2022年中考数学一轮复习：矩形、菱形与正方形考点精讲精练课件

这是一份2022年中考数学一轮复习：矩形、菱形与正方形考点精讲精练课件，共39页。PPT课件主要包含了平行且相等，考点梳理，归纳总结，四边形ABEC为矩形，考点专练，∠ABC＝90°，答案不唯一，菱形对角线垂直且平分，△EBA≌∠FAD，∠BAE∠ADF等内容，欢迎下载使用。

考点1 矩形的性质与判定
1．若已证得四边形是平行四边形，则再证一角为直角或对角线相等，即可证得其是矩形；2．四个角均相等的四边形是矩形；3．两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形；4．对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
2．(2021·黑龙江)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件___________________，使平行四边形ABCD是矩形．
考点2 菱形的性质与判定
注意：对角线平分一组内角的平行四边形是菱形.
3．(2021·河南)关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )A．四条边相等 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
4．(2021·益阳)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是_______(限填序号)．
一组邻边相等的平行四边形是菱形
考点3 正方形的性质与判定
注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它们的所有性质．
∠AFD+∠ADF=90°
∠BAE+∠AFD=90°
6．(2021·黑龙江)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件___________________________________________________，使矩形ABCD是正方形．
AB＝AD(或AC⊥BD答案不唯一)
有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形.
题型一 与矩形相关的计算与证明
例1 (2020·江西赣州八校联考模拟)如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF＝EC，且EF⊥EC．(1)求证：△AEF≌△DCE；(2)若CD＝1，求BE的长．
∴△AEF≌△DCE(AAS)；
(1)证明：在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴ ∠1＋∠2＝90°，
∴ ∠2＋∠3＝90°，
(2)解：由(1)知△AEF≌△DCE，
在矩形ABCD中，AB＝CD＝1，
在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
(1)根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长是常用的思路；
(2)因为矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到四个等腰三角形．
运用矩形性质计算的一般思路
1．(2021·贺州)如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF．若BC＝2GC，则∠EGF＝__________．
2．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
题型二 与菱形相关的计算与证明
例2 (2021·十堰)如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．
解：(1)证明：如图，在△ABC中，点D是AC的中点，∴AD＝DC，∵AF∥BC，∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，∴△AFD≌△CED(AAS)，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，∴AF＝FC，∴平行四边形AECF是菱形；
菱形比矩形具有更特殊的性质：四边相等，且对角线互相垂直平分，因此为计算不但提供了垂直(勾股定理)关系，还有线段的等量关系，如果菱形中内角为60°(或120°)，则考虑使用等边三角形性质．
题型三 与正方形相关的计算与证明
例3 (2021·江西模拟)在正方形ABCD中，点E，F分别在BC边和CD上，且满足△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G．(1)求证：CE＝CF；(2)若等边△AEF边长为2，求AC的长．
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，
∵△AEF是等边三角形，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
解： (2)∵AE＝AF，CE＝CF，
4．(2021·衡阳)如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；(2)已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
解：(1)四边形AFHE是正方形，理由如下：∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∴∠AFH＝90°，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠DAF＝∠BAE，又∵∠DAF＋∠FAB＝90°，∴∠BAE＋∠FAB＝90°，∴∠FAE＝90°，在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，∴四边形AFHE是矩形，又∵AE＝AF，∴矩形AFHE是正方形；
解： (2)设AE＝x．则由(1)以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x，BH＝7，BC＝AB＝13，在Rt△AEB中，AB2＝AE2＋BE2，即132＝x2＋(x＋7)2，解得：x＝5，∴BE＝BH＋EH＝5＋7＝12，∴DF＝BE＝12，又∵DH＝DF＋FH，∴DH＝12＋5＝17．
1．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( )A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．BD的长度增大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变
3．如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是( )A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
5．(2021·北京)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是_____________(写出一个即可)．
6．(2021·绍兴)图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AB＝30 cm，则BC长为___________cm(结果保留根号)．
1．如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连接ED，则∠ADE的度数为_________________．
中考失分点专练：不分类讨论导致错误