备战中考初中数学导练学案50讲—第09讲一元二次方程及其应用（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第09讲 一元二次方程及其应用
【疑难点拨】
1.一元二次方程易误易混辨析：误区一：忽视一元二次方程的一般形式，易出现将常数项写成1的错误，原因是没将方程化为一元二次方程的一般形式，另外，不用忽视各项系数的符合.误区二：在解答过程中忽略条件，本题易出现答案为的错误，原因是忽略了二次项系数不为0这一隐含条件.因此，在解答一元二次方程中所含字母的值时，一定要保证二次项系数不为0，从而避免出错.
2. 一元二次方程的解法：
（1）配方法：由本方程的特点可知其不适合用因式分解法来解，用公式法也较繁琐，适合用配方法来解；
（2）公式法：由题目的特点可知本题适宜用公式法来解；
（3）因式分解法：适合用因式分解法来解；
解一元二次方程关键是方法的选择。当一个方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时则适合用配方法；当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积右边是0的形式时就可利用因式分解法来解。在上述两种方法都很难求解的情况下可考虑利用公式法求解。注意用公式法求解时，应先将方程化成一般形式ax2+bx+c=0，再确定a、b、c的值，同时还应明确其使用的前提是b2-4ac≥0.
3.列一元二次方程解应用题的一般步骤是：(1)审题．分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系． (2)设未知数．一般采取直接设法，有的要间接设．(3)列出方程．要注意方程两边的数量相等．方程两边的代数式的单位相同．(4)解方程．应注意一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．
4.、掌握常见相关问题的数量关系及其表示方法：
(1)三连续整数：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－1，x＋1．三连续偶数(奇数)：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－2，x＋2．
(2)三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，则这个三位数为100a＋10b＋c．
（3）增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a(1＋x)，二次增长后的值为a(1＋x)2．　降低率问题：若基数为a，降低率为x，则一次降低后的值为a(1－x)，二次降低后的值为a(1－x)2．
（4）三角形、梯形、特殊的平行四边形的面积公式也是列一元二次方程的依据。
【基础篇】
一、选择题：
1. 用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（　　）
A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．1，3，1
2. 已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根，则p的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
3. 九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　）
A．x（x﹣1）=28 B．x（x﹣1）=28 C．2x（x﹣1）=28 D．x（x+1）=28
4. （2018•山东菏泽•3分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣1
5. （2018•安徽•4分） 据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%假定2018年的平均增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
6. ．（2018年四川省南充市）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为　 　．
7. （2018年四川省内江市）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是　 　．
8. （2018年四川省内江市）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为　．
三、解答与计算题：
9. （2018•四川成都•6分）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围.







10. （2018•湖北黄石•8分）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．






【能力篇】
一、选择题：
11. 已知a、b、c是的三边长，且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0的两根相等，则为 .
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
12. （2018年江苏省泰州市•3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
13. （2018·山东潍坊·3分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D ．不存在
二、填空题：
14. （2018·四川自贡·4分）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为　 　．
15. （2018•湖北黄冈•3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.
三、解答与计算题：
16. （2018·广西梧州·6分）解方程：2x2﹣4x﹣30=0．





17. （2018·湖北省孝感·9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）．
（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求p的值．



18. 观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：x2+x=0；
第2个方程：x2﹣1=0；
第3个方程：x2﹣x﹣2=0；
第4个方程：x2﹣2x﹣3=0；
…
（1）第2018个方程是　 　；
（2）直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；
（3）请说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．




【探究篇】
19. （2018·湖北省宜昌·10分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．
（1）求n的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．
20. （2018·广东广州·14分）已知抛物线 。
（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点。
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在圆P上。①试判断：不论m取任何正数，圆P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标，若不是，说明理由；
②若点C关于直线 的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为，圆P的半径记为，求 的值。













第09讲 一元二次方程及其应用
【疑难点拨】
1.一元二次方程易误易混辨析：误区一：忽视一元二次方程的一般形式，易出现将常数项写成1的错误，原因是没将方程化为一元二次方程的一般形式，另外，不用忽视各项系数的符合.误区二：在解答过程中忽略条件，本题易出现答案为的错误，原因是忽略了二次项系数不为0这一隐含条件.因此，在解答一元二次方程中所含字母的值时，一定要保证二次项系数不为0，从而避免出错.
2. 一元二次方程的解法：
（1）配方法：由本方程的特点可知其不适合用因式分解法来解，用公式法也较繁琐，适合用配方法来解；
（2）公式法：由题目的特点可知本题适宜用公式法来解；
（3）因式分解法：适合用因式分解法来解；
解一元二次方程关键是方法的选择。当一个方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时则适合用配方法；当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积右边是0的形式时就可利用因式分解法来解。在上述两种方法都很难求解的情况下可考虑利用公式法求解。注意用公式法求解时，应先将方程化成一般形式ax2+bx+c=0，再确定a、b、c的值，同时还应明确其使用的前提是b2-4ac≥0.
3.列一元二次方程解应用题的一般步骤是：(1)审题．分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系． (2)设未知数．一般采取直接设法，有的要间接设．(3)列出方程．要注意方程两边的数量相等．方程两边的代数式的单位相同．(4)解方程．应注意一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．
4.、掌握常见相关问题的数量关系及其表示方法：
(1)三连续整数：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－1，x＋1．三连续偶数(奇数)：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－2，x＋2．
(2)三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，则这个三位数为100a＋10b＋c．
（3）增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a(1＋x)，二次增长后的值为a(1＋x)2．　降低率问题：若基数为a，降低率为x，则一次降低后的值为a(1－x)，二次降低后的值为a(1－x)2．
（4）三角形、梯形、特殊的平行四边形的面积公式也是列一元二次方程的依据。
【基础篇】
一、选择题：
1. 用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（　　）
A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．1，3，1
【分析】将方程整理为一元二次方程的一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项即可．
【解答】解：将方程整理为一般形式为﹣x2+3x﹣1=0，
可得二次项系数a=﹣1，一次项系数b=3，常数项为﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，然后计算出根的判别式的值，当b2﹣4ac≥0时，将a，b及c的值代入求根公式可求出解．
2. 已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根，则p的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】
把x=1代入x2+px+1=0，即可求得p的值.
【详解】
把x=1代入把x=1代入x2+px+1=0，得
1+p+1=0，∴p=-2.故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键.
3. 九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　）
A．x（x﹣1）=28 B．x（x﹣1）=28 C．2x（x﹣1）=28 D．x（x+1）=28
【分析】
赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方程求解．
【详解】
设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛，
故x（x-1）=28．故选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键。
4. （2018•山东菏泽•3分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣1
【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0且k≠﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
5. （2018•安徽•4分） 据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%假定2018年的平均增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据题意可知2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a万件，2018年我省有效发明专利数为（1+22.1%）•（1+22.1%）a，由此即可得.
【详解】由题意得：2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a万件，
2018年我省有效发明专利数为（1+22.1%）•（1+22.1%）a万件，即b=（1+22.1%）2a万件，故选B.
【点睛】本题考查了增长率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的关键.
二、填空题：
6. ．（2018年四川省南充市）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为　﹣　．
【考点】A3：一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2n代入方程得到x2﹣2mx+2n=0，然后把等式两边除以n即可．
【解答】解：∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，
∴4n2﹣4mn+2n=0，
∴4n﹣4m+2=0，
∴m﹣n=﹣．
故答案是：﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7. （2018年四川省内江市）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是　k≥﹣4　．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，
∴△=42﹣4×1×（﹣k）=16+4k≥0，
解得：k≥﹣4．
故答案为：k≥﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
8. （2018年四川省内江市）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为　1　．
【考点】AB：根与系数的关系；A9：换元法解一元二次方程．
【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4，
∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=1，t2=2，
∴t1+t2=3，
∴x3+x4+2=3
故答案为：1
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
三、解答与计算题：
9. （2018•四川成都•6分）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求的取值范围.
【答案】由题知： .原方程有两个不相等的实数根， ， .
【考点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】根据已知条件此方程有两个不相等的实数根，得出b2-ac＞0,解不等式求解即可。
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴+=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1或m=3
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
10. （2018•湖北黄石•8分）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可．
【解答】解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，
解得：m＜1，
即实数m的取值范围是m＜1；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，
即，
解得：x1=2，x2=0，
由根与系数的关系得：m=2×0=0．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键．
【能力篇】
一、选择题：
11. 已知a、b、c是的三边长，且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0的两根相等，则为 .
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
【分析】方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0的两根相等，即鈻?0，结合直角三角形的判定和性质确定三角形的形状．
【详解】
原方程整理得(a+c)x2+2bx+a-c=0，
因为两根相等，
所以鈻?b2-4ac=(2b)2-4脳(a+c)脳(a-c)=4b2+4c2-4a2=0，
即b2+c2=a2，
所以是直角三角形，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，熟练掌握根的判别式是解题的关键.
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△