平行四边形2学案（无答案）

平行四边形判定（1）

课堂目标：

1．经历探索平行四边形条件的过程，会利用定理判定四边形是平行四边形；

2．在探索平行四边形条件的过程中能够进行有条理的思考并进行简单的推理；

3．经历操作、探索、合作、交流等活动，营造和谐、平等的学习氛围．

课堂导入：

（1）回忆平行四边形的概念；

（2）探索活动一：

在方格纸上画两条互相平行并且相等的线段AD、BC，连接AB、DC．

你能证明所画四边形ABCD是平行四边形吗？

已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝BC．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：连接AC.

∵AD∥BC，

∴∠BCA=∠DAC.

在ΔBCA和ΔDAC中，

CB=AD，

∠BCA=∠DAC，

CA=AC，

∴ ΔBCA≌ΔDAC

∴ ∠BAC= ∠DCA.

∴ AB∥CD.

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.

定理：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

几何语言：

∵AD//BC，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

探索活动二：

在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC．四边形ABCD是平行四边形吗？证明你的结论．

证明：连结AC

在△ABC和△CDA中

AB=CD（已知）

AD=CB （已知）

AC=CA （公共边）

∴△ABC≌△CDA（SSS）

∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形的对应角相等）

∴ AB∥CD，AD∥BC （内错角相等，两直线平行）

∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)

定理：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

几何语言：

∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

知识结构：

定理一：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

几何语言：

∵AD//BC，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

定理二：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

几何语言：

∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

典例精讲：

例题3：

已知：如图，在□ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．

求证：四边形BFDE是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC（平行四边形的对边平行且相等）.

∵AE=CF，

∴AD-AE=BC-CF，

即 DE=BF.

∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

练习：

拓展延伸

如图，在□ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F，求证：四边形AECF是平行四边形．

例题2、如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

（1）求证：BE=DF；

（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．

分析：（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF即可得到BE=DF；

（2）根据平行四边形的判定方法：有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形判定四边形MENF的形状．

解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），

∴BE=DF；

（2）四边形MENF是平行四边形．

证明：有（1）可知：BE=DF，

∵四边形ABCD为平行四边行，

∴AD∥BC，

∴∠MDB=MBD，

∵DM=BN，

∴△DNF≌△BNE，

∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，

∴∠MFE=∠NEF，

∴MF∥NE，

∴四边形MENF是平行四边形．

平行四边形判定（2）

课堂导入：

操作思考

画两条相交直线a、b，设交点为O．在直线a上截取OA＝OC，在直线b上截取OB＝OD，连接AB、BC、CD、DA．

你能证明所画的四边形ABCD是平行四边形吗？

合作探究

如图，直线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：在ΔAOB和ΔCOD中，

OA=OC，

∠AOB=∠COD，

OB=OD，

∴ ΔAOB≌ΔCOD

∴AB=CD.

同理AD=CB

∴四边形ABCD是平行四边形

（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.

定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

几何语言：

∵OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

知识结构：

定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

几何语言：

∵OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

典例精讲：

例题1、

已知：如图，在□ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．

求证：四边形EBFD是平行四边形．

证明：连接BD，BD交AC于点O.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）.

∵AE=CF，

∴OA-AE=OC-CF，

即OE=OF.

∴四边形EBFD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

思考：例题1你还有其他方法证明吗？

证明：∵OA=OC，AE=CF，

∴OA-AE=OC-CF，

即OE=OF.

在ΔBOE和ΔDOF中，

OE=OF，

∠BOE=∠DOF，

OB=OD，

∴ΔBOE≌ΔDOF（SAS），

∴BE=DF.

同理BF=DE.

∴四边形EBFD是平行四边形.

让学生初步接触反证法．

引导学生独立思考，自主探究，并通过合作交流，完善说理，学会有条理的表达．

讨论交流

如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形．试证明这个结论．

证明：

  假设四边形ABCD是平行四边形，

   那么OA=OC，OB=OD，

这与条件OB≠OD矛盾.

所以四边形ABCD不是平行四边形

我们在以上的证明中，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因为命题的结论成立.这样证明的方法称为反证法.

练习：

如图，□ABCD的对角线相交于点O，直线EF过点O分别交BC，AD于点E、F，G、H分别为OB，OD的中点，求证：四边形GEHF是平行四边形．

例题：如图1，四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是__，理由是__

 如图2，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE=EF，AE=EC，DE∥BC则四边形ADCF是__，理由是__，四边形BCFD是__，理由是___

分析： 判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条件出发，具体问题具体分析：(1)根据平行四边形的性质可得AD平行且等于BC，BC平行且等于EF，从而得AD平行且等于EF，由判定定理4可得．(2)由AE=EC，DE=EF，由判定定理3可得四边形ADCF是平行四边形，从而得AD∥CF即BD∥CF，再由条件，可得四边形BCFD是平行四边形．

解： (1)平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

(2)平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

平行四边形的定义(两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法．因此，不要把最基本的定义忘记了。

 平行四边形综合

课堂导入：

回忆：1．平行四边形有哪些性质？

2．判别四边形是平行四边形的条件有哪些？

知识结构：

性质：按边、角、对角线三方面分类记忆．

平行四边形的性质

补：由“平行四边形两组对边分别相等”的性质，可推出下面的推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．

2．判定方法：同样按边、角、对角线三方面分类记忆．

边 

角：两组对角分别相等

对角线：对角线互相平分

典例精讲：

例1、

能判断一个四边形是平行四边形的为（     ）

A．一组对边平行，另一组对边相等 

B．一组对边平行，一组对角相等

C．一组对边平行，一组对角互补   

D．一组对边平行，两条对角线相等

例2、

如图，平行四边形ABCD中，∠C＝108°，BE平分∠ABC，则∠ABE＝（     ）．

（A）18°（B）36°（C）72°（D）108°

例3、

3. 下列特征中，平行四边形不一定具有的是（    ）

 A．邻角互补  B．对角互补  C．对角相等    D．内角和为360°

例4、

（1）△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，延长DE到F，使EF=DE，AB=12，BC=10，则四边形BCFD的周长为        。

（2）已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是BA、DC上的点，且AE∥CF，交BC、AD于点G、H。试说明：EG=FH

练习：

如图：▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AM∥QC，AP∥NC．

又∵MN∥AC，

∴四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形．

∴AC=MQ AC=NP．

∴MQ=NP．

例5、

如图，▱ABCD中，EF∥AD, MN∥AB, MN与EF交于点P，且点P在BD上.

⑴图中除了▱ABCD外，还有         个平行四边形.

⑵图中面积相等的平行四边形有哪些？你能说明其中的原因吗？

课后作业

1、已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．

答案：1、证明：∵▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，

∴OB=OD，

又∵四边形AODE是平行四边形，

∴AE∥OD且AE=OD，

∴AE∥OB且AE=OB，

∴四边形ABOE是平行四边形，

同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．

2、如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；

证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，

∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．

∴∠CBA=∠FBE．

∴△ABC≌△EBF．

∴EF=AC．

又∵△ADC为等边三角形，

∴CD=AD=AC．

∴EF=AD．

同理可得AE=DF．

∴四边形AEFD是平行四边形．

3、如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．

3、解：四边形AFED是平行四边形．

证明如下：

在△BED与△BCA中，BE=BC，BD=BA（均为同一等边三角形的边）

∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA

∴△BED≌△BCA（SAS）

∴DE=AC

又∵AC=AF∴DE=AF

在△CBA与△CEF中，CB=CE，CA=CF

∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE

∴△CBA≌△CEF（SAS）

∴BA=EF

又∵BA=DA，∴DA=EF

故四边形AFED为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．