－eq \f(4,\r(x))＝0，即x＝4时，L取得最大值21.5.
故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．
答案 4
9．在如图所示的
锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
解析 设内接矩形另一边长为y m，
则由相似三角形性质可得
eq \f(x,40)＝eq \f(40－y,40)，解得y＝40－x，
所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x
＝－(x－20)2＋400(01.))
(2)由y≥0.50，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤t≤1，,4t≥0.50))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)≥0.50，))
解得eq \f(1,8)≤t≤4，因此服用药品后的有效时间为
4－eq \f(1,8)＝eq \f(31,8)(小时)．
12．(2020·湖北荆州一模)某市环保研究所对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝eq \f(2x,x2＋4)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2x,x2＋4)－a))＋eq \f(3,4)，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，eq \f(1,2)]．
(1)令t(x)＝eq \f(2x,x2＋4)，x∈[0，24]，求t(x)的最值；
(2)若用每天的f(x)的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定：每天的综合污染指数不得超过2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标？
解 (1)由t(x)＝eq \f(2x,x2＋4)，x∈[0，24]，
得t′(x)＝eq \f(2（x2＋4）－2x·2x,（x2＋4）2)＝eq \f(－2（x＋2）（x－2）,（x2＋4）2)，x∈[0，24]，
令t′(x)≥0，得(x＋2)(x－2)≤0，则0≤x≤2，
令t′(x)＜0，得(x＋2)(x－2)＞0，则x＞2，
∴t(x)在[0，2]上递增，在(2，＋∞)上递减，
又t(0)＝0，t(2)＝eq \f(1,2)，t→＋∞时，t(x)→0，
∴t(x)min＝t(0)＝0；t(x)max＝t(2)＝eq \f(1,2).
(2)令t＝eq \f(2x,x2＋4)，则由x∈[0，24]，得t∈0，eq \f(1,2)，
令g(t)＝f(x)＝t·|t－a|＋eq \f(3,4)，t∈0，eq \f(1,2)，
则g(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－t2＋at＋\f(3,4)，0≤t≤a，,t2－at＋\f(3,4)，a＜t≤\f(1,2)，))
∵g(t)在0，eq \f(a,2)和eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(a，\f(1,2)))上递增，在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，a))上递减，
且geq \f(a,2)＝eq \f(3,4)＋eq \f(a2,4)，geq \f(1,2)＝1－eq \f(a,2)，
geq \f(a,2)－geq \f(1,2)＝eq \f(a2,4)＋eq \f(a,2)－eq \f(1,4)，
令eq \f(a2,4)＋eq \f(a,2)－eq \f(1,4)≥0，得eq \r(2)－1≤a≤eq \f(1,2)；
令eq \f(a2,4)＋eq \f(a,2)－eq \f(1,4)＜0，得0≤a＜eq \r(2)－1，
∴f(x)max＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)a，0≤a＜\r(2)－1，,\f(3,4)＋\f(a2,4)，\r(2)－1≤a≤\f(1,2)，))
∴f(x)max≤1，∴目前市中心的综合污染指数没有超标．
[技能过关提升]
13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．
解析 设每小时的总费用为y元，则y＝kv2＋96，又当v＝10时，k×102＝6，解得k＝0.06，
所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为eq \f(10,v)小时，故总费用为W＝eq \f(10,v)y＝eq \f(10,v)(0.06v2＋96)＝0.6v＋eq \f(960,v)≥2eq \r(0.6v×\f(960,v))＝48，
当且仅当0.6v＝eq \f(960,v)，即v＝40时等号成立．
故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．
答案 40
14．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有盈利 B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
B 设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损．
15．(2020·潍坊模拟)某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·lgbt.
利用你选取的函数，求得：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________(元/100 kg)．
解析 根据表中数据可知函数不单调，所以Q＝at2＋bt＋c，且开口向上，对称轴t＝－eq \f(b,2a)＝eq \f(60＋180,2)＝120，
代入数据eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3 600a＋60b＋c＝116，,10 000a＋100b＋c＝84，,32 400a＋180b＋c＝116，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－2.4，,c＝224，,a＝0.01.))
所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100 kg)．
答案 (1)120 (2)80
16．(2020·佛山一中月考)近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元．根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4eq \r(2a)－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)a＋2，80≤a≤120，,32，120