高考复习《复数》课时作业13.5

这是一份高考复习《复数》课时作业13.5，共5页。

1．(2019·全国Ⅱ卷)设z＝i(2＋i)，则z＝( )
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
D ∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴z＝－1－2i.
故选D.
2．(2018·北京卷)在复平面内，复数eq \f(1,1－i)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D eq \f(1,1－i)＝eq \f(1,2)＋eq \f(i,2)，其共轭复数为eq \f(1,2)－eq \f(i,2)，对应点位于第四象限．故选D.
3．(2019·揭阳一模)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝eq \r(3)＋ai，|z|＝2，则a＝( )
A.eq \r(7)或－eq \r(7) B．1或－1
C．2 D．－2
B 因为|z|＝|eq \r(3)－ai|＝eq \r(3＋a2)＝2，所以a2＝1，a＝±1，故选B.
4．(2020·河北保定定兴三中月考)“复数z＝eq \f(3－ai,i)(a∈R)在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A z＝eq \f(3－ai,i)＝eq \f(（3－ai）（－i）,－i·i)＝－a－3i.
∵z在复平面内对应的点在第三象限，
∴－a<0，解得a>0.∴“复数z＝eq \f(3－ai,i)在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的充分不必要条件．故选A.
5．(2020·河北省三市联考)若复数z＝eq \f(a＋3i,i)＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是( )
A．－4 B．－3
C．1 D．2
A 因为z＝eq \f(a＋3i,i)＋a＝(3＋a)－ai在复平面上对应的点在第二象限，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＋a<0，,－a>0，))解得a<－3，故选A.
6．(2020·枣庄模拟)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2
B．若z1＝z2，则z1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2
D．若|z1|＝|z2|，则zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)
D A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z1＝z2，成立．B中，z1＝z2，则z1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z1z1＝z2z2，C正确．D不一定成立，如z1＝1＋eq \r(3)i，z2＝2，则|z1|＝2＝|z2|，但zeq \\al(2,1)＝－2＋2eq \r(3)i，zeq \\al(2,2)＝4，zeq \\al(2,1)≠zeq \\al(2,2).
7．(2017·天津卷)已知a∈R，i为虚数单位，若eq \f(a－i,2＋i)为实数，则a的值为________．
解析 ∵a∈R，eq \f(a－i,2＋i)＝eq \f(（a－i）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝eq \f(2a－1－（a＋2）i,5)
＝eq \f(2a－1,5)－eq \f(a＋2,5)i为实数，
∴－eq \f(a＋2,5)＝0，∴a＝－2.
答案 －2
8．(2019·江苏卷)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
解析 (a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，
因为其实部为0，故a＝2.
答案 2
9．已知集合M＝{1，m，3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________．
解析 ∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，
∴m≠－1，3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，
∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，
解得m＝6或m＝3，经检验符合题意．
答案 3或6
10．(2020·唐山质检)若1＋eq \r(2)i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝________，c＝________．
解析 ∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋eq \r(2)i，∴其共轭复数1－eq \r(2)i也是方程的根．
由根与系数的关系知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1＋\r(2)i）＋（1－\r(2)i）＝－b，,（1＋\r(2)i）（1－\r(2)i）＝c，))
∴b＝－2，c＝3.
答案 －2 3
11．(2019·浙江卷)复数z＝eq \f(1,1＋i)(i为虚数单位)，则|z|＝________．
解析 z＝eq \f(1,1＋i)＝eq \f(1－i,（1＋i）（1－i）)＝eq \f(1－i,1－i2)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i，
易得|z|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(2),2).
答案 eq \f(\r(2),2)
12．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝eq \r(3)，则eq \f(y,x)的最大值为________．
解析 ∵|z－2|＝eq \r(（x－2）2＋y2)＝eq \r(3)，
∴(x－2)2＋y2＝3.
由图可知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))eq \s\d7(max)＝eq \f(\r(3),1)＝eq \r(3).
答案 eq \r(3)
13．(2015·天津卷)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
解析 由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0，1－2a≠0，解得a＝－2.
答案 －2
14．(2020·辽宁朝阳三校协作体联考)已知复数z＝eq \f(\r(3)＋i,（1－\r(3)i）2)，z是z的共轭复数，则z·z＝________．
解析 由z＝eq \f(\r(3)＋i,－2（1＋\r(3)i）)＝－eq \f(\r(3),4)＋eq \f(1,4)i，
得z＝－eq \f(\r(3),4)－eq \f(1,4)i，
所以z·z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),4)＋\f(1,4)i))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),4)－\f(1,4)i))
＝eq \f(3,16)＋eq \f(1,16)＝eq \f(1,4).
答案 eq \f(1,4)
15．(2019·天津卷)i是虚数单位，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(5－i,1＋i)))的值为________．
解析 ∵eq \f(5－i,1＋i)＝eq \f(（5－i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝2－3i，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(5－i,1＋i)))＝|2－3i|＝eq \r(13).
答案 eq \r(13)
16．(2020·广州质检)已知复数z＝bi(b∈R)，eq \f(z－2,1＋i)是实数，i是虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
解 (1)因为z＝bi(b∈R)，
所以eq \f(z－2,1＋i)＝eq \f(bi－2,1＋i)＝eq \f(（bi－2）（1－i）,（1＋i）（1－i）)
＝eq \f(（b－2）＋（b＋2）i,2)＝eq \f(b－2,2)＋eq \f(b＋2,2)i.
又因为eq \f(z－2,1＋i)是实数，所以eq \f(b＋2,2)＝0，
所以b＝－2，即z＝－2i.
(2)因为z＝－2i，m∈R，
所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2
＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－4>0，,－4m>0，))解得m<－2，
即m∈(－∞，－2)．