中考数学复习之二次函数背景下的相似三角形的存在性问题-含参考答案

中考数学复习之相似三角形的存在性问题（学案）

知识与方法梳理：

相似三角形存在性的处理思路

1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．

注：相似三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．

2. 画图求解：

往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解．

注：相似三角形列方程往往借助对应边成比例；

3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．

例1：在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为

C(4，)，且与x轴的两个交点间的距离为6．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

第一问：研究背景图形

【思路分析】

①由顶点坐标C(4，)可知对称轴为直线x=4，利用与x轴两个交点间的距离为6，再结合抛物线的对称性可知A（1，0)，B(7，0)．

②设交点式y=a(x-1)(x-7)，再代入坐标C(4，)可求解出解析式．

【过程示范】

∵顶点坐标为C(4，)，

∴抛物线对称轴为直线x=4，

又∵抛物线与x轴的两个交点间的距离为6，

∴由抛物线的对称性可知：A(1，0)，B(7，0)．

设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-7)，

将C(4，)代入可得，，

∴所求解析式为．

第二问：相似三角形的存在性

【思路分析】

相似三角形存在性问题也是在存在性问题的框架下进行的：

①分析特征：先研究定点、动点，其中A、B、C为定点，点Q为抛物线上的动点；进一步研究此△ABC，发现其中AC=BC；构造辅助线：CD垂直于x轴，能够计算出∠BAC=30°，∠ACB=30°；再考虑研究△QAB，固定线段为AB，并且由于点Q在x轴上方的抛物线上，所以△QAB为钝角（填“钝角”或“直角”）三角形．

②画图求解：先考虑点Q在抛物线对称轴右侧的情况，此时∠ABQ为钝角，要想使△ABC与△ABQ相似，则需要∠ABQ=120°，且AB=BQ．求解时，可根据∠ABQ=120°，AB=BQ=6来求出Q点坐标．同理，考虑点Q在抛物线对称轴左侧时的情况．

③结果验证：考虑点Q还要在抛物线上，将点Q代入抛物线解析式验证．

【过程示范】

存在点Q使得△QAB与△ABC相似．

由抛物线对称性可知，AC=BC，过点C作CD⊥x轴于D，

则AD=3，CD=．

在Rt△ACD中，tan∠DAC=，

∴∠BAC=∠ABC=30°，∠ACB=120°．

①当△ACB∽△ABQ1时，

∠ABQ1=120°且BQ1=AB=6．

过点Q1作Q1E⊥x轴，垂足为E，

则在Rt△BQ1E中，BQ1=6，∠Q1BE=60°，

∴Q1E=BQ1·sin60°=，BE=3，

∴E(10，0)，Q1(10，)．

当x=10时，y=，

∴点Q1在抛物线上．

②由抛物线的对称性可知，还存在AQ2=AB，

此时△Q2AB∽△ACB，点Q2的坐标为(-2，)．

综上，Q1(10，)，Q2(-2，)．

练习题

1. 如图，抛物线经过A，B，C三点，BC⊥OB，AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，作MN⊥x轴于点N，若△AMN与△ACD相似，则点M的坐标为_____________________________．

2. 如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，点A的坐标为(1，0)，过点C的直线与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB5t，且0＜t＜1．

（1）点C的坐标是____________，b_______，c______．

（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）．

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，说明理由．

3. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D(1，m)在抛物线上，直线y=-x-1与抛物线交于A，E两点，点P在x轴上，且位于点B的左侧，若以P，B，D为顶点的三角形与△ABE相似，则点P的坐标为__________________________________．

4. 如图，已知抛物线过点A(0，6)，B(2，0)，C(7，)．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称．求证：∠CFE=∠AFE．

（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5. 如图，抛物线y=ax2+bx经过两点A(-1，1)，B(2，2)．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．连接OA，OB，OC，AC，点N在坐标平面内，且△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应），则点N的坐标为_______________

______________________．

6. 如图，抛物线y=-x2+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D．是否存在以P，O，D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7. 如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点A作AP∥CB交抛物线于点P．

（1）求A，B，C三点的坐标．

（2）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MG⊥x轴于点G，使以A，M，G为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

8. 如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A，B，且点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，1)．

（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标．

（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，在x轴上点A的左侧是否存在点P，使以P，A，C为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9. 如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

2. （1）(0，-3)，，-3；

（2）；

（3）存在，或或．

4. （1）；

（3）．

5. N1(3，4)，N2(4，3)，N3(-2，-1)，N4(-1，-2)

6.存在，，．

7.（1）A(-1，0)，B(1，0)，C(0，-1)；

（2）存在，M1(-2，3)，M2(4，15)，．

8.（1）y=-x2+1，B(-1，0)；

（2）存在，，P2(-2，0)．

9.（1）；

（2）存在，P1(0，-2)，P2(-3，-14)，P3(2，1)，P4(5，-2)．