二次函数与几何综合（习题及部分答案）

二次函数与几何综合（习题）例题示范例 1：如图，抛物线 y=ax2+2ax-3a 与 x 轴交于 A，B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 OA=OC，连接 AC．（1）求抛物线的解析式．（2）若点 P 是直线 AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值．yAO B xC（3）若点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 F， 使以 A，B，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求出所有满足条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母 a，可以求解 A(-3，0)，B(1，0)，对称轴为直线 x=-1；结合题中给出的 OA=OC，可得 C(0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式．再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形．【过程示范】解：（1）由 y=ax2+2ax-3a=a(x+3)(x-1)可知 A(-3，0)，B(1，0)，∵OA=OC，∴C(0，-3)，将 C(0，-3)代入 y=ax2+2ax-3a， 解得，a=1，∴y=x2+2x-3．第二问：铅垂法求面积【思路分析】（1）整合信息，分析特征：由所求的目标入手分析，目标为 S△ACP 的最大值，分析 A，C为定点，P 为动点且 P 在直线 AC 下方的抛物线上运动，即-3＜xP＜0；（2）设计方案：yAQO B xPC注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达 S△ACP．第三问：平行四边形的存在性【思路分析】 分析不变特征：以 A，B，E，F 为顶点的四边形中，A，B 为定点，E，F 为动点，定点 A，B 连接成为定线段 AB．分析形成因素：要使这个四边形为平行四边形．首先考虑 AB 在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则 AB 既可以作边，也可以作对角线．画图求解：先根据平行四边形的判定来确定 EF 和 AB 之间应满足的条件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．①AB 作为边时，依据平行四边形的判定，需满足 EF∥AB 且EF=AB，要找 EF，可借助平移．点 E 在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段 AB 拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点E 在对称轴上，来找抛物线上的点 F．注意：在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上 E 点坐标，利用平行且相等表达抛物线上 F 点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB 作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足 AB，EF 互相平分，先找到定线段 AB 的中点，在旋转过程中找到结果验证：(yF2E1 E2)F1AO BCxEF 恰好被 AB 中点平分的位置，因为 E 和 AB 中点都在抛物线对称轴上，说明 EF 所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为 F 点坐标．画图或推理，根据运动范围考虑是否找全各种情形．【过程示范】（3）①当 AB 为边时，AB∥EF 且 AB=EF， 如图所示，设 E 点坐标为(-1，m)，当四边形是□ABFE 时，由 A(-3，0)，B(1，0)可知，F1(3，m)， 代入抛物线解析式，可得，m=12，∴F1(3，12)；yE3DA O BCF3x当四边形是□ABEF 时，由 A(-3，0)，B(1，0)可知，F2(-5，m)， 代入抛物线解析式，可得，m=12，∴F2(-5，12)．②当 AB 为对角线时，AB 与 EF 互相平分，AB 的中点 D(-1，0)，设 E(-1，m)，则 F(-1，-m)，代入抛物线解析式，可得，m=4，∴F3(-1，-4)．综上：F1(3，12)，F2(-5，12)，F3(-1，-4)．巩固练习如图，直线 y   1 x 与抛物线 y   1 x2  6 交于 A，B 两点，2 4C 是抛物线的顶点．（1）在直线 AB 上方的抛物线上有一动点 P，当△ABP 的面积最大时，点 P 的坐标为 ．（2）若点 M 在抛物线上，且以点 M，A，B 以及另一点 N 为顶点的平行四边形 ABNM 的面积为 240，则 M，N 两点的坐标为 ．yCBOxAyCBOxA已知抛物线 y=-mx2+4x+2m 与 x 轴交于点 A(α，0)，B(β，0)，且 1  1  2 ．抛物线的对称轴为直线 l，与 y 轴的交点为点 C，顶点为点 D，点 C 关于 l 的对称点为点 E．（1）抛物线的解析式为 ．（2）连接 CD，在直线 CD 下方的抛物线上有一动点 G，当S△CDG=3，点 G 的坐标为 ．（3）若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以点 D，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，点 Q 的坐标为 ．ylDCEA OBxylDCEA OBx已知抛物线 y=ax2-4ax+b 的对称轴为直线 x=2，顶点为 P，与x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 A(1，0)，连接BC，PB，得到∠PBC=90°．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在异于点 P 的一点 Q，使△BCQ 与△BCP 的面积相等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在， 请说明理由．（3）若点 E 是抛物线上一动点，点 F 是 x 轴上一动点，是否存在以 B，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．yPABO xCyABO xC如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线 y=ax2-ax-b 与 y 轴交于点 D，且经过点 C，连接 AD，可得 AB=AD．（1）求抛物线的解析式．（2）平移该抛物线的对称轴所在直线 l．当 l 移动到何处时， 恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？ylBCOAxDylBOAx（3）点 P 是抛物线上一动点，点 Q 是抛物线对称轴 l 上一动点，是否存在点 P，使以 P，Q，A，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．5．如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠CDO＝∠OED，求点D的坐标；（3）当点D在直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由．6．已知关于二次函数y＝x2﹣（4k+2）x+4k2+3k的图象与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）若二次函数与x轴的两个交点坐标为（a，0），（b，0），并满足（a﹣b）2＝2，求k的值，并写出二次函数的表达式；（3）如图所示，由（2）所得的抛物线与一次函数y＝﹣3x+的图象相交于点C、点D，求三角形CDP的面积．7．如图1，二次函数y＝a（x2﹣x﹣6）（a≠0）的图象过点C（1，﹣），与x轴交于A，B两点（点A在x轴的负半轴上），且A，C两点关于正比例函数y＝kx（k≠0）的图象对称．（1）求二次函数与正比例函数的解析式；（2）如图2，过点B作BD⊥x轴交正比例函数图象于点D，连接AC，交正比例函数的图象于点E，连接AD，CD．如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连接PQ，QE，PE，设运动时间为t秒，是否存在某一刻，使PE，QE分别平分∠APQ和∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．8．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE＝∠EDA，求点E的坐标；（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．9．小明在学习时遇到这样一个问题：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y＝﹣x2+3x﹣2函数可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根据a1+a2＝0b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y＝﹣x2+mx﹣2与y＝x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2016的值；（3）已知函数y＝﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数”．10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式．（2）点P为抛物线上一动点，满足S△PBC＝S△ABC，求P点的坐标．（3）点D为抛物线对称轴上一点，若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标n的取值范围．12．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；（4）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．13．在平面直角坐标系xOy中，对于图形G，若存在一个正方形γ，这个正方形的某条边与x轴垂直，且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形γ为图形G的一个正覆盖．很显然，如果图形G存在一个正覆盖，则它的正覆益有无数个，我们将图形G的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形G为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形G的正覆盖，其中正方形ABCD就是图形G的紧覆盖．（1）对于半径为2的⊙O，它的紧覆盖的边长为　 　．（2）如图1，点P为直线y＝﹣2x+3上一动点，若线段OP的紧覆盖的边长为2，求点P的坐标．（3）如图2，直线y＝3x+3与x轴，y轴分别交于A，B，①以O为圆心，r为半径的⊙O与线段AB有公共点，且由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆益的边长小于4，直接写出r的取值范围；②若在抛物线y＝ax2+2ax﹣2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3，直接写出a的取值范围．14．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（n，1）（n＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、A′、C′三点．（1）求此抛物线的解析式（a、b、c可用含n的式子表示）；（2）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点D（x1，y1）、E（x2、y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点D和E的坐标；（3）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线CM对称，连接MQ′、PQ′，当△PMQ′与平行四边形APQM重合部分的面积是平行四边形的面积的时，求平行四边形APQM的面积．15．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣2分别与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线EF垂直平分线段BC，分别交BC于点E，y轴于点F，交x轴于D．（1）判定△ABC的形状；（2）在线段BC下方的抛物线上有一点P，当△BCP面积最大时，求点P的坐标及△BCP面积的最大值；（3）如图②，过点E作EH⊥x轴于点H，将△EHD绕点E逆时针旋转一个角度α（0°≤α≤90°），∠DEH的两边分别交线段BO，CO于点T，点K，当△KET为等腰三角形时，求此时KT的值．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+6．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段BC上方抛物线上的任意一点，连接MB，MC，点N为抛物线对称轴上任意一点，当M到直线BC的距离最大时，求点M的坐标及MN+NB的最小值；（3）在（2）中，点M到直线BC的距离最大时，连接OM交BC于点E，将原抛物线沿射线OM平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点M时，它的对称轴与x轴的交点记为H．将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B1O2E2，在平面内是否存在点F，使以点C，H，B1，F为顶点的四边形是以B1H为边的菱形．若存在，直接写出点B1的横坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】