高考复习《双曲线的定义》课时作业9.6

这是一份高考复习《双曲线的定义》课时作业9.6，共8页。

1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \r(3)x
C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(\r(3),2)x
A 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.
又∵离心率eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(3)，
∴a2＋b2＝3a2.∴b＝eq \r(2)a(a>0，b>0)．
∴渐近线方程为eq \r(2)ax±ay＝0，即y＝±eq \r(2)x.故选A.
2．(2019·全国Ⅰ卷)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40° B．2cs 40°
C.eq \f(1,sin 50°) D.eq \f(1,cs 50°)
D 由题意可得－eq \f(b,a)＝tan 130°，
所以e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋tan2130°)＝ eq \r(1＋\f(sin2130°,cs2130°))
＝eq \f(1,|cs 130°|)＝eq \f(1,cs 50°).故选D.
3．(2017·河南新乡二模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若eq \(BA,\s\up6(→))＝2eq \(AF,\s\up6(→))，且|eq \(BF,\s\up6(→))|＝4，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,12)＝1
C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)＝1
D 不妨设B(0，b)，由eq \(BA,\s\up6(→))＝2eq \(AF,\s\up6(→))，F(c，0)，
可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2c,3)，\f(b,3)))，代入双曲线C的方程可得eq \f(4,9)×eq \f(c2,a2)－eq \f(1,9)＝1，即eq \f(4,9)·eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(10,9)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,2).①
又|eq \(BF,\s\up6(→))|＝ eq \r(b2＋c2)＝4，c2＝a2＋b2，∴a2＋2b2＝16，②
由①②可得，a2＝4，b2＝6，
∴双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)＝1，故选D.
4．已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是( )
A．4 B．6
C．8 D．16
C |F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，所以|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝8＋|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|≥8，当且仅当P1，F2，P2三点共线时等号成立，故选C.
5．(2020·开封模拟)已知l是双曲线C：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则P到x轴的距离为( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \r(2)
C．2 D.eq \f(2\r(6),3)
C 由题意知F1(－eq \r(6)，0)，F2(eq \r(6)，0)，不妨设l的方程为y＝eq \r(2)x，则可设P(x0，eq \r(2)x0)．由eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝(－eq \r(6)－x0，－eq \r(2)x0)·(eq \r(6)－x0，－eq \r(2)x0)＝3xeq \\al(2,0)－6＝0，
得x0＝±eq \r(2)，故P到x轴的距离为eq \r(2)|x0|＝2，故选C.
6．(2020·沈阳模拟)已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，eq \r(2))，则△APF周长的最小值为( )
A．4＋eq \r(2) B．4(1＋eq \r(2))
C．2(eq \r(2)＋eq \r(6)) D.eq \r(6)＋3eq \r(2)
B 由题意知F(eq \r(6)，0)，设左焦点为F0，则F0(－eq \r(6)，0)，由题意可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，
∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝eq \r(（0＋\r(6)）2＋（\r(2)－0）2)＋eq \r(（\r(6)－0）2＋（0－\r(2)）2)＋2×2＝4eq \r(2)＋4＝4(eq \r(2)＋1)，当且仅当A，F0，P三点共线时取得“＝”，故选B.
7．过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,7)－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
A 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝a，,y＝－\f(b,a)x，)) 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝a，,y＝－b，)) ∴A(a，－b)．
由题意知右焦点到原点的距离为c＝4，
∴eq \r(（a－4）2＋（－b）2)＝4，即(a－4)2＋b2＝16.
而a2＋b2＝16，∴a＝2，b＝2eq \r(3).
∴双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.
8．(2020·河北衡水中学模拟)已知双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线C上的任意一点，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，若四边形PAOB(O为坐标原点)的面积为eq \r(2)，且eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))>0，则点P的横坐标的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(17),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(17),3)，＋∞))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(17),3)，\f(\r(17),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2\r(17),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(17),3)，＋∞))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(17),3)，\f(2\r(17),3)))
A 由题易知四边形PAOB为平行四边形，且不妨设双曲线C的渐近线OA：bx－y＝0，OB：bx＋y＝0.设点P(m，n)，则直线PB的方程为y－n＝b(x－m)，且点P到渐近线OB的距离为d＝eq \f(|bm＋n|,\r(1＋b2)).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－n＝b（x－m），,bx＋y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(bm－n,2b)，,y＝\f(n－bm,2)，))
∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bm－n,2b)，\f(n－bm,2)))，∴|OB|＝eq \r(\f(（bm－m）2,4b2)＋\f(（n－bm）2,4))＝eq \f(\r(1＋b2),2b)|bm－n|，
∴S▱PAOB＝|OB|·d＝eq \f(|b2m2－n2|,2b).又∵m2－eq \f(n2,b2)＝1，
∴b2m2－n2＝b2，∴S▱PAOB＝eq \f(1,2)b.又S▱PAOB＝eq \r(2)，
∴b＝2eq \r(2).∴双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,8)＝1，∴c＝3，
∴F1(－3，0)，F2(3，0)，∴eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝(－3－m)(3－m)＋n2>0，即m2－9＋n2>0，又∵m2－eq \f(n2,8)＝1，
∴m2－9＋8(m2－1)>0，解得m>eq \f(\r(17),3)或m<－eq \f(\r(17),3)，
∴点P的横坐标的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(17),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(17),3)，＋∞))，故选A.
9．(2020·石家庄模拟改编)已知双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l分别交C的左、右支于点A，B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|的值为________．
解析
由双曲线定义知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，由于|AF1|＝|BF1|，所以两式相加可得|AF2|－|BF2|＝4a，而|AB|＝|AF2|－|BF2|，∴|AB|＝4a，由双曲线方程知a＝4，∴|AB|＝16.
答案 16
10．(2020·福建六校联考)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，△APQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
解析 由于双曲线和圆都关于x轴对称，又△APQ的一个内角为60°，所以△APQ为正三角形，则∠PFx＝60°，所以xP＝c＋(a＋c)cs 60°＝eq \f(3c＋a,2)，yP＝(a＋c)sin 60°＝eq \f(\r(3)（c＋a）,2)，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c＋a,2)，\f(\r(3)（c＋a）,2)))，代入双曲线方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，整理得3e2－e－4＝0，解得e＝eq \f(4,3).
答案 eq \f(4,3)
11．(2020·南昌调研)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
解析 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,a)x，,x－3y＋m＝0，)) 得Aeq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(am,3b－a)，\f(bm,3b－a)))，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(b,a)x，,x－3y＋m＝0)) 得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－am,a＋3b)，\f(bm,a＋3b)))，
所以AB的中点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2m,9b2－a2)，\f(3b2m,9b2－a2))).
设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，
因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，
所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.
在双曲线中，c2＝a2＋b2＝eq \f(5,4)a2，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2).
答案 eq \f(\r(5),2)
12．设双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
解析 如图，
由已知可得a＝1，b＝eq \r(3)，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，
设|PF2|＝m，
则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，
由于△PF1F2为锐角三角形，
结合实际意义可知m需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（m＋2）2解得－1＋eq \r(7)＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，
∴2eq \r(7)＜2m＋2＜8.
答案 (2eq \r(7)，8)
[技能过关提升]
13．(2020·湖北黄冈模拟)已知双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使eq \f(sin ∠PF2F1,sin ∠PF1F2)＝e，则eq \(F2P,\s\up6(→))·eq \(F2F1,\s\up6(→))的值为( )
A．3 B．2
C．－3 D．－2
B 由题意及正弦定理得eq \f(sin ∠PF2F1,sin ∠PF1F2)＝eq \f(|PF1|,|PF2|)＝e＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2.又|F1F2|＝4，由余弦定理可知cs ∠PF2F1＝eq \f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2|PF2|·|F1F2|)
＝eq \f(4＋16－16,2×2×4)＝eq \f(1,4)，
∴eq \(F2P,\s\up6(→))·eq \(F2F1,\s\up6(→))＝|eq \(F2P,\s\up6(→))|·|eq \(F2F1,\s\up6(→))|cs ∠PF2F1＝2×4×eq \f(1,4)＝2.故选B.
14．(2020·安徽淮南三校联考)已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，eq \r(2))，则△APF周长的最小值为( )
A．4＋eq \r(2) B．4(1＋eq \r(2))
C．2(eq \r(2)＋eq \r(6)) D.eq \r(6)＋3eq \r(2)
B 由题意知F(eq \r(6)，0)，设左焦点为F0，则F0(－eq \r(6)，0)，由题可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝eq \r(（0＋\r(6)）2＋（\r(2)－0）2)＋eq \r(（\r(6)－0）2＋（0－\r(2)）2)＋2×2＝4eq \r(2)＋4＝4(eq \r(2)＋1)，当且仅当A，F0、P三点共线时取得“＝”，故选B.
15．(2019·全国Ⅰ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq \(F1A,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(F1B,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝0，则C的离心率为________．
解析
因为eq \(F1B,\s\up6(→))·eq \(F2B,\s\up6(→))＝0，所以F1B⊥F2B，如图．
所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，
所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为eq \(F1A,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝eq \f(1,tan∠AOF1)＝eq \f(a,b)，tan∠BOF2＝eq \f(b,a).因为tan∠BOF2＝tan (2∠BF1O)，所以eq \f(b,a)＝eq \f(2×\f(a,b),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))\s\up12(2))，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝2.
答案 2
16．(多填题)(2020·昆明诊断改编)已知F是双曲线C：x2－eq \f(y2,8)＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6eq \r(6))，则△APF周长的最小值为________，此时该三角形的面积为________．
解析
设双曲线的左焦点为F1，连接PF1.由双曲线方程x2－eq \f(y2,8)＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3，0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.因为|AF|＝
eq \r(32＋（6\r(6)）2)＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小．由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．|AF1|＝|AF|＝15，故△APF周长的最小值为32.此时，由题意可知直线AF1的方程为y＝2eq \r(6)x＋6eq \r(6)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2\r(6)x＋6\r(6)，,x2－\f(y2,8)＝1))得y2＋6eq \r(6)y－96＝0，解得y＝2eq \r(6)或y＝－8eq \r(6)(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝eq \f(1,2)×6×6eq \r(6)－eq \f(1,2)×6×2eq \r(6)＝12eq \r(6).
答案 32 12eq \r(6)