备战中考初中数学导练学案50讲—第01讲有理数（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第01讲 有理数
【疑难点拨】
1.绝对值：理解绝对值的意义及性质是难点，由于表示数的点到原点的距离，因此。可运用的非负性进行求解或判断某些字母的取值。
2.数轴：数轴是数形结合的重要工具，涉及含字母或绝对值符号的问题，借助数轴往往有利于问题的迅速解决。对于此类问题往往考虑到分类讨论及其数形结合思想的应用。
3.有理数的运算:有理数的运算包括加减法、乘除法及乘方，是初中数学运算的基础。要熟记法则，灵活运算，进行混合运算时，还要注运算顺序的应用。
4.运用运算律简化运算过程:运用加法的交换律、结合律，把某些具有相同属性的数（如正数、负数、分数中的分母具有倍数关系、相反数等）分别结合在一起相加，可以运算过程。
5.利用特殊规律解有关分数的计算:根据题目特点，灵活将算式变形，对不同算式采用运算顺序重新组合、因数分解、裂项等不同的方法，达到优化解题过程、简化计算、解决问题的目的。
6.有理数运算的应用:用相反数可表示相反意义的量，有理数的运算在生活中的应用十分广泛，其中，有理数的加法、减法及乘法运用较多，做题时，要认真分析，列出算式，并准确计算。
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018•山东枣庄•3分）的倒数是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
2. （2018•山东淄博•4分）计算的结果是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
3. （2018•四川成都•3分）实数 在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（  ）
A.a        B.b       C.c         D. d
4. （2018•四川凉州•3分）长度单位1纳米=10﹣9米，目前发现一种新型病毒直径为25 100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（　　）
A．25.1×10﹣6米 B．0.251×10﹣4米 C．2.51×105米 D．2.51×10﹣5米
5. （2018•山东滨州•3分）若数轴上点A、B分别表示数2、﹣2，则A、B两点之间的距离可表示为（　　）
A．2+（﹣2） B．2﹣（﹣2） C．（﹣2）+2 D．（﹣2）﹣2
二、填空题：
6. （2018年四川省南充市）某地某天的最高气温是6℃，最低气温是﹣4℃，则该地当天的温差为 　℃．
7. （2018•江苏盐城•3分）根据如图所示的车票信息，车票的价格为________元．

8. （2018•江苏扬州•3分）在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为　 　．
三、解答与计算题：
9. 计算：
（1）；



（2）-23+（-2）2×（-1）-(-2)4÷（-2）3;



（3） ；



10. 已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，求式子（a+b）+m﹣cd+m．



【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•山东枣庄•3分）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（　　）

A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0
12. （2018·台湾·分）已知a=（﹣）﹣，b=﹣（﹣），c=﹣﹣，判断下列叙述何者正确？（　　）
A．a=c，b=c B．a=c，b≠c C．a≠c，b=c D．a≠c，b≠c
13. （2018·台湾·分）如图为O、A、B、C四点在数线上的位置图，其中O为原点，且AC=1，OA=OB，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数与下列何者相等？（　　）

A．﹣（x+1） B．﹣（x﹣1） C．x+1 D．x﹣1
二、填空题：
14. （2018年江苏省南京市•2分）写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数：　 ．
15. 按下列程序输入一个数x，若输入的数x=0，则输出结果为　 　．

三、解答与计算题：
16. 在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天航行路程记录如下：14，﹣9，﹣18，﹣7，13，﹣6，10，﹣5（单位：千米）．
（1）B地在A地何位置？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，出发前冲锋舟油箱有油29升，求途中需补充多少升油？







17. 有一次同学聚会，他们的座位号是：小王的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，小李的座位号与下列一组数中的正整数的个数相等
6，，0，−200，，−5.22，−0.01，+67，，−10，300，−24．
（1）试问小王、小李坐的各是第几号位置？
（2）若这次同学聚会的人数是小王的座位号的2倍与小李的座位号的4倍的和，请问这次聚会到了多少同学？







18. 根据下面给出的数轴，解答下面的问题：
（1）请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数．
（2）请问A，B两点之间的距离是多少？
（3）在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A，B的其它字母表示），并写出这些点表示的数．
 









【探究篇】
19. 已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10，10，动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示点P与A的距离：PA= ；点P对应的数是　 ；
（2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，若P、Q同时出发，求：当点P运动多少秒时，点P和点Q间的距离为8个单位长度？



20. 已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数－26，－10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=________，PC=_____________
（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，当点P运动到点C时，P、Q两点运动停止，
①当P、Q两点运动停止时，求点P和点Q的距离；
②求当t为何值时P、Q两点恰好在途中相遇。


备战2019中考初中数学导练学案50讲
第01讲 有理数
【疑难点拨】
1.绝对值：理解绝对值的意义及性质是难点，由于表示数的点到原点的距离，因此。可运用的非负性进行求解或判断某些字母的取值。
2.数轴：数轴是数形结合的重要工具，涉及含字母或绝对值符号的问题，借助数轴往往有利于问题的迅速解决。对于此类问题往往考虑到分类讨论及其数形结合思想的应用。
3.有理数的运算:有理数的运算包括加减法、乘除法及乘方，是初中数学运算的基础。要熟记法则，灵活运算，进行混合运算时，还要注运算顺序的应用。
4.运用运算律简化运算过程:运用加法的交换律、结合律，把某些具有相同属性的数（如正数、负数、分数中的分母具有倍数关系、相反数等）分别结合在一起相加，可以运算过程。
5.利用特殊规律解有关分数的计算:根据题目特点，灵活将算式变形，对不同算式采用运算顺序重新组合、因数分解、裂项等不同的方法，达到优化解题过程、简化计算、解决问题的目的。
6.有理数运算的应用:用相反数可表示相反意义的量，有理数的运算在生活中的应用十分广泛，其中，有理数的加法、减法及乘法运用较多，做题时，要认真分析，列出算式，并准确计算。
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018•山东枣庄•3分）的倒数是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
【分析】根据倒数的定义，直接解答即可．
【解答】解：的倒数是﹣2．
故选：A．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2. （2018•山东淄博•4分）计算的结果是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
【考点】1A：有理数的减法；15：绝对值．
【分析】先计算绝对值，再计算减法即可得．
【解答】解：=﹣=0，
故选：A．
【点评】本题主要考查绝对值和有理数的减法，解题的关键是掌握绝对值的性质和有理数的减法法则．
3. （2018•四川成都•3分）实数 在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（  ）
A.a        B.b       C.c         D. d
【答案】D
【考点】数轴及有理数在数轴上的表示，有理数大小比较
【解析】【解答】解：根据数轴可知a＜b＜0＜c＜d∴这四个数中最大的数是d
故答案为：D
【分析】根据数轴上右边的数总比左边的数大，即可得出结果。
4. （2018•四川凉州•3分）长度单位1纳米=10﹣9米，目前发现一种新型病毒直径为25 100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（　　）
A．25.1×10﹣6米 B．0.251×10﹣4米 C．2.51×105米 D．2.51×10﹣5米
【分析】先将25 100用科学记数法表示为2.51×104，再和10﹣9相乘．
【解答】解：2.51×104×10﹣9=2.51×10﹣5米．故选D．
【点评】a×10n中，a的整数部分只能取一位整数，1≤|a|＜10．此题中的n应为负数．
5. （2018•山东滨州•3分）若数轴上点A、B分别表示数2、﹣2，则A、B两点之间的距离可表示为（　　）
A．2+（﹣2） B．2﹣（﹣2） C．（﹣2）+2 D．（﹣2）﹣2
【分析】根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可．
【解答】解：A、B两点之间的距离可表示为：2﹣（﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查的是数轴上两点间的距离、数轴等知识，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
二、填空题：
6. （2018年四川省南充市）某地某天的最高气温是6℃，最低气温是﹣4℃，则该地当天的温差为　10　℃．
【考点】1A：有理数的减法．
【分析】用最高温度减去最低温度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】解：6﹣（﹣4），
=6+4，
=10℃．
故答案为：10
【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
7. （2018•江苏盐城•3分）根据如图所示的车票信息，车票的价格为________元．

【答案】77.5
【考点】有理数及其分类
【解析】【解答】解：车票上有“￥77.5元”，那么车票的价格是77.5元。故答案为：77.5
【分析】根据车票信息中的价格信息可知。
8. （2018•江苏扬州•3分）在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为　7.7×10﹣4　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00077=7.7×10﹣4，
故答案为：7.7×10﹣4．
【点评】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
三、解答与计算题：
9. 计算：
（1）；

（2）-23+（-2）2×（-1）-(-2)4÷（-2）3;

（3） ；
【解答】
（1）原式=16+（-3）÷-16
=16+3×6
=1816.
（2）原式=-8+（-4）-16÷（-8）
=-8-4+2
=-10.
（3）原式=-16-18+34-112×（-48）
=-16×（-48）-18×（-48）+34×（-48）-112×(-48)
=8+6-36+4
=-18.
10. 已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，求式子（a+b）+m﹣cd+m．
【答案】解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，
∴当m=2时，原式=0+2﹣1+2=3；
当m=﹣2时，原式=0﹣2﹣1﹣2=﹣5
【考点】相反数及有理数的相反数，绝对值及有理数的绝对值，有理数的倒数，代数式求值
【解析】【分析】根据相反数之和为0，倒数之积等于1，可得a+b=0，cd=1，再根据绝对值的性质可得m=±2，然后代入计算即可．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•山东枣庄•3分）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（　　）

A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0
【分析】本题利用实数与数轴的对应关系结合实数的运算法则计算即可解答．
【解答】解：从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；
A、|a|＞|b|，故选项正确；
B、a、c异号，则|ac|=﹣ac，故选项错误；
C、b＜d，故选项正确；
D、d＞c＞1，则a+d＞0，故选项正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了数轴的知识：从原点向右为正数，向左为负数．右边的数大于左边的数．
12. （2018·台湾·分）已知a=（﹣）﹣，b=﹣（﹣），c=﹣﹣，判断下列叙述何者正确？（　　）
A．a=c，b=c B．a=c，b≠c C．a≠c，b=c D．a≠c，b≠c
【分析】根据有理数的减法的运算方法，判断出a、c，b、c的关系即可．
【解答】解：∵a=（﹣）﹣=﹣﹣，b=﹣（﹣）=﹣+，c=﹣﹣，
∴a=c，b≠c．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
13. （2018·台湾·分）如图为O、A、B、C四点在数线上的位置图，其中O为原点，且AC=1，OA=OB，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数与下列何者相等？（　　）

A．﹣（x+1） B．﹣（x﹣1） C．x+1 D．x﹣1
【分析】首先根据AC=1，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据OA=OB，求出B点所表示的数是多少即可．
【解答】解：∵AC=1，C点所表示的数为x，
∴A点表示的数是x﹣1，
又∵OA=OB，
∴B点和A点表示的数互为相反数，
∴B点所表示的数是﹣（x﹣1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握．
二、填空题：
14. （2018年江苏省南京市•2分）写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数：　﹣1　．
【分析】根据绝对值的意义求解．
【解答】解：一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数0或负数．
故答案为：﹣1
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=﹣a．也考查了相反数．
15. 按下列程序输入一个数x，若输入的数x=0，则输出结果为　4　．

【解答】解：∵0×（﹣2）﹣4=﹣4，
∴第一次运算结果为﹣4；
∵（﹣4）×（﹣2）﹣4=4，
∴第二次运算结果为4；
∵4＞0，
∴输出结果为4．
故答案为：4．
三、解答与计算题：
16. 在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天航行路程记录如下：14，﹣9，﹣18，﹣7，13，﹣6，10，﹣5（单位：千米）．
（1）B地在A地何位置？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，出发前冲锋舟油箱有油29升，求途中需补充多少升油？
【答案】解：（1）∵14﹣9﹣18﹣7+13﹣6+10﹣5=﹣8，∴B在A正西方向，离A有千米米．
（2）∵|14|+|﹣9|+|﹣18|+|﹣7|+|13|+|﹣6|+|10|+|﹣5|=82千米，∴82×0.5﹣29=12升．∴途中要补油12升．
【考点】正数和负数，有理数的混合运算
【解析】【分析】向东为正方向，则向西方向为负，要求B地在A地何位置，把他们的记录结果相加即可．求途中需补充多少升油，需先求他们走了多少千米．
17. 有一次同学聚会，他们的座位号是：小王的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，小李的座位号与下列一组数中的正整数的个数相等
6，，0，−200，，−5.22，−0.01，+67，，−10，300，−24．
（1）试问小王、小李坐的各是第几号位置？
（2）若这次同学聚会的人数是小王的座位号的2倍与小李的座位号的4倍的和，请问这次聚会到了多少同学？
【答案】（1）小王的座位号是6，小李的座位号是2  （2）20人
【考点】正数和负数，有理数
【解析】【解答】（1）上述的一组数是负数的有：，−200，−5.22，−0.01，−10，−24，一共有6个，所以小王的座位号是6；正整数有：6，300，一共有2个，所以小李的座位号是2；（2）2×6+4×2=20（人）.
【分析】根据负数和正整数的特点找出这些数，算出这个数即可.
18. 根据下面给出的数轴，解答下面的问题：
（1）请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数．
（2）请问A，B两点之间的距离是多少？
（3）在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A，B的其它字母表示），并写出这些点表示的数．
 
【答案】解：（1）根据所给图形可知A：1，B：﹣2.5；
（2）依题意得：AB之间的距离为：1+2.5=3.5；
（3）
设这两点为C、D，
则这两点为C：1﹣2=﹣1，D：1+2=3．
【考点】数轴
【解析】【分析】（1）读出数轴上的点表示的数值即可；
（2）两点的距离，即两点表示的数的绝对值之和；
（3）与点A的距离为2的点有两个，一个向左，一个向右．
【探究篇】
19. 已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10，10，动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示点P与A的距离：PA=　4t　；点P对应的数是　﹣24+4t　；
（2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，若P、Q同时出发，求：当点P运动多少秒时，点P和点Q间的距离为8个单位长度？
【解答】解：（1）PA=4t；点P对应的数是﹣24+4t；
故答案为：4t；﹣24+4t；
（2）分两种情况：
当点P在Q的左边：4t+8=14+t，
解得：t=2；
当点P在Q的右边：4t=14+t+8，
解得：t=，
综上所述：当点P运动2秒或秒时，点P和点Q间的距离为8个单位长度．
20. 已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数－26，－10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=________，PC=_____________
（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，当点P运动到点C时，P、Q两点运动停止，
①当P、Q两点运动停止时，求点P和点Q的距离；
②求当t为何值时P、Q两点恰好在途中相遇。
【解析】解：（1）t  ；  36-t  
（2）① 10-（-10）=20
20÷1=20
10-（-26）=36
3×20-36=24   
②Q返回前相遇：3（t-16）=t
解得t=24   
Q返回后相遇：3（t-16）+t=36×2
解得t=30 .
【考点】数轴及有理数在数轴上的表示，相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】
（1）根据两点间的距离，可得P到点A和点C的距离；
（2）①根据两点运动的速度和距离之间的关系，可以求出PQ两点间的距离；
②分为返回前相遇和返回后相遇两种情况：返回前相遇，P的路程等于Q的路程减去16；而返回后相遇，则是二者走的总路程是Q到C的路程的2倍，分别列式子可求.