18.2 特殊的平行四边形练习题

这是一份18.2 特殊的平行四边形练习题，共50页。试卷主要包含了 矩形， 菱形，正方形，8，等内容，欢迎下载使用。

18.2 特殊的平行四边形
知识回顾：
1. 矩形
（1）矩形定义∶______________叫作矩形，也就是长方形.
（2）矩形的性质如下∶
①矩形的四个角都是________. ②矩形的对角线________.
（3）矩形的判定定理如下∶
①有一个角是直角的________是矩形.
②有三个角是________的四边形是矩形.
③对角线________的平行四边形是矩形.
④对角线______________的四边形是矩形.
2. 菱形
（1）菱形定义∶______________叫作菱形.
（2）菱形的性质如下∶
①菱形的四条边都________.
②菱形的两条对角线________，并且每一条对角线平分________.
（3）菱形是特殊的平行四边形，其面积求法与平行四边形的面积求法相同，其面积等于底乘以相应底上的高．另外，由于菱形的两条对角线互相垂直平分，将菱形分成4个全等的直角三角形，因此菱形面积=×两条对角线长之积=×两条对角线长之积.
（4）菱形的判定定理如下∶
①________的平行四边形是菱形.
②对角线________的平行四边形是菱形.
③对角线________的四边形是菱形.
④________的四边形是菱形.
3.正方形
（1）正方形定义∶______________是正方形.
（2）正方形的性质∶正方形既有________的性质，又有________的性质.
（3）正方形是轴对称图形，其对称轴为________所在的直线或________所在的直线，有4条对称轴；也是中心对称图形，对称中心为对角线的交点.

（4）正方形的判定定理如下∶
①________的矩形是正方形.
②有一个角是直角的________是正方形.
③________相等的菱形是正方形.
④对角线________的矩形是正方形.
⑤判别正方形的一般顺序∶先说明它是平行四边形∶再说明它是菱形（或矩形）；最后说明它是矩形（或萎形）.
⑥矩形判定条件＋菱形判定条件一正方形判定条件.


一、单选题（共24题）
1．下列命题正确的是（　　）
A．四条边都相等的四边形为矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形为正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形为平行四边形
2．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A和D重合，给出下列判断：①EF是△ABC的中位线；②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若四边形AEDF是菱形，则AB＝AC；④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形；其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，动点P从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长PO交CD于点Q，则四边形APCQ形状的变化依次为（       ）

A．平行四边形—矩形—平行四边形—矩形 B．平行四边形—菱形—平行四边形—矩形
C．平行四边形—矩形—菱形—矩形 D．平行四边形—菱形—平行四边形
4．如图，等边△ABC与正方形DEFG重，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AB=6，DE=2，则△EFC的面积为（ ）


A．1 B．2 C．2 D．4
5．下列命题中正确的有（       ）个
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等且对角线相等的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形：（4）一个角是直角的平行四边形是矩形：（5）有一组邻边相等的四边形是菱形：（6）四个角相等的四边形是矩形
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（       ）

A．AB⊥DC B． C．AC⊥BD D．AB=DC
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）

A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.4
8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90∘，，E是BD的中点，BD=8，则的面积为（       ）．

A．82 B．16 C．8 D．162
9．如图，在平行四边行ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（       ）

①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
10．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF=2，，给出下列结论：①∠COD=45°；②AE=6；③CF=BD=17；④△COF的面积是32．其中正确的结论为（       ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④
11．如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为ℎ1、ℎ2、ℎ3ℎ1>0,ℎ2>0,ℎ3>0，若ℎ1=5，ℎ2=2，则正方形ABCD的面积S等于（       ）

A．34 B．89 C．74 D．109
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6，ΔBDC面积为21，AB的垂直平分线MN分别交AB,AC于点M,N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为（          ）

A．5 B．6 C．7 D．8
13．如图，在边长为7的正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为AD边上一点，连接AE、EF，将△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A'处，若A'D=2，则B'E的长度为（       ）


A．2714 B．137 C．2514 D．2
14．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，下列结论：
①DF=DN；②；③△DMN是等腰三角形；④S△AND+SΛAME=S△ANC−S△AME，其中正确的个数是（            ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，点G、F分别在DC、AB上，FG⊥AE，∠BAE=25°，则∠FGD的度数为（       ）

A．75° B．65° C．125° D．115°









16．如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②AEAD=2−1；③四边形AEFG是菱形；④若SΔOGF=1，则正方形ABCD面积是6+42．其中正确的结论个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4
17．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE=30°，DE⊥CF，则的长是（       ）

A．1 B．2 C． D．2
18．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE=AD；②∠AED=∠CED；③BH=HF；④BC−CF=2HE，其中正确的有（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
19．如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD上的点，DE=1，将△ADE沿AE对折至△AEF，延长EF交BC于G．连接AG、CF．下列结论：①△ABG≅△AFG；②∠GAE=45°；③3BG=5CG；④S△CFG=14485．其中正确的有（       ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

20．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE=BC．连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点．在下列结论中：①AH=DF；②∠AEF=45°；③AH=DE；④S四边形EFHG=S△DEF+S△AGH，其中正确的结论有（       ）个

A．1 B．2 C．3 D．4
21．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE//CD于点E，PF//BC于点F，连接AP，EF.给出下列结论：①PD=2EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP=EF；⑤EF的最小值为22.其中正确结论的序号为(          )

A．①②④⑤ B．①③④⑤ C．②④⑤ D．②③⑤
22．如图，矩形ABCD中，AC,BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作交AB于点E，交AC于点N，连接FN,EM．则下列结论：
①DN=BM；②EM//FN；
③；④当AO=AD时，四边形是菱形．
其中，正确结论的个数是（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个






23．如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为(        )

A．1 B．103 C．4 D．143
24．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=135°，点P是菱形内部一点，且满足SΔPCD=16S菱形ABCD，则PC+PD的最小值为（       ）



A．32 B．211 C．6 D．73

二、填空题（共10题）
25．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=7，S菱形ABCD＝56．则OH的长为 _____．

26．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，延长BC至点E，使CE=3，连接DE得到四边形ABED，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC一CD向终点D运动，设点P运动的时间为t秒（t>0）时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，则t=____

27．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于______．

28．如图，菱形ABCD中，点O为对角线的交点，E、F、G、H 是菱形ABCD的各边中点，若AC=6，BD=8，则四边形 的面积为______．

29．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， P 为 BD 上的一点，连接 CP，过点 P 作 PF ⊥ CP 交AD 的延长线于点 F，延长 FP 交 AB 于点 E，则下列结论：（1）∠DPF = ∠PCA；（2）BE = DF；（3）点 P 为 EF 的中点；（4） SΔBPE= SΔDCP；（5）若 OP = 2，则 BE = 22， 其中正确的结论有_______个．（填正确结论的个数）

30．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝_______．



31．已知：如图，△ABC的两条高AD与CE相交于点F，G为BC上一点，连接AG交CE于点H，且AB=AG，若∠CHG=2∠ADE，DFAF=23，S△ACG=152，则线段AD的长为_______．

32．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是 ___．

33．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，四边形APQE的周长最小值为______．

34．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE．当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为_____．








三、解答题（共5题）
35．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作CF∥AB，交AE的延长线于点F，连接BF．

(1)求证：四边形BDCF是菱形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形BDCF是正方形？请说明理由．



36．矩形ABCD的边长AB＝18cm，点E在BC上，把△ABE沿AE折叠，使点B落在CD边的点F处，∠BAE＝30°．

(1)如图1，求DF的长度；
(2)如图2，点N从点F出发沿FD以每秒1cm的速度向点D运动，同时点P从点A出发沿AF以每秒2cm的速度向点F运动，运动时间为t秒（0＜t＜9），过点P作PM⊥AD，于点M．
①请证明在N、P运动的过程中，四边形FNMP是平行四边形；
②连接NP，当t为何值时，△MNP为直角三角形？










37．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝11cm，点P从点D出发向终点A运动；同时点Q从点B出发向终点C运动．当P、Q两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点P、Q的速度分别为1cm/s，2cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t（s）．

(1)如图（1），当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
(2)如图（2），若点E为边AD上一点，当AE＝3cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．



38．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，

(1)观察猜想：如图 1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为 ；
②BC，CD，CF之间的数量关系为 ；（将结论直接写在横线上）
(2)数学思考：如图 2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图 3，当点D在线段 BC 的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB＝22，CD=1，请求出GE的长









39．如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴，y轴的正半轴，若点B（a，b），且a，b满足b2−12b+36=0，若点D为矩形OABC的对角线AC的中点，过点D作AC的垂线分别交BC，OA于点E，F．

(1)求点B的坐标．
(2)求线段EF的长度．
(3)如图2，连接OD，直线EF交y轴于点G，若点P为射线GE上的点，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以OD为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．





























参考答案：

知识回顾：
1. 矩形
（1）矩形定义∶有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也就是长方形.
（2）矩形的性质如下∶
①矩形的四个角都是直角. ②矩形的对角线相等.
（3）矩形的判定定理如下∶
①有一个角是直角的平行四边形是矩形.
②有三个角是直角的四边形是矩形.
③对角线相等的平行四边形是矩形.
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形.
2. 菱形
（1）菱形定义∶有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
（2）菱形的性质如下∶
①菱形的四条边都相等.
②菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
（3）菱形是特殊的平行四边形，其面积求法与平行四边形的面积求法相同，其面积等于底乘以相应底上的高．另外，由于菱形的两条对角线互相垂直平分，将菱形分成4个全等的直角三角形，因此菱形面积=×两条对角线长之积=×两条对角线长之积.
（4）菱形的判定定理如下∶
①一组邻边相等的平行四边形是菱形.
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
④四边都相等的四边形是菱形.

3.正方形
（1）正方形定义∶四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.
（2）正方形的性质∶正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.
（3）正方形是轴对称图形，其对称轴为对边中点所在的直线或对角线所在的直线，有4条对称轴；也是中心对称图形，对称中心为对角线的交点.
（4）正方形的判定定理如下∶
①一组邻边相等的矩形是正方形.
②有一个角是直角的菱形是正方形.
③对角线相等的菱形是正方形.
④对角线互相垂直的矩形是正方形.
⑤判别正方形的一般顺序∶先说明它是平行四边形∶再说明它是菱形（或矩形）；最后说明它是矩形（或萎形）.
⑥矩形判定条件＋菱形判定条件一正方形判定条件.


1．B
解：A、四条边都相等的四边形为菱形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项正确；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形为正方形，所以C选项错误；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，所以D选项错误．
故选：B．
2．C

解：∵AD是ΔABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
根据折叠可得：EF是AD的垂直平分线，
∴AO=DO=12AD，AD⊥EF，
∴∠AOF=90°，
∴∠AOF=∠ADC=90°，
∴EF//BC，
∴∠AEF=∠B，∠FED=∠EDB，
又∵∠AEF=∠FED，
，
∴BE=ED，
则，
同理可得：AF=FC，
∴EF是ΔABC的中位线，
故①正确；
∵EF是ΔABC的中位线，
的周长是ΔABC的一半，
根据折叠可得ΔAEF≅ΔDEF，
的周长等于ΔABC周长的一半，
故②正确；
∵EF是ΔABC的中位线，
，AF=12AC，
若四边形AEDF是菱形，
则，
∴AB=AC，
故③正确；
根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，
不能确定∠AED和∠AFD的度数，故④错误；
故选：C．

3．B
解：观察图形可知，四边形APCQ形状的变化依次为：
平行四边形—菱形—平行四边形—矩形
故选：B．
4．B
解：过F作FQ⊥BC于Q，

则∠FQE＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，
∵BD＝BE，DE＝2，
∴△BED是等边三角形，且边长为2，
∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，
∴CE＝BC﹣BE＝4，
∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，
∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，
∴∠FEC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴QF=12EF=1，
∴△EFC的面积＝12×CE×FQ=12×4×1=2，
故选：B．
5．C
解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，（1）正确；
两组对角分别相等且对角线相等的四边形是矩形，（2）正确；
对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，（3）正确；
一个角是直角的平行四边形是矩形，（4）正确；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，（5）错误；
四个角相等的四边形是矩形，（6）正确，
故选：C．
6．A
解：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴EF//AB，且EF=12AB，GH//AB且GH=12AB，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，即，
∵EF//AB，HE//CD，
∴AB⊥CD，
故选：A．
7．D
解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=62+82=10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴PM=12AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP=AB×ACBC=4.8，
∴AP最短时，AP=4.8，
∴当PM最短时，PM=12AP=2.4．
故选 D．
8．C
解：∵∠BAD=∠BCD=90∘，E是BD的中点，BD=8，
∴AE=BE=DE=CE=4，
∴∠BAE=∠ABE，∠CBE=∠BCE，
∵∠ABE+∠CBE=，
∴∠AEC=∠BAE+∠ABE+∠CBE+∠BCE=90°，
∴SΔAEC=12AE⋅CE=12×4×4=8,
故选：C．
9．D
解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在平行四边形ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴ ∠DFC=∠DCF，
∵AD//BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=12∠BCD，故结论①正确，
延长EF，交CD的延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴ ∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中
∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM
∴△AEF≌△DMF，
∴FE=FM，∠AEF=∠M，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF, ∠ECD=90°，
∴EF=CF，故②正确，
③∵EF=FM,
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC>BE，
∴S△ECM>S△BEC，
∵S△ECM =S△EFC +S△CFM ，S△EFC=S△CFM，
∴S△BEC<2S△EFC
故③错误
④设∠FEC=x,则∠FCE=x
∴∠DCF=∠DFC=90°- x
∴∠EFC=180°-2x
∴∠EFD=90°- x +180°-2 x =270°-3 x
∵∠AEF=90°- x
∴∠DFE=3∠AEF，故结论④正确
综上可知，一定成立的是①②④
故选D
10．B
解：①∵∠AOC=90°，∠DOE=45°，
∴∠COD=180°−∠AOC−∠DOE=45°，故①正确；
②，
，
∵AO=AB=3，
∴AE=AO+OE=2+3=5，故②错误；
③∵四边形OABC与四边形ODEF均为正方形，
∴OA=OC，OD=OF， ∠AOC=∠DOF
∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，
∴∠AOD=∠COF，
∴ΔAOD≅ΔCOFSAS，
∴AD=CF，
连接DF 交EO 于G,过D作DH⊥AB交AB于，

∴∠DHA=∠DHB=90°
∴四边形DGAH为矩形，
∴AG=DH，DG=AH，
，,
∴EO=2，
∴DG=OG=1，
∴AH=DG=1，DH=AG=AO+OG=1+3=4，
∴BH=AB−AH=3−1=2 ，
∴BH≠AH，
在RtΔDHB 与RtΔDHA中，
∵DH=DH，BH≠AH，
∴DB2=DH2+BH2≠DH2+AH2=AD2，
∴DB≠AD，故③错误；
④的面积SΔCOF=12×3×1=32，故④正确；
∴其中正确的结论为①④．
故选：B．
11．C
解：如图，记l2与AD的交点为Q, 记BC与l3的交点为H, 过B作BE⊥l4于E, 过D作DM⊥l4于M,

∵正方形ABCD,
∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴∠ABO+∠AOB=90°,∠CDH+∠ADH=90°,
∵l2∥l3, 则∠AOB=∠ADH,
∴∠ABO=∠CDH,
∴△ABO≌△CDH,
∴ℎ1=ℎ3=5, （全等三角形的对应高相等）
∴BE=ℎ2+ℎ3=7,
∵∠BCD=∠BEC=∠DMC=90°,
∴∠EBC+∠BCE=90°=∠BCE+∠DCM,
∴∠EBC=∠DCM,
∴△BCE≌△CDM,
∴BE=CM=7,CE=DM=5,
∴BC2=52+72=74.
故选C
12．C
解：连接AQ，过点D作DH⊥BC，

∵BC=6，ΔBDC面积为21，
∴12BCDH=21，
∴DH=7，
∵MN垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴PB+PQ=AP+PQ≥AQ，
∴当AQ的值最小时，PB+PQ的值最小，根据垂线段最短可知，当AQ⊥BC时，AQ的值最小，
∵AD∥BC，
∴AQ=DH=7，
∴PB+PQ的值最小值为7；
故选C．
13．C
解：由折叠可知： AE=A'E，BE=B'E
∵AE2=AB2+BE2，A'E2=A'C2+CE2，A'D=2且正方形的边长为7，
∴AB2+BE2=A'C2+CE2，
∴72+BE2=7−22+7−BE2,
∴BE=2514 ,
∴B'E=2514 ，
故选：C．
14．C
解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，

∴AB=AC，∠BCA=∠ABC=45°=∠DAC=∠DAB，AD=BD=CD，
∵BE是平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴∠BAC=90°，∠ADB=90°，
∴∠AEB=90°-∠ABE=67.5°，∠AFD=90°-∠CBE=67.5°=∠AFE，
∴∠AFE=∠AEB，
∴AF=AE，
∵M是EF的中点，AE=AF，
∴AM⊥BE，∠DAM=∠CAM=90°-∠AFE=22.5°，
∴∠DAN=∠CBE=22.5°，且∠ADB=∠ADN，AD=BD，
∴△ADN≌△BDF（ASA），
∴DF=DN，
故①正确；
∵AB=AC，∠ACB=∠DAB=45°，∠ABF=∠CAN=22.5°，
∴△ABF≌△ACN（ASA），
∴AF=CN，且AE=AF，
∴AE=CN，
故②正确；
∵AE=AF，M为EF的中点，
∴AM⊥EF，
∴∠AMF=90°，
同理∠ADB=90°，
∵∠BFD=∠AFE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠MBA=∠MBN，
∵AN⊥BM，
∴∠AMB=∠NMB=90°，
∴∠BNM=∠BAM=180°-∠AMB-∠ABM=180°-90°-22.5°=67.5°，
∴BA=BN，
∴AM=MN，
∵∠ADC=90°，
∴AM=MN=DM，
∴∠ABM=∠ADM=22.5°，∠DAM=∠ADM，
∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，
∴∠BMD=45°，
∵∠DNA=∠C+∠CAN=45°+22.5°=67.5°，
∴∠MDN=180°-45°-67.5°=67.5°=∠DNM，
∴DM=MN，
∴△DMN是等腰三角形，故③正确；
过点N作NG⊥AC于点G，连接EN，
∵∠CAN=∠DAN，CD⊥AD，
∴NG=ND，
∵AM⊥BE，
∴∠AMB=∠NMB=90°，
∵∠ABM=∠NBM，
∴∠BAM=90°-∠ABM=∠BNM=90°-∠NBM，
∵BM=BM，
∴△ABM≌△NBM（SAS），
∴AB=NB，AM=NM，
∵BE=BE，∠ABE=∠CBE
∴△ABE≌△NBE（SAS），
∴AE=NE，∠BAE=∠BNE=90°，
∵∠C=45°，
∴∠CEN=45°，
∴NC=EN=AE，
∵NG⊥EC，
∴CG=EG=NG，
设CG=EG=NG=DN=x，则AE=EN=2x，
∴AC=2x+2x=（2+2）x，
AD=22AC＝22×(2+2)x＝(2+1)x，
S△AND＝12AD•ND＝2+12x2，
S△ACN＝12AC•NG＝2+22x2，
∵AM=NM，
∴S△AEM＝12S△AEN＝12×12AE•NG＝24x2，
∴S△AND+S△AME=2+12x2+24x2＝32+24x2，
S△ANC-S△AME=2+22x2−24x2＝2+44x2，
∴S△AND+S△AME≠S△ANC-S△AME，

故④错误，
故选：C．
15．D
解：如图：

由FG⊥AE，则∠AOF=90°，
又∵∠BAE=25°，
由三角形内角和定理：∠AFO=90°−∠BAE=65°，
根据正方形的性质：，
∴∠AFG=∠CGF=65°，
∴∠FGB=180°−∠CGF=115°，
故选：D．

16．C
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折叠的性质可得：∠ADG=12∠ADO=22.5°，故①正确．
设正方形的边长为a，则AD=DC=BC=a
∴BD=2a
∴S△AED=12AE⋅AD=12a⋅AE
S△BDE=12BD×EF=22a×EF
由折叠的性质可得AE=EF
∵S△ABD=12a2=S△AED+S△BDE=12a(1+2)AE
∴AEAD=11+2=2−1
故②正确
∵∠EFD=∠AOF=90°，
∴EF//AC，
∴∠FEG=∠AGE，
∵∠AGE=∠FGE，
∴∠FEG=∠FGE，
∴EF=GF，
∵AE=EF，
∴AE=GF，
∵AE=EF=GF，AG=GF，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四边形AEFG是菱形，故③正确．
∵四边形AEFG是菱形，
∴AB//GF，AB=GF．
，∠GOF=90°，
∴ΔOGF时等腰直角三角形．
∵SΔOGF=1，
12OG2=1，解得OG=2，
∴BE=2OG=22，GF=2+2=2，
∴AE=GF=2，
∴AB=BE+AE=22+2，
∴S正方形ABCD=(2+22)2=12+82≠6+42，故④错误．
故正确的有①②③，共3个
故选C
17．C
解：∵四边形ABCD是正方形，

，CD=BC=3，
∵在Rt△DCE中，∠CDE=30°，
，
设CE=x，则DE=2x，
根据勾股定理得：DC2+CE2=DE2，
即32+x2=(2x)2，
解得：x=3（负值舍去），
∴CE=3，
∵DE⊥CF，
，
∴∠DCO=60°，
，
，CD=BC，
∴△DCE≌△CBF(ASA)，
．
故选：C．
18．A
解：①设AB=a，则AD=2a，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴BA=BE．
∴在Rt△ABE中，AE=2a，
∴AE=AD．①正确；
②∵DH⊥AH，∠DAE=45°，AD=2a，
∴DH=AH=a．
∴DH=DC．
根据到角两边距离相等的点在角的平分线上定理可知DE平分∠AEC，
即②∠AED=∠CED正确；
③∵AH=AB=a，
∴∠ABH=∠AHB．
∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠DFB=180°．
又∠AHB+∠BHE=180°，
∴∠BHE=∠HFD． ∠HEB=∠FDH=45°，又BE=DH=a，
∴△BHE≌△HFD（AAS），
∴BH=HF，③正确；
⑤BC=2a，CF=2a-2a，HE=2a−a，
∴BC-CF=2HE，
∴④正确；
综上所述，正确的是①②③④共4个．
故选A．
19．C
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=4，∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
由翻折可知：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∠DAE=∠FAE，
∴AF=AB，∠AFG=∠B=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
AG=AGAB=AF，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，故①正确，
②∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
，∠BAD=90°，
，故②正确，
③∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，
∵CD=4，DE=1，
∴DE=EF=1，EC=3，
在Rt△ECG中，CE=3，，，
根据勾股定理，得EG2=CE2+CG2，
即，
解得BG=125，
，
∴BG:CG=125:85=3:2，
．故③错误．
④∵CG=85，CE=3，
∴S△CEG=12CG⋅CE=12×85×3=125，
又∵FG=BG=125，EF=1，
∴FG:EF=125:1=12:5，
∴S△FGC=1212+5S△CEG=1217×125=14485，故④正确．
所以其中正确的是①②④，一共3个．
故选：C．
20．C
解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，
∵BE＝BC，
∴AB＝BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，
∵∠AGH＝90°，
∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，
在△ADE和△CDE中，
DE=DE∠ADE=∠CDE=45°AD=CD，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，
∴∠ABH＝∠DCF，
在△ABH和△DCF中，
∠BAH=∠CDFAB=CD∠ABH=∠DCF，
∴△ABH≌△DCF（ASA），
∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，
∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，
∴67.5°＝22.5°+∠AEF，
∴∠AEF＝45°，故①②正确；
∵∠FDE＝45°，∠DFE＝∠FAE+∠AEF＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠DEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴DF＝DE，
∵AH＝DF，
∴AH＝DE，故③正确；
如图，连接HE，

∵BH是AE垂直平分线，
∴AG＝EG，
∴S△AGH＝S△HEG，
∵AH＝HE，
∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，
∴∠DHE＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，
∴EH＝ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S△EFH≠S△EFD，
∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故④错误，
∴正确的是①②③．
故选：C

21．A
解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PF=CE，
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°
∴∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC=DF，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴DP=2EC．
故①正确；
②∵四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45°，
∴当∠PAD=45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误；
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC=EF，
由正方形为轴对称图形，
∴AP=PC，
∴AP=EF，
故④正确；
⑤BD=BC2+CD2=42+42=42，
由EF=PC，
∴当PC最小时，EF最小，
则当PC⊥BD时，即PC=12BD=12×42=22时，EF的最小值等于22，
故⑤正确；
综上所述，①②④⑤正确，
故选：A．
22．D
解：∵BF⊥AC
∴∠BMC=90°
又∵
∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC
∴∠DNA=∠BMC=90°
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB
∴∠ADB=∠CBD
∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO即∠AND=∠CBM
在△AND与△CMB
∵∠DNA=∠BMC=90°∠AND=∠CBMAD=BC
∴△AND≌△CMB(AAS)
∴AN=CM，DN=BM，故①正确．
∵AB∥CD
∴∠NAE=∠MCF
又∵∠DNA=∠BMC=90°
∴∠ANE=∠CMF=90°
在△ANE与△CMF中
∵∠ANE=∠CMF=90AN=CM∠NAE=∠MCF
∴△ANE≌△CMF（ASA）
∴NE=FM，AE=CF，故③正确．
在△NFM与△MEN中
∵FM=NE∠FMN=∠ENM=90°MN=MN
∴△NFM≌△MEN（SAS）
∴∠FNM=∠EMN
∴NF∥EM，故②正确．
∵AE=CF
∴DC-FC=AB-AE，即DF=EB
又根据矩形性质可知DF∥EB
∴四边形DEBF为平行四边
根据矩形性质可知OD=AO，
当AO=AD时，即三角形DAO为等边三角形
∴∠ADO=60°
又∵DN⊥AC
根据三线合一可知∠NDO=30°
又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°
故DE=EB
∴四边形DEBF为菱形，故④正确．
故①②③④正确
故选D．
23．D
解：过点F作FH⊥CD，交直线CD于点H，则∠EHF=90°，如图所示：

∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠EHF，
∵在正方形AEFG中，∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠AED+∠HEF=90°，
∵∠HEF+∠EFH=90°，
∴∠AED=∠EFH，
在△ADE和△EHF中，
∠ADE＝∠EHF∠AED＝∠EFHAE＝EF，
∴△ADE≌△EHF（AAS），
∴AD=EH=4，
由题意得：t+2t=4+10，
解得：t=143，
故选D．

24．B
解：如图，

在BC上截取点E使CE=13BC=2,过点E作EF//AB，交AD于点F，
∴四边形ABEF和EFDC都为平行四边形，
∴S▱DCEF=13S菱形ABCD
∴当点P在线段EF上是时，SΔPCD=16S菱形ABCD.
作C’与C关于EF对称，连接DC’，则DC’的长即是PC+PD的最小值.
过A作AN⊥BC，垂足为N点，连接EC'和CC'，延长EC'与DA的延长线交于点M（上图），
由辅助线可知，EF为线段CC'的垂直平分线，
∴∠PEC=∠AFP=∠ADC=45°，
∴∠C'CE=∠EC'C=45°，则∠C'EC=90°，
∴EM⊥AD ，EC=EC'=2，
∴EM=AN=BN=
∴MC'=32−2,MD=32+2,
由勾股定理得，DC'=32−22+32+22=211.
故选B.

25．4
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2AO=14，
又∵S菱形ABCD=12×AC×BD=12×14×BD＝56，
∴BD=8，
∵DH⊥AB，
∴在Rt△BHD中，点O是BD的中点，
∴OH=12BD=12×8=4．
故答案为 4．
26．2或3或194
解：①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP＝4，
∴2t＝4，
∴t＝2；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，
∴点P到DE边的距离也为4，

∵CE＝3，DC＝4，
∴DE=CE2+DC2=32+42=5，
在△DCE和△PFE中，
∠E＝∠E∠DCE＝∠PFE＝90°DC＝PF＝4，
∴△DCE≌△PFE（AAS），
∴PE＝DE＝5，
∴PC＝PE−CE＝2，
∴8−2t＝2，
∴t＝3；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，

点P到DE、BE边的距离相等，
即PC＝PH，PC＝2t−8，
∵S△DCE＝S△DPE＋S△PCE，
∴12×3×4＝12×5×PH＋12×3×PC，
∴12＝8PC，
∴12＝8（2t−8），
∴t＝194．
综上所述：t＝2或t＝3或t＝194时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
故答案为：2或3或194．
27．2cm，2cm，2cm
解：连接OB，

∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，
∴OE=OF=OD，
又∵OB＝OB，
∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL）
∴BD=BF，
同理，，CE=CD，
∵∠C=90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴ 四边形OECD是矩形
∵OD=OE，
∴四边形OECD是正方形，
设，则CE=CD=x，BD=BF=8−x，AF=AE=6−x，
∵BF+FA＝AB＝10，
即6－x＋8－x＝10
解得．
则OE=OF=OD=2．
即点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于2，2，2．
故答案为：2cm，2cm，2cm．
28．12
解：如图，设EF交BD于点M，FG交AC于点N，

∵ E、F、G、H 是菱形ABCD的各边中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，GH∥AC，EH＝FG＝12BD＝4，GH＝EF＝12AC＝3
∴EH∥FG，EF∥GH，FM∥ON，FN∥OM
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴∠MON＝90°
∴四边形EFGH是矩形
∴四边形的面积＝EF×FG＝12
故答案为：12
29．4
解∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，即∠COD=90°，
∴ ∠PCA+∠CPB=90°．
∵PF⊥CP，
∴∠CPE=90°，
∴∠EPB+∠CPB=90°，
∴∠EPB=∠PCA．
又∵∠EPB=∠DPF，
∴∠PCA=∠DPF，故（1）正确；
如图所示，过点P作直线MN⊥BC分别交BC于M，交AD于N，作直线GH⊥AB分别交AB于G，交CD于H，则四边形PGBM是矩形，四边形CMND是矩形，

∴ CM=DN．
∵∠ PBG=∠PBM=45°，∠PGB=∠PMB=90°，PB=PB，
∴ △PGB≌△PMB（AAS），
∴ PG=PM，
∴四边形BMPG是正方形．
∵∠GPE+∠MPE=90°=∠CPM+∠MPE，
∴∠GPE=∠MPC．
又∵∠ PGE=∠ PMC=90°，PG=PM，
∴△PGE≌△PMC（ASA），
∴GE=CM=DN．
同理可证四边形PHDN是正方形，
∴ PN=DN=GE．
∵∠GPN=90°，
∴∠GPE+∠NPF=90°=∠GPE+∠GEP，
∴∠GEP=∠NPF，
∴△GPE≌△NFP（ASA），
∴ PF=PE，
∴点P是EF的中点，故（3）正确；
又∵CP⊥EF，
∴ CP垂直平分EF．
连接CE，CF，
∴CE=CF．
又∵ CB=CD，∠CBE=∠CDF=90°，
∴Rt△CBE ≌ Rt△CDF（HL），
∴ BE=DF，故（2）正确；
∵S△DCP+S△PCB=S△BCD=12S正方形ABCD，
S△PBE+S△PBC=S梯形BEPM+S△PMC=S梯形BEPM+S△PGE=S正方形BMPG．
又∵S正方形BMPG不一定等于12S正方形ABCD，
∴S△DCP不一定等于S△PBE，故（4）错误；
如图所示，过点E作EK⊥BP于K，

∵∠EPK=∠PCO，∠EKP=∠POC=90°，PE=PC，
∴△EPK≌△PCO（AAS），
∴ EK=PO=2．
∵∠EBK=45°，∠EKB=90°，
∴∠BEK=45°=∠EBK，
∴ EK=BK=2，
∴BE=EK2+BK2=22，故（5）正确，
∴正确的结论有4个，
故答案为4．

30．2
解：延长GH交AD于M点，如图所示：

∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，
∴CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，
∴DG=CG−CD=3-1=2，∠HAM=∠HFG，
∵AF的中点H，
∴AH=FH，
在△AMH和△FGH中，
∠HAM=∠HFGAH=FH∠AHM=∠FHG，
∴△AMH≌△FGH（ASA）．
∴AM=FG=1，MH=GH，
∴MD=AD-AM=3−1=2，
在Rt△MDG中，GM=MD2+DG2=22+22=22，
∴GH=12GM=2，
故答案为：2．

31． 5
解：如图，取AC的中点Q, 连接EQ,DQ,
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
∴QA=QE=QD=QC,
∴∠QAE=∠QEA,∠QED=∠QDE,∠QDC=∠QCD,


∴2∠QEA+∠QED+∠QCD=360°, 即∠AED+∠ACD=180°,
∴∠BED=∠BAD+∠ADE=∠ACB=∠ACE+∠BCE,
∵∠AEF=∠ADC=90°,∠AFE=∠CFD,
∴∠EAD=∠BCE,
∴∠ADE=∠ACE，
∵∠GHC=∠HAC+∠HCA，∠ADE=∠HCA，
∴∠GHC=∠HAC+∠ADE，
∵∠CHG=2∠ADE，
∴2∠ADE=∠HAC+∠ADE，
∴∠ADE=∠HAC，
∴∠ACH=∠HAC，
∴∠BCE+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，
∴∠BCE=∠BAD，
∵AB=AG，AD⊥BC，
∴∠DAG=∠BAD，
∴∠DAG=∠BCE，
∴∠DAG+∠GAC=∠BCE+∠ACH，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∴△ADG≌△CDF（ASA），
∴DG=DF，
∴DFGC=DFAF=23，
∴S△ADG＝S△AGC＝5，
∴S△ADC＝5+152=252，
∴12AD•DC＝252，
∴AD2=25，
∴AD=5，
故答案为：5．

32． 32
解：在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB=AC2+BC2=42+42=42,
如图，延长EF至K，使FK=EF，则△EBK是等腰直角三角形，

∴BK=BE=2BD=22，
∵M是AE的中点，F是EK的中点，
∴MF是△AEK的中位线，
∴MF=12AK，
在△ABK中，AB−BK≤AK≤AB+BK，
∴42−22≤AK≤42+22，即22≤AK≤62，
∴2≤MF≤32，
∴线段FM的最大值是32，
故答案为：32．

33． 217+2+62
解：在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．则四边形APQF是平行四边形

∴PA=FQ=GQ
∵E为CD边的中点
∴DE=EC=2
∴AE=AD2+DE2=217
∵GH=DF=6，EH=EC+CH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴EG=62，
∴四边形APQE的周长的最小值=QE+EA+PQ+AP
=217+EQ+2+AP
=217+EQ+2+QG
=217+EG+2
=217+2+62．
故答案为217+2+62．


34．45或2
解：①当DE=DC时，连接DM，过点D作DG⊥BC交BC延长线于点G，如图

∵四边形ABCD是菱形
∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD
∴∠DCG=∠B=60゜，∠A=180゜-∠B=120゜，DE=CD=2
∵DG⊥BC
∴∠CDG=90゜-60゜=30゜
∴CG=12CD=1
由勾股定理得：DG=CD2−CG2=3
∴BG=BC+CG=2+1=3
∵M为AB的中点
∴AM=BM=1
由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=1，∠MEN=∠B=60゜
∴EM=AM
∵AD=DC，DE=DC
∴DE=AD
在△EMD和△AMD中
DE=ADDM=DMEM=AM
∴△EMD≌△AMD(SSS)
∴∠DEM=∠A=120゜
∴∠DEM+∠MEN=180゜
即D、E、N三点共线
设BN=x，则EN=x，DN=DE+EN=2+x，NG=BG-BN=3-x
在Rt△DGN中，由勾股定理可得：(3)2+(3−x)2=(2+x)2
解得：x=45
即BN=45
②当CE=CD时，CE=CD=AD=2，此时点E与点A重合，点N与点C重合，如图

∴BN=2　
③当CE=DE时，点E在线段CD的垂直平分线上，此时点E与点A重合，点N与点C重合，同理可得BN=2．
综上所述，BN的长为45或2
故答案为：45或2．


35．
解：(1)（1）由“AAS”可证△CEF≌△DEA，可得CF＝AD，由直角三角形的性质可得CD＝AD＝BD＝CF，由菱形的判定可证四边形BDCF是菱形；

(2)AC＝BC，
（2）由等腰三角形的性质可得CD⊥AB，即可证四边形BDCF是正方形．
(1)
证明：∵CF//AB
∴∠CFA＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，
∵E是CD的中点，
∴CE＝DE
∴△CEF≌△DEA（AAS）
∴CF＝AD，
∵CD是Rt△ABC的中线
∴CD＝AD＝BD
∴CF＝BD，
∵CF//AB
∴四边形BDCF是平行四边形，
∵CD＝BD
∴四边形BDCF是菱形
(2)
当AC＝BC时，四边形BDCF是正方形，
理由如下：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形
∵CD是AB边上的中线
∴CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°
∵四边形BDCF是菱形
∴四边形BDCF是正方形．


36． (1)DF=9cm； (2)①详见解答，②92秒或365秒
(1) 解：由折叠的性质可知，∠BAE=∠FAE=30°，AF=AB=18cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=90°，
∴∠DAF=30°，
∴DF=12AF=9cm；
(2) 解：①证明：由题意得：FN＝tcm，PA＝2tcm，
则PF＝（18﹣2t）cm，
∵PM⊥AD，FD⊥AD，
∴PM∥FD，∠PMA＝90°，
由（1）得：∠DAF＝30°，
∴PM＝12PA＝t（cm），
∴FN＝PM，
∴四边形FNMP是平行四边形；

②分三种情况：
a：当∠MPN＝90°时，PM⊥PN，如图2所示：
∵PM⊥AD，AD⊥CD，
∴PN∥AD，PN⊥CD，
∴∠FPN＝∠DAF＝30°，∠PNF＝90°，
∴FN＝12PF，
即t＝12（18﹣2t），
解得：t＝92；
b：当∠PMN＝90°时，点N、M重合，不能构成△MNP；
C：当∠PNM＝90°时，如图3所示：过P作PH⊥FN于H，

则四边形PHDM是矩形，∠PHF＝∠PHD＝90°，PH∥AD，
∴PH＝DM，∠HPF＝∠DAF＝30°，
∴FH＝12PF＝（9﹣t）cm，
∵ND＝DF﹣FN＝（9﹣t）cm，
∴FN＝ND，
∵∠D＝∠PHF＝90°，PH＝MD，
∴△DMN≌△HPF（SAS），
∴MN＝PF＝（18﹣2t）cm，∠DMN＝∠HPF＝30°，
∴∠NMP＝90°﹣30°＝60°，
∴∠MPN＝90°﹣60°＝30°，
∴PM＝2MN＝（36﹣4t）cm，
∵PM＝tcm，
∴36﹣4t＝t，
解得：t＝365；
综上所述，当t为92秒或365秒时，△MNP为直角三角形．


37．
(1)t＝时，四边形ABQP是矩形
(2)t＝3时，四边形EQCP为菱形
解：（1）若四边形ABQP是矩形，则AP＝BQ，
∴11﹣t＝2t，
解得t＝，
故当t＝时，四边形ABQP是矩形；
（2）由题意得，PE=8-t，CQ=11-2t，CP2=CD2+DP2=16+t2
若四边形EQCP是菱形，则PE=CQ=CP，
t2+16=（8-t）2=（11-2t）2
解得t=3，
故当t＝3时，四边形EQCP为菱形．
38．
(1)①BC⊥CF；②BC＝CF＋CD
(2)BC⊥CF成立；BC＝CD＋CF不成立，CD＝CF＋BC．理由见解答
(3)10
解：（1）①∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC ，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠B＝∠ACF，
∴∠ACB＋∠ACF＝90°，
即BC⊥CF；
故答案为：BC⊥CF；
②由①得：△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，
∵BC＝BD＋CD，
∴BC＝CF＋CD；
故答案为：BC＝CF＋CD；
（2）：BC⊥CF成立；BC＝CD＋CF不成立，CD＝CF＋BC．理由如下：
∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC ，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°．
∴∠ABD＝180°−45°＝135°，
∴∠BCF＝∠ACF−∠ACB＝135°−45°＝90°，
∴BC⊥CF，
∵CD＝DB＋BC，DB＝CF，
∴CD＝CF＋BC；
(3)
解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示：

∵∠BAC＝90°，AC＝AB＝22，
∴BC＝2AB＝4，
∵AH⊥BC，
AH＝12BC＝BH＝CH＝2，
∴DH＝CH＋CD＝3，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE＝CM，EM＝CN，
∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，
∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，
∴∠ADH＝∠DEM，
∴△ADH≌△DEM（AAS），
∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，
∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BGC＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BC＝4，
∴GN＝1，
在Rt△EGN中，由勾股定理得：EG＝11+32=10 ．
39．
(1)B（8，6）；
(2)152；
(3)存在，当P在线段GD上时，P1,−1， Q−3,−4；
当P在射线DE上时，P7,7，Q3,4．
（1）解：∵ b2−12b+36=0，
∴a−8+(b−6)2=0，
∵a−8≥0，(b−6)2≥0
∴a−8=0，(b−6)2=0
解得a=8，b=6
∴点B的坐标为（8，6）
（2）解：连接CF，AE，如图3，

由题意可知，EF垂直平分AC，
∴CE=AE，CF=AF，CD＝AD
∵四边形OABC是矩形
∴OA∥BC，BC＝AO＝8，AB＝OC＝6
∴∠DCE＝∠DAF
在△CDE和△ADF中，
∠DCE=∠DAFCD=AD∠CDE=∠ADF=90°
∴△CDE≌△ADF(ASA)，
∴CE=AF，
∴CE=AE=CF=AF，
∴四边形CFAE为菱形，
设CE=AE=CF=AF=x，则OF＝8－x，
则在Rt△COF中，
由勾股定理有：OC2+OF2=CF2
∴62+8−x2=x2，
∴x=254，即，
在Rt△AOC中，由勾股定理得
AC=AO2+OC2=10
∴AD＝CD＝5
在Rt△ADF中，
DF＝AF2−AD2=(254)2−52=154
∴EF=2DF=152．
(3)解：分两种情况，
①当P在线段GD上时，取AB的中点M，连MD并延长，过点P作PN⊥DM于点N，如图4，

由题可得：A8,0，C0,6，DM为△ABC的中位线，
∴DM=4，AM=3，
∴D4,3，
∵四边形ODPQ为菱形，OD为边
∴ PD＝OD＝AD
∵PN⊥DM ，DM⊥AB
∴∠AMD＝∠DNP＝90°
∵EF⊥AC
∴∠ADF＝90°
∴∠ADM+∠PDN＝90°
∵∠PDN+∠NPD＝90°
∴∠ADM＝∠NPD
在△PND和△DMA中，
∠ADM＝∠NPD∠AMD＝∠DNPAD=PD
∴△PND≌△DMA(AAS)，
∴DN＝AM＝3,PN＝DM＝4
∴P1,−1，
点P向下平移3个单位，向左平移4个单位得到点Q,
∴Q−3,−4
②当P在射线DE上时，如图5，

用同样方法可以求得P7,7，Q3,4．
综上所述，存在点Q，使得以OD为边，点O，D，P，Q为顶点的四边形是菱形；当P在线段GD上时，P1,−1， Q−3,−4；当P在射线DE上时，P7,7，Q3,4．