备战中考数学一轮总复习达标检测题 图形与变换统计与概率

这是一份备战中考数学一轮总复习达标检测题 图形与变换统计与概率，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
备战中考数学一轮总复习达标检测题 图形与变换统计与概率
（时限120分钟 满分120分）
一、单选题（每小题3分，共15题；共45分）
1. （2018凉山州）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）


2. .(2018·武汉)将正整数1至2018按一定规律排列如下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
……







平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是( )
A．2019 B．2018 C．2016 D．2013

3 （2018常州）下列命题中，假命题是（ ）
A．一组对边相等的四边形是平行四边形 B．三个角是直角的四边形是矩形
C．四边相等的四边形是菱形 D．有一个角是直角的菱形是正方形

4(2018•桂林) 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在CD的边上，且DM＝1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（ ）

A．3 B． C． D．

5（2018宜昌）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A、B、C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）

A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）

6（2018陕西）若直线l1经过点（0，4），l2经过点（3，2），且l1与l2的关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（ ）
A．（－2，0） B．（2，0） C．（－6，0） D．（6，0）

7（2018南宁）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则cos∠ADF的值为（ ）

A． B． C． D．

8（2018·成都）如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（ ）

A．极差是8℃ B．众数是28℃ C.中位数是24℃ D．平均数是26℃

9（2018·扬州）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分
D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则该日气温的极差是5℃

10（2018泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8

11. (2018·南京) 某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大

12（2018怀化）下列几何体中，其主视图为三角形的是（ ）

A. B. C. D.

13（2018聊城） 小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．

14.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB=3，则菱形AECF的面积为（   ）

A. 1 B. C. D.4

15(2018自贡)从－1、2、3、－6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点(m，n)在函数y＝图象上的概率是（   ）
A． B． C． D．

二、填空题（每小题3分，共5题；共15分）
16“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是________．


17. （2018·黄冈）在－4、－2、1、2四个数中，随机取两个数分别作为函数y＝ax2＋bx＋1中a、b的值，则该二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为 ．

18(2018·沈阳)一组数3，4，7，4，3，4，5，6，5的众数是____________

19（2018•日照） 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是 ．


20（2018随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为______．



三、解答题（第21题6分,第22题,23题每题各7分,第24至27题每题各10分,共60分）
21(2018安徽)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)．画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B2．画出线段A2B2；
（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是________个平方单位．



22（2018泰州）某软件科技公司20人负责研发与维护游戏、网购、视频和送餐共4款软件.投入市场后，游戏软件的利润占这4款软件总利润的.下图是这4款软件研发与维护人数的扇形统计图和利润的条形统计图.


根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出图中、的值；
（2）分别求网购与视频软件的人均利润；
（3）在总人数和各款软件人均利润都保持不变的情况下，能否只调整网购与视频软件的研发与维护人数，使总利润增加60万元？如果能，写出调整方案；如果不能，请说明理由.


23（2018十堰）今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩（s）
频数（人数）
A
90＜s≤100
4
B
80＜s≤90
x
C
70＜s≤80
16
D
s≤70
6


根据以上信息，解答以下问题
（1）表中的x＝ ；
（2）扇形统计图中m＝ ，n＝ ，C等级对应的扇形的圆心角为 ；
（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a1，a2表示）和两名女生（用b1，b2表示）请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．






24 （2017•河南）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．




25（2018·成都）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A′，B′），射线C A′，CB′分别交直线m于点P，Q.
（1）如图1，当P与A′重合时，求∠AC A′的度数；
（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；
（3）在旋转过程时，当点P，Q分别在C A′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA′B′Q的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由.





26如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，另一直角三角板HDG绕直角顶点D自A点开始逆时针旋转，DG交AC于Q,当Q与A重合时，停止旋转，DH交AB于P，过D作DE⊥BC交边AC于点E。
（1）当点P在射线AB上运动时，CQ的最小值是多少？；
（2）若BP＝2，求CQ的长；连PQ，tan∠QPD的值是否变化？若不变，请求其值，若变化，说明理由
(3)设线段PQ与线段DE的交点为F,若⊿PDF为等腰三角形，求BP长
H
图2
A
B
D
C
G
Q
E
P
A
B
C
G
H
Q
E
D
图1
(P)








27（2018襄阳）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为______；
（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝______．














备战中考数学一轮总复习达标检测题 图形与变换统计与概率答案
（时限120分钟 满分120分）
一、单选题（每小题3分，共15题；共45分）
1. （2018凉山州）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

【解答】解：D
2. .(2018·武汉)将正整数1至2018按一定规律排列如下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
……







平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是( )
A．2019 B．2018 C．2016 D．2013
【解答】解：D
3 （2018常州）下列命题中，假命题是（ ）
A．一组对边相等的四边形是平行四边形 B．三个角是直角的四边形是矩形
C．四边相等的四边形是菱形 D．有一个角是直角的菱形是正方形
【解答】解：A
4(2018•桂林) 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在CD的边上，且DM＝1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（ ）

A．3 B． C． D．
【解答】解：C
5（2018宜昌）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A、B、C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（ ）

A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）
【解答】解：A
6（2018陕西）若直线l1经过点（0，4），l2经过点（3，2），且l1与l2的关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（ ）
A．（－2，0） B．（2，0） C．（－6，0） D．（6，0）
【解答】解：B
7（2018南宁）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则cos∠ADF的值为（ ）

A． B． C． D．
【解答】解：C

8（2018·成都）如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（ ）

A．极差是8℃ B．众数是28℃ C.中位数是24℃ D．平均数是26℃
【解答】解：B

9（2018·扬州）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分
D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则该日气温的极差是5℃
【解答】解：B
10（2018泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8
【解答】解：C
11. (2018·南京) 某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
【解答】解：A
12（2018怀化）下列几何体中，其主视图为三角形的是（ ）

A. B. C. D.
【解答】解：A
13（2018聊城） 小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：B
14.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB=3，则菱形AECF的面积为（   ）

A. 1 B. C. D.4
【解答】解：C
15(2018自贡)从－1、2、3、－6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点(m，n)在函数y＝图象上的概率是（   ）
A． B． C． D．
【解答】解：B
二、填空题（每小题3分，共5题；共15分）
16“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是________．

【解答】解：
17. （2018·黄冈）在－4、－2、1、2四个数中，随机取两个数分别作为函数y＝ax2＋bx＋1中a、b的值，则该二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为 ．
【解答】解：
18(2018·沈阳)一组数3，4，7，4，3，4，5，6，5的众数是____________
【解答】解：4
19（2018•日照） 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是 ．

【解答】解：4πcm2
20（2018随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为______．

【解答】解：（，－） (提示: 延长BA与y轴相交于点D，连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥y轴，垂足为点E)

三、解答题（第21题6分,第22题,23题每题各7分,第24至27题每题各10分,共60分）
21(2018安徽)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)．画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B2．画出线段A2B2；
（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是________个平方单位．

【解答】解：（1）（2）如下图所示：（3）四边形AA1B1A2的面积是：＝20．或者先判断四边形AA1B1A2是正方形，求得边长为2，再根据正方形的面积求得＝20．


22（2018泰州）某软件科技公司20人负责研发与维护游戏、网购、视频和送餐共4款软件.投入市场后，游戏软件的利润占这4款软件总利润的.下图是这4款软件研发与维护人数的扇形统计图和利润的条形统计图.


根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出图中、的值；
（2）分别求网购与视频软件的人均利润；
（3）在总人数和各款软件人均利润都保持不变的情况下，能否只调整网购与视频软件的研发与维护人数，使总利润增加60万元？如果能，写出调整方案；如果不能，请说明理由.
【解答】解：（1）a=20，m=960；
（2）网购=960÷（20×30%）=160，视频=560÷（20×20%）=140，∴网购与视频软件的人均利润分别为160万元、140万元；
（3）能，设网购人员增加x人，则视频人员减少x人，由题知160（6+x）+140(4-x)=960+560+60，解得x=3，∴调整方案为：网购人员增加3人，视频人员减少3人.

23（2018十堰）今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩（s）
频数（人数）
A
90＜s≤100
4
B
80＜s≤90
x
C
70＜s≤80
16
D
s≤70
6


根据以上信息，解答以下问题
（1）表中的x＝ ；
（2）扇形统计图中m＝ ，n＝ ，C等级对应的扇形的圆心角为 ；
（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a1，a2表示）和两名女生（用b1，b2表示）请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．
【解答】解：（1）∵被调查的学生总人数为6÷15%＝40人，∴x＝40－（4＋16＋6）＝14，故答案为：14；
（2）∵m%＝40(4)×100%＝10%，n%＝40(16)×100%＝40%，∴m＝10，n＝40，C等级对应的扇形的圆心角为360°×40%＝144°，故答案为：10、40、144；
（3）列表如下：

a1
a2
b1
b2
a1

a2，a1
b1，a1
b2，a1
a2
a1，a2

b1，a2
b2，a2
b1
a1，b1
a2，b1

b2，b1
b2
a1，b2
a2，b2
b1，b2

由表可知共有12种等可能结果，其中恰好选取的是a1和b1的有2种结果，∴恰好选取的是a1和b1的概率为12(2)＝6(1)．

24 （2017•河南）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．

【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN=BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，
故答案为：PM=PN，PM⊥PN，
（2）解：由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形
（3）解：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，
在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，∴MN最大=2 +5 =7，
∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2=．

25（2018·成都）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A′，B′），射线C A′，CB′分别交直线m于点P，Q.
（1）如图1，当P与A′重合时，求∠AC A′的度数；
（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；
（3）在旋转过程时，当点P，Q分别在C A′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA′B′Q的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=，AC=2，由勾股定理，得BC=3.由旋转的性质，得AC=A′C=2.
∵∠ACB=90°，m∥AC，∴∠A′BC+∠ACB=180°，∴∠A′BC =90°.在Rt△A′BC中，cos∠A′CB==，∴∠A′CB=30°.∴∠AC A′=90°－30°=60°.
（2）∵M为A′B′的中点，∴∠A′CM=∠MA′C.由旋转的性质，得∠MA′C=∠A，∴∠A=∠A′CM.
，.∵∠BQC+∠BCQ=90°，∠PCB+∠BCQ=90°，∴∠BQC=∠PCB.在Rt△CBQ中，tan∠BQC=tan∠PCB=，∴=，∴BQ=2.∴PQ=PB+BQ=+2=.
（3）∵S四边形PA′B′Q==.∴S四边形PA′B′Q 最小，即最小.取PQ中点G，由∠PCQ=90°，∴CG=PQ.当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小.∴CG最小值=，PQ最小值=2.∴的最小值=××2=3.∴S四边形PA′B′Q的最小值=.




26如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，另一直角三角板HDG绕直角顶点D自A点开始逆时针旋转，DG交AC于Q,当Q与A重合时，停止旋转，DH交AB于P，过D作DE⊥BC交边AC于点E。
（1）当点P在射线AB上运动时，CQ的最小值是多少？；
（2）若BP＝2，求CQ的长；连PQ，tan∠QPD的值是否变化？若不变，请求其值，若变化，说明理由
(3)设线段PQ与线段DE的交点为F,若⊿PDF为等腰三角形，求BP长
H
图2
A
B
D
C
G
Q
E
P
A
B
C
G
H
Q
E
D
图1
(P)

【解答】解：（1）因为CQ=AC-AQ＝8－AQ，而∠HDC＝90°，Q从A向C的运动中，AQ逐渐变大，当运动大DH过A点（即P与A重合时），AQ最大，此时CQ最小（叙述合理即可）
此时， 在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．
又因为D为BC中点，所以PD=AD=DC=5,则有∠C＝∠PDC,所,
作DO⊥AC,垂足为O，PO=AO=AD因为PD⊥DQ, ,易得,则可求得CQ最小值为8－
（2）在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．
过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．
①当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时．所以．
②当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时．所以．由△PDM∽△QDN，可得
在Rt△PDQ中,
所以tan∠QPD的值是不会变化
（3）在Rt△PDQ中，．在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．
①当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1．此时．所以．
②当QC＝QD时，由，可得．所以QN＝CN－CQ＝．
此时．所以．
③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ
解法二：可过M,N分别作BC的垂线，对照评分点评分。其中求PB时也可倍长中线获解。
A
B
C
G
H
Q
E
D
备用图1
(P)
O
H
备用图2
A
B
D
C
G
Q
E
P
M
F
N

27（2018襄阳）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为______；
（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝______．


【解答】解：（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°．∵GE⊥BC，GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°．∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°．∴EG＝EC．∴四边形CEGF是正方形．②＝．
（2）连接CG，由旋转性质可知∠BCE＝∠ACG＝α．在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝，＝cos45°＝．∴＝＝．∴△ACG∽△BCE．∴＝＝．∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE．
（3）连接DF，由（2）知△BCE∽△ACG，∴∠BEC＝∠AGC．∵四边形CEGF是正方形，∴∠CEF＝∠CFE＝∠CGF＝ 45°，CG⊥EF．∵∠BEC＝180°－∠CEF＝135°，∴∠AGC＝135°．∴∠AGC＋∠CGF＝135°＋45°＝180°．∴A，G，F三点在一条直线上．又∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCE＝∠DCF．而BC＝DC，EC＝FC，∴△BEC≌△DFC（SAS）．∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFC．∵＝，AG＝6，∴BE＝DF＝3．∵∠BEC＝135°，∠CFE＝45°，∴∠BFD＝∠DFC－∠CFE＝135°－45°＝90°．又CH⊥BF，∴CH∥DF．∴△AGH∽△AFD．∴＝＝．∴＝＝．∴GF＝3，＝．设AH＝2x，则AD＝3x，DH＝x．又由正方形ABCD和正方形CEGF，知AD＝CD＝3x，GC＝GF＝3，∴在Rt△CDH中，由DH2＋CD2＝CH2，得x2＋(3x)2＝(2＋3)2，解得x1＝，x2＝－（不合题意，舍去）．∴AD＝3，即BC＝3．故答案为3．