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北京版四年级下册四 图形变换达标测试
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这是一份北京版四年级下册四 图形变换达标测试，共10页。
1.下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是 (B)
2.(2019·山东青岛)如图,将线段AB先向右平移5个单位,再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°,得到线段A'B',则点B的对应点B'的坐标是(D)
A.(-4,1)B.(-1,2)
C.(4,-1)D.(1,-2)
3.(2019·阜阳颍泉区模拟)如图,网格中的两个三角形是位似图形,它们的位似中心是(D)
A.点AB.点BC.点CD.点D
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为(C)
A.12B.6C.63D.62
【解析】连接B'B,∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,∴AC=A'C,CB=CB',∠A=60°,∴△AA'C是等边三角形,∴∠ACA'为60°,即旋转角为60°,∴∠BCB'=60°,∴△BCB'是等边三角形,∴B'B=BC=63.
5.如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020.如果点A的坐标为(1,0),那么点B2020的坐标为(A)
A.(-1,-1)B.(0,2)
C.(-2,0)D.(-1,1)
【解析】∵四边形OABC是正方形,且OA=1,∴B(1,1),连接OB,由勾股定理得OB=2,由旋转得OB=OB1=OB2=OB3=…=2,∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°,∴B1(0,2),B2(-1,1),B3(-2,0),…,发现是8次一循环.∵2020÷8=252……4,∴点B2020的坐标为(-1,-1).
6.如图,在△ABC中,AB=6 cm,BC=4 cm,AC=4 cm.将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3 cm,得到△FDE,则图中阴影部分的面积为 18 cm2.
【解析】由平移可得,DF=AB,DF∥AB,∴四边形ABDF是平行四边形.又由平移的方向,可得∠ABD=90°,∴四边形ABDF是矩形.由平移可得,△ABC≌△FDE,BD=3 cm,∴S△ABC=S△FDE,∴阴影部分的面积=矩形ABDF的面积=AB·BD=6×3=18(cm2).
7.(2019·六安九中模拟)如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点B落在AD边的点F处,折痕为CE.若∠D=70°,则∠ECF的度数是 35 °.
【解析】∵将菱形纸片ABCD折叠,使点B落在AD边上的点F处,∴∠BCE=∠FCE,BC=CF.∵四边形ABCD是菱形,∴BC∥AD,BC=CD,∴CF=CD,∴∠CFD=∠D=70°,∵BC∥AD,∴∠BCF=∠CFD=70°,∴∠ECF=35°.
8.如图,把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置,它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半.若BC=3,则△ABC移动的距离是 3-62 .
【解析】由平移的性质得AB∥EH,∴△CHE∽△CAB,∴ECBC2=S△EHCS△BAC=12,∴ECBC=22.∵BC=3,∴EC=3×22=62,∴平移距离BE=BC-EC=3-62.
9.(8分)正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC各顶点的位置如图所示.将△ABC平移,使点A移到点D,点E,F分别是B,C的对应点.
(1)画出平移后的△DEF;
(2)在AB上找一点P,连接CP,使得线段CP平分△ABC的面积;
(3)利用网格画△ABC的高BH.
解:(1)△DEF如图所示.
(2)如图,线段CP即为所求.
(3)取格点T作射线BT交AC于点H,线段BH即为所求.
10.(12分)如图,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C',使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上,连接AA'.
(1)判断四边形ACC'A'的形状,并说明理由;
(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=8,cs ∠BAC=45,求CB'的长.
解:(1)四边形ACC'A'是菱形.
理由:由平移的性质可得AA'=CC',且AA'∥CC',
∴四边形ACC'A'是平行四边形.
由AA'∥CC'得∠AA'C=∠A'CB',
由题意得CD平分∠ACB',
∴∠ACA'=∠A'CB',∴∠ACA'=∠AA'C,
∴AA'=AC,∴平行四边形ACC'A'是菱形.
(2)在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,
∴cs ∠BAC=ABAC=45,∴AC=10,
∴BC=AC2-AB2=102-82=6.
由平移的性质可得BC=B'C'=6,
由(1)得四边形ACC'A'是菱形,
∴AC=CC'=10,∴CB'=CC'-B'C'=10-6=4.
[名师预测]
1.如图,将一张正六边形纸片的阴影部分剪下,拼成一个四边形,若拼成的四边形的面积为2a,则纸片的剩余部分的面积为(B)
A.5aB.4aC.3aD.2a
【解析】如图,将正六边形分为6个全等的三角形,∵阴影部分的面积为2a,∴每一个三角形的面积为a,∵剩余部分可分割为4个三角形,∴剩余部分的面积为4a.
2.如图,四边形ABCD中,AB=6,BC=3,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°,则BD的长为(A)
A.9B.10C.43D.35
【解析】∵∠ACD=∠ADC=45°,∴AC=AD,∠DAC=90°,如图,将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△AEC,∴△ABD≌△AEC,∴AE=AB=6,∠BAE=90°,BD=CE,∴BE=62,∠ABE=∠AEB=45°.∵∠ABE+∠ABC=90°,∴EC=BE2+BC2=9,∴BD=9.
3.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,1),B(3,2),点C是x轴上任意一点,当CA+CB有最小值时,点C的横坐标是 1 .
【解析】作点A(0,1)关于x轴的对称点D,则D(0,-1),连接BD交x轴于点C,此时CA+CB有最小值.易得直线BD为y=x-1,当y=0时,x=1,即点C的横坐标是1.
4.有一张矩形纸片ABCD,已知AB=3,AD=2,小明按下图步骤折叠纸片,则线段DG的长为 2 .
【解析】根据题意,∵Rt△DAE≌Rt△DA'E,∴DA'=DA=2,CA'=DC-DA'=1.∵矩形A'EBC折叠到矩形A'EB'C',∴C'A'=CA'=1,∴DC'=C'A'=1,∵∠D=45°,∠DC'B'=90°,∴DG=2DC'=2.
5.已知△ABC的三个顶点为A(-1,-1),B(-1,3),C(-3,-3),将△ABC向右平移m(m>0)个单位后,△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=3x的图象上,则m的值为 0.5或4 .
【解析】设平移后的三角形为△A'B'C',其中A'(-1+m,-1),B'(-1+m,3),C'(-3+m,-3),∴A'B'的中点坐标为(-1+m,1),A'C'的中点坐标为(-2+m,-2),B'C'的中点坐标为(-2+m,0).当A'B'的中点落在反比例函数y=3x的图象上时,3=1×(-1+m),解得m=4;当A'C'的中点落在反比例函数y=3x的图象上时,3=-2×(-2+m),解得m=0.5;当B'C'的中点落在反比例函数y=3x的图象上时,3=0×(-2+m),方程无解.综上所述,m的值为0.5或4.
6.如图,请按要求在8×8的正方形网格中作图:
(1)请在图1中画一个钝角△ABC,使它有一边与该边上的高线长度相等;
(2)请在图2中画一个五边形ABCDE,使它是轴对称图形,且∠ABC=90°.
解:(1)如图所示(答案不唯一,合理即可).
(2)如图所示(答案不唯一,合理即可).
7.2 视图、投影、尺规作图学用P49
[过关演练] (30分钟 50分)
1.把一个正六棱柱如图摆放,光线由上向下照射,此时正六棱柱的正投影是(A)
2.如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的,则它的主视图是(B)
3.如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图是(B)
4.如图,一位同学用直尺和圆规作出了△ABC中BC边上的高AD,则一定有(C)
A.PA=PCB.PA=PQ
C.PQ=PCD.∠QPC=90°
【解析】由作法得AD垂直平分CQ,根据线段垂直平分线的性质得PQ=PC.
5.如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图,则组成这个几何体的小正方体的个数不可能是(D)
A.3B.4
C.5D.6
【解析】可判断出底面最少有2个,最多有4个小正方体,而第二层则只有1个小正方体,则这个几何体的小立方块可能有3或4或5个.
6.(2019·四川南充)如图是一个几何体的表面展开图,这个几何体是(C)
【解析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知,这个几何体是三棱柱.
7.如图,一个几何体上半部分为正四棱锥,下半部分为立方体,且有一个面涂有颜色,该几何体的表面展开图是(B)
【解析】注意涂有颜色的一个面不是底面.选项A和C涂有颜色的一个面是底面,不能折叠成原几何体的形式;选项B能折叠成原几何体的形式;选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同.
8.如图,在△ABC中,∠ABC=70°,按如下步骤作图:
第一步,以点A为圆心、BC长为半径作弧,再以点C为圆心、AB长为半径作弧,两弧交点记为D,连接AD,CD;
第二步,以点D为圆心、CD长为半径作弧,交AD于点E,连接CE.
则∠BCE的度数为 55 °.
9.(2019·合肥模拟)圆锥的主视图是底边长为12 cm,底边上的高为8 cm的等腰三角形,则该圆锥的表面积为 96π cm2.
【解析】底面积是π×(12÷2)2=36π(cm2),母线长是(12÷2)2+82=10(cm),则侧面积是π×(12÷2)×10=60π(cm2),表面积为36π+60π=96π(cm2).
10.(12分)如图,一位同学想利用树影测量树高(AB),他在某一时刻测得高为1 m的竹竿影长为0.9 m,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上(CD),他先测得留在墙上的影高(CD)为1.2 m,又测得地面部分的影长(BC)为2.7 m,则他测得的树高为多少?
解:延长AD,BC交于点E.
设墙上的影高CD落在地面上时的长度为x m,树高为h m,
∵某一时刻测得长为1 m的竹竿影长为0.9 m,墙上的影高CD为1.2 m,
∴10.9=1.2x,解得x=1.08,
∴树的影长为1.08+2.7=3.78(m),
∴10.9=h3.78,解得h=4.2.
答:他测得的树高为4.2 m.
[名师预测]
1.将一根圆柱形的空心钢管任意放置,它的主视图不可能是(A)
【解析】一根圆柱形的空心钢管不管怎么放置,它的三视图不可能是三角形,∴主视图不可能是A项.
2.如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.
步骤1:以点C为圆心、CA长为半径画弧①;
步骤2:以点B为圆心、BA长为半径画弧②,交弧①于点D;
步骤3:连接AD,交BC的延长线于点H.
下列叙述正确的是(A)
A.BH垂直平分线段AD
B.AC平分∠BAD
C.S△ABC=BC·AH
D.AB=AD
【解析】连接CD,BD,易知AC=CD,AB=BD,∴BH为线段AD的垂直平分线,选项A正确.对于选项B,C,D,由题中条件并不能证明.
3.在如图所示的几何体中,其三视图中有矩形的是 ①② .(写出所有正确答案的序号)
【解析】长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形;圆柱体的主视图、左视图是矩形,俯视图是圆;圆锥的主视图、左视图是等腰三角形,俯视图是含有圆心的圆.
4.某三棱柱的三视图如图所示,已知△EFG中,EF=8 cm,EG=12 cm,∠EFG=45°,则AB的长为 42 cm.
【解析】过点E作EQ⊥FG于点Q,由题意可得EQ=AB,∵EF=8 cm,∠EFG=45°,∴EQ=AB=22×8=42(cm).
5.如图,已知圆柱的底面半径为6 cm,高为10 cm,蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程是 21.3 cm .(精确到0.1 cm)
【解析】画出圆柱的侧面展开图如图,其中B是侧面展开图矩形长的中点,所以由勾股定理得AB2=102+(6π)2,解得AB≈21.3 cm,即蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是21.3 cm.
6.如图所示,一幢楼房AB背后有一个台阶CD,台阶每层高0.2米,且AC=17.2米,设太阳光线与水平地面的夹角为α,当α=60°时,测得楼房在地面上的影长AE=10米.现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳.
(1)求楼房的高度约为多少米?
(2)过了一会儿,当α=45°时,小猫 能 (填“能”或“不能”)晒到太阳.
(参考数据:3≈1.73)
解:(1)当α=60°时,在Rt△ABE中,
∵tan 60°=ABAE=AB10,
∴AB=10·tan 60°=103≈10×1.73=17.3(米).
∴楼房的高度约为17.3米.
(2)理由:假设没有台阶,当α=45°时,从点B射下的光线与地面AD的交点为F,与CM或其延长线的交点为H.
∵∠BFA=45°,∴tan 45°=ABAF=1,
此时的影长AF=AB=17.3米,
∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1(米),
∴CH=CF=0.1米,
∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上,
∴小猫能晒到太阳.
1.下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是 (B)
2.(2019·山东青岛)如图,将线段AB先向右平移5个单位,再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°,得到线段A'B',则点B的对应点B'的坐标是(D)
A.(-4,1)B.(-1,2)
C.(4,-1)D.(1,-2)
3.(2019·阜阳颍泉区模拟)如图,网格中的两个三角形是位似图形,它们的位似中心是(D)
A.点AB.点BC.点CD.点D
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为(C)
A.12B.6C.63D.62
【解析】连接B'B,∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,∴AC=A'C,CB=CB',∠A=60°,∴△AA'C是等边三角形,∴∠ACA'为60°,即旋转角为60°,∴∠BCB'=60°,∴△BCB'是等边三角形,∴B'B=BC=63.
5.如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020.如果点A的坐标为(1,0),那么点B2020的坐标为(A)
A.(-1,-1)B.(0,2)
C.(-2,0)D.(-1,1)
【解析】∵四边形OABC是正方形,且OA=1,∴B(1,1),连接OB,由勾股定理得OB=2,由旋转得OB=OB1=OB2=OB3=…=2,∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°,∴B1(0,2),B2(-1,1),B3(-2,0),…,发现是8次一循环.∵2020÷8=252……4,∴点B2020的坐标为(-1,-1).
6.如图,在△ABC中,AB=6 cm,BC=4 cm,AC=4 cm.将△ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3 cm,得到△FDE,则图中阴影部分的面积为 18 cm2.
【解析】由平移可得,DF=AB,DF∥AB,∴四边形ABDF是平行四边形.又由平移的方向,可得∠ABD=90°,∴四边形ABDF是矩形.由平移可得,△ABC≌△FDE,BD=3 cm,∴S△ABC=S△FDE,∴阴影部分的面积=矩形ABDF的面积=AB·BD=6×3=18(cm2).
7.(2019·六安九中模拟)如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点B落在AD边的点F处,折痕为CE.若∠D=70°,则∠ECF的度数是 35 °.
【解析】∵将菱形纸片ABCD折叠,使点B落在AD边上的点F处,∴∠BCE=∠FCE,BC=CF.∵四边形ABCD是菱形,∴BC∥AD,BC=CD,∴CF=CD,∴∠CFD=∠D=70°,∵BC∥AD,∴∠BCF=∠CFD=70°,∴∠ECF=35°.
8.如图,把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置,它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半.若BC=3,则△ABC移动的距离是 3-62 .
【解析】由平移的性质得AB∥EH,∴△CHE∽△CAB,∴ECBC2=S△EHCS△BAC=12,∴ECBC=22.∵BC=3,∴EC=3×22=62,∴平移距离BE=BC-EC=3-62.
9.(8分)正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC各顶点的位置如图所示.将△ABC平移,使点A移到点D,点E,F分别是B,C的对应点.
(1)画出平移后的△DEF;
(2)在AB上找一点P,连接CP,使得线段CP平分△ABC的面积;
(3)利用网格画△ABC的高BH.
解:(1)△DEF如图所示.
(2)如图,线段CP即为所求.
(3)取格点T作射线BT交AC于点H,线段BH即为所求.
10.(12分)如图,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C',使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上,连接AA'.
(1)判断四边形ACC'A'的形状,并说明理由;
(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=8,cs ∠BAC=45,求CB'的长.
解:(1)四边形ACC'A'是菱形.
理由:由平移的性质可得AA'=CC',且AA'∥CC',
∴四边形ACC'A'是平行四边形.
由AA'∥CC'得∠AA'C=∠A'CB',
由题意得CD平分∠ACB',
∴∠ACA'=∠A'CB',∴∠ACA'=∠AA'C,
∴AA'=AC,∴平行四边形ACC'A'是菱形.
(2)在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,
∴cs ∠BAC=ABAC=45,∴AC=10,
∴BC=AC2-AB2=102-82=6.
由平移的性质可得BC=B'C'=6,
由(1)得四边形ACC'A'是菱形,
∴AC=CC'=10,∴CB'=CC'-B'C'=10-6=4.
[名师预测]
1.如图,将一张正六边形纸片的阴影部分剪下,拼成一个四边形,若拼成的四边形的面积为2a,则纸片的剩余部分的面积为(B)
A.5aB.4aC.3aD.2a
【解析】如图,将正六边形分为6个全等的三角形,∵阴影部分的面积为2a,∴每一个三角形的面积为a,∵剩余部分可分割为4个三角形,∴剩余部分的面积为4a.
2.如图,四边形ABCD中,AB=6,BC=3,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°,则BD的长为(A)
A.9B.10C.43D.35
【解析】∵∠ACD=∠ADC=45°,∴AC=AD,∠DAC=90°,如图,将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△AEC,∴△ABD≌△AEC,∴AE=AB=6,∠BAE=90°,BD=CE,∴BE=62,∠ABE=∠AEB=45°.∵∠ABE+∠ABC=90°,∴EC=BE2+BC2=9,∴BD=9.
3.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,1),B(3,2),点C是x轴上任意一点,当CA+CB有最小值时,点C的横坐标是 1 .
【解析】作点A(0,1)关于x轴的对称点D,则D(0,-1),连接BD交x轴于点C,此时CA+CB有最小值.易得直线BD为y=x-1,当y=0时,x=1,即点C的横坐标是1.
4.有一张矩形纸片ABCD,已知AB=3,AD=2,小明按下图步骤折叠纸片,则线段DG的长为 2 .
【解析】根据题意,∵Rt△DAE≌Rt△DA'E,∴DA'=DA=2,CA'=DC-DA'=1.∵矩形A'EBC折叠到矩形A'EB'C',∴C'A'=CA'=1,∴DC'=C'A'=1,∵∠D=45°,∠DC'B'=90°,∴DG=2DC'=2.
5.已知△ABC的三个顶点为A(-1,-1),B(-1,3),C(-3,-3),将△ABC向右平移m(m>0)个单位后,△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=3x的图象上,则m的值为 0.5或4 .
【解析】设平移后的三角形为△A'B'C',其中A'(-1+m,-1),B'(-1+m,3),C'(-3+m,-3),∴A'B'的中点坐标为(-1+m,1),A'C'的中点坐标为(-2+m,-2),B'C'的中点坐标为(-2+m,0).当A'B'的中点落在反比例函数y=3x的图象上时,3=1×(-1+m),解得m=4;当A'C'的中点落在反比例函数y=3x的图象上时,3=-2×(-2+m),解得m=0.5;当B'C'的中点落在反比例函数y=3x的图象上时,3=0×(-2+m),方程无解.综上所述,m的值为0.5或4.
6.如图,请按要求在8×8的正方形网格中作图:
(1)请在图1中画一个钝角△ABC,使它有一边与该边上的高线长度相等;
(2)请在图2中画一个五边形ABCDE,使它是轴对称图形,且∠ABC=90°.
解:(1)如图所示(答案不唯一,合理即可).
(2)如图所示(答案不唯一,合理即可).
7.2 视图、投影、尺规作图学用P49
[过关演练] (30分钟 50分)
1.把一个正六棱柱如图摆放,光线由上向下照射,此时正六棱柱的正投影是(A)
2.如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的,则它的主视图是(B)
3.如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图是(B)
4.如图,一位同学用直尺和圆规作出了△ABC中BC边上的高AD,则一定有(C)
A.PA=PCB.PA=PQ
C.PQ=PCD.∠QPC=90°
【解析】由作法得AD垂直平分CQ,根据线段垂直平分线的性质得PQ=PC.
5.如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图,则组成这个几何体的小正方体的个数不可能是(D)
A.3B.4
C.5D.6
【解析】可判断出底面最少有2个,最多有4个小正方体,而第二层则只有1个小正方体,则这个几何体的小立方块可能有3或4或5个.
6.(2019·四川南充)如图是一个几何体的表面展开图,这个几何体是(C)
【解析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知,这个几何体是三棱柱.
7.如图,一个几何体上半部分为正四棱锥,下半部分为立方体,且有一个面涂有颜色,该几何体的表面展开图是(B)
【解析】注意涂有颜色的一个面不是底面.选项A和C涂有颜色的一个面是底面,不能折叠成原几何体的形式;选项B能折叠成原几何体的形式;选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同.
8.如图,在△ABC中,∠ABC=70°,按如下步骤作图:
第一步,以点A为圆心、BC长为半径作弧,再以点C为圆心、AB长为半径作弧,两弧交点记为D,连接AD,CD;
第二步,以点D为圆心、CD长为半径作弧,交AD于点E,连接CE.
则∠BCE的度数为 55 °.
9.(2019·合肥模拟)圆锥的主视图是底边长为12 cm,底边上的高为8 cm的等腰三角形,则该圆锥的表面积为 96π cm2.
【解析】底面积是π×(12÷2)2=36π(cm2),母线长是(12÷2)2+82=10(cm),则侧面积是π×(12÷2)×10=60π(cm2),表面积为36π+60π=96π(cm2).
10.(12分)如图,一位同学想利用树影测量树高(AB),他在某一时刻测得高为1 m的竹竿影长为0.9 m,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上(CD),他先测得留在墙上的影高(CD)为1.2 m,又测得地面部分的影长(BC)为2.7 m,则他测得的树高为多少?
解:延长AD,BC交于点E.
设墙上的影高CD落在地面上时的长度为x m,树高为h m,
∵某一时刻测得长为1 m的竹竿影长为0.9 m,墙上的影高CD为1.2 m,
∴10.9=1.2x,解得x=1.08,
∴树的影长为1.08+2.7=3.78(m),
∴10.9=h3.78,解得h=4.2.
答:他测得的树高为4.2 m.
[名师预测]
1.将一根圆柱形的空心钢管任意放置,它的主视图不可能是(A)
【解析】一根圆柱形的空心钢管不管怎么放置,它的三视图不可能是三角形,∴主视图不可能是A项.
2.如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.
步骤1:以点C为圆心、CA长为半径画弧①;
步骤2:以点B为圆心、BA长为半径画弧②,交弧①于点D;
步骤3:连接AD,交BC的延长线于点H.
下列叙述正确的是(A)
A.BH垂直平分线段AD
B.AC平分∠BAD
C.S△ABC=BC·AH
D.AB=AD
【解析】连接CD,BD,易知AC=CD,AB=BD,∴BH为线段AD的垂直平分线,选项A正确.对于选项B,C,D,由题中条件并不能证明.
3.在如图所示的几何体中,其三视图中有矩形的是 ①② .(写出所有正确答案的序号)
【解析】长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形;圆柱体的主视图、左视图是矩形,俯视图是圆;圆锥的主视图、左视图是等腰三角形,俯视图是含有圆心的圆.
4.某三棱柱的三视图如图所示,已知△EFG中,EF=8 cm,EG=12 cm,∠EFG=45°,则AB的长为 42 cm.
【解析】过点E作EQ⊥FG于点Q,由题意可得EQ=AB,∵EF=8 cm,∠EFG=45°,∴EQ=AB=22×8=42(cm).
5.如图,已知圆柱的底面半径为6 cm,高为10 cm,蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程是 21.3 cm .(精确到0.1 cm)
【解析】画出圆柱的侧面展开图如图,其中B是侧面展开图矩形长的中点,所以由勾股定理得AB2=102+(6π)2,解得AB≈21.3 cm,即蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是21.3 cm.
6.如图所示,一幢楼房AB背后有一个台阶CD,台阶每层高0.2米,且AC=17.2米,设太阳光线与水平地面的夹角为α,当α=60°时,测得楼房在地面上的影长AE=10米.现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳.
(1)求楼房的高度约为多少米?
(2)过了一会儿,当α=45°时,小猫 能 (填“能”或“不能”)晒到太阳.
(参考数据:3≈1.73)
解:(1)当α=60°时,在Rt△ABE中,
∵tan 60°=ABAE=AB10,
∴AB=10·tan 60°=103≈10×1.73=17.3(米).
∴楼房的高度约为17.3米.
(2)理由:假设没有台阶,当α=45°时,从点B射下的光线与地面AD的交点为F,与CM或其延长线的交点为H.
∵∠BFA=45°,∴tan 45°=ABAF=1,
此时的影长AF=AB=17.3米,
∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1(米),
∴CH=CF=0.1米,
∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上,
∴小猫能晒到太阳.
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