2022年湖南省湘潭市高考数学三模试卷（含答案解析）

2022年湖南省湘潭市高考数学三模试卷

1. 已知集合，，若，则m的取值范围为

A.  B.  C.  D.

2. 已知平面向量，，则“”是“”的

A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知，则

A.  B. 3 C.  D. 4

4. 椭圆E：的左、右焦点分别为，，过点的直线l与E交于A，B两点，若的周长为12，则E的离心率为

A.  B.  C.  D.

5. 函数的部分图象大致为

A.  B.  C.  D.

6. 写算，是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，用以区别筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演变而来．例如计算，将被乘数89计入上行，乘数61计入右行，然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，如图，即得类比此法画出的表格，若从表内的18个数字含相同的数字，表周边数据不算在内中任取2个数字，则它们之和大于10的概率为

A.  B.  C.  D.

7. 若函数在上恰有2个零点，则的取值范围为

A.  B.  C.  D.

8. A，B，C，D是半径为4的球面上的四点，已知，，，当AD取得最大值时，四面体ABCD的体积为

A.  B.  C.  D.

9. 已知复数，，则

A.
B.
C.
D. 在复平面内对应的点位于第二象限

10. 新中国成立至今，我国一共进行了7次全国人口普查，历次普查得到的全国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示．下列结论正确的有
     

A. 与前一次全国人口普查对比、第五次总人数增长量高于第四次总人数增长量
B. 对比这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增
C. 第三次全国人口普查城镇人口数量低于2亿
D. 第七次全国人口普查城镇人口数量超过第二次全国人口普查总人口数

11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线左、右两支分别交于A，B两点，M为线段AB的中点，且，则下列说法正确的有

A. 双曲线的离心率为 B.
C.  D.

12. 已知数列满足，，则下列说法正确的有

A.  B.
C. 若，则 D.

13. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗．陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为，，r，且，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为和，则______.
14. 已知，且，函数，若，则______，的解集为______.
15. 已知正数a，b满足，则的最小值为______.
16. 已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为______.
17. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，，且
    求与的通项公式；
    设等差数列的前n项和为，求数列的前n项和
    
    
    
    
    
    
     
18. 某校篮球社组织一场篮球赛，参赛队伍为甲、乙两队，比赛实行三局两胜制，已知甲队赢得每一局比赛的概率为
    若最终甲队获胜的概率为，求乙队赢得每一局比赛的概率；
    在成立的情况下，在每一局比赛中，赢的队伍得2分，输的队伍得1分．用X表示比赛结束时两支球队的得分总和，求随机变量X的分布列和期望．
    
    
    
    
    
    
     
19. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
    求B的最大值；
    若，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABC是边长为2的等边三角形．底面ABC，，，，
    证明：；
    求二面角的余弦值．
    
    
    
    
     

21. 已知抛物线E：上一点到其焦点的距离为
    求抛物线E的方程；
    设点在抛物线E上，且，过P作圆C：的两条切线，分别与抛物线E交于点M，两点均异于证明：直线MN经过
    
    
    
    
    
    
     

已知函数
讨论的单调性；
若函数有且只有，两个零点，证明：







答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：对于集合
，
，
，解得
的取值范围是
故选：
先化简集合A，再利用即可得出．
本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系等基础知识，属于基础题．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：平面向量，，
可得，
即，
解得：或，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：
根据可得，求得x的值，进而求解结论．
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：由，即，
则

故选：
由同角的商数关系和二倍角的正弦公式、余弦公式，计算可得所求值．
本题考查三角函数的求值，注意运用二倍角的正弦公式和余弦公式、同角的基本关系式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：椭圆E：的左、右焦点分别为，，过点的直线l与E交于A，B两点，的周长为12，可得，解得，所以椭圆的离心率为：
故选：
利用已知条件，结合椭圆的定义，三角形的周长求解a，然后求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：函数的定义域为R，则，则是奇函数，排除C，
，
当时，，排除A，B，
故选：
判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：画出的表格，如图所示，则表内不同的数有0，1，2，3，5，6，8，
从中任取2个，得到种不同的取法，其中6与8各2个，3与5各1个，
从中任取2个，它们之和大于10的取法为，，，，，，
故所求概率为

故选：
画出的表格，从中任取2个，得到种不同的取法，再结合它们之和大于10的取法，结合古典概型的概率计算公式，即可求解．
本题考查古典概型的概率的计算，属中档题．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：，
故；
所以，
解得；
故选：
直接利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用零点的关系的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的零点和方程的根的关系，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：在中，由余弦定理得，
又，，，
，解得，
，即，
设球心到平面ABC的距离为d，则，
当AD为球的直径时，AD取得最大值，此时D到平面ABC的距离为，
四面体ABCD的体积为
故选：
由已知求解三角形可得，求出球心到平面ABC的距离，可得当AD为球的直径时，AD取得最大值，得到D到平面ABC的距离，再由棱锥体积公式求解．
本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
 

9.【答案】BC
 

【解析】解：，，
，故A错误，
，，
，故B正确，
，故C正确，
在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：
对于A，结合复数的运算法则，以及复数模公式，即可求解，
对于B，结合共轭复数的定义，即可求解，
对于C，结合复数的运算法则，即可求解，
对于D，结合复数的运算法则，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
 

10.【答案】AB
 

【解析】解：与前一次全国人口普查对比、第五次总人数增长量高于第四次总人数增长量，故A正确，
对比这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增，故B正确，
C是高于2亿，C错误，
第七次全国人口普查城镇人口数量低于第二次全国人口普查总人口数，故D错误，
故选：
利用合情推理进行分析即可．
本题考查合情推理，考查学生的推理能力，属于基础题．
 

11.【答案】BD
 

【解析】解：如图，连接，，，设，因为，，
所以，D正确．

又M为线段AB的中点，所以又，
所以，则，得，
所以双曲线的离心率为，A不正确；
，
，B正确，C不正确．
故选：
连接，，，设，由已知，，利用双曲线的定义求得，判断D正确，根据直线的斜率把图中线段用c表示，从而求得，得离心率判断A，由数量积的定义计算数量积判断
本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线中的数量积的相关计算，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．
 

12.【答案】BCD
 

【解析】解：对于A：，，
，
，
，
，
，
，故A错误；
对于B：，
要证，
则证，
即证，
即证，
令，则，，
设，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，
恒成立，
，故B正确；
易知是递增数列，所以，
则，，
则，即，
所以…，
即，
所以，
所以，
而当时，则有，故C正确；
令函数，
则，
所以在上单调递减，
所以当时，，
则，
所以，
，
，
…，
，
所以…，D正确．
故选：
直接计算出，即可判断A选项；
构造函数函数，由，得到，进而判断B选项；
由得到，再结合累乘法得到，按照等比数列求和公式即可判断C选项；
构造函数，由得到，结合累乘法求得，按照等比数列求和公式即可判断D选项．
本题考查了函数的递推公式，综合了函数思想及单调性，考查了学生分析问题、解决问题能力及计算能力，综合性较强，属于难题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由题意，圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，
根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为，
所以
故答案为：
根据圆锥和圆柱的侧面积公式，求得圆锥和圆柱的侧面积，即可求解．
本题考查圆锥的侧面积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

14.【答案】 
 

【解析】解：由题可知，，则，即，解得，故；
当时，，解得，
当时，恒成立，
故不等式的解集为
故答案为：；
直接由代入对应解析式求解即可；分和，由不同的解析式得到不等式，解不等式取并集即可．
本题考查了分段函数的求值以及指对不等式的解法，属于中档题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：因为正数a，b满足，即，
则，
当且仅当且，即，时取等号，
故答案为：，
由已知得，然后利用基本不等式可求．
本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是乘1法的应用，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：直线l与曲线相切，切点为，
，切线的斜率为：，切线方程为：，
即
直线l与相切，切点为，
所以，切线的斜率为：，
切线方程为：，
即：
直线l是曲线与的公共切线，
可得，解得，，
所以l的方程为：
故答案为：
设出切点坐标，求解切线方程，利用两条曲线的切线方程相同，转化求解即可．
本题考查曲线的切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 

17.【答案】解：因为，
当时，，
由，解得，
又由，
当时，可得，
两式相减得，
当时，适合上式，所以，
因为为等差数列，为等比数列，所以的公比为2，
所以，所以
解：由，可得数列的前n项和为，
又由，可得数列的前n项和，
则，
所以数列的前n项和为，
所以数列的前n项和
 

【解析】根据题设条件，当时，得到，两式相减得到，结合为等差数列，为等比数列，即可求得与的通项公式；
由分别利用等差数列和等比数列的求和公式，求得与的前n项和，得到，结合裂项法求得的前n项和，即可求解．
本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：甲比两场获胜的概率为：，
甲比三场获胜的概率为：，
，即，
，
乙队赢得每一局比赛的概率为；
的可能取值为6，9，
，
，
X的分布列为：

数学期望为
 

【解析】根据甲队最终获胜的概率计算即可；根据题意列出分布列计算即可．
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为，
所以，
由余弦定理，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为B为三角形的内角，可得，
故B的最大值为
因为，可得，
由可知B为锐角，
所以，可得，
则
 

【解析】由题意得到了，根据余弦定理和基本不等式，得到，进而求得B的最大值；
由求得，得到B，化简原式即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理和基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

20.【答案】证明：底面ABC，，又，
又，，
以A为坐标原点，过A在平面ABC内作直线垂直AB为x轴，AB为y轴，AD为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，
，；
解：由知，
，，
设平面AEF的一个法向量为，
则，即，令，则，，
平面AEF的一个法向量为，
设平面ABF的一个法向量为，
则，即，令，则，，
平面ABF的一个法向量为，
，，
二面角的余弦值为
 

【解析】易求得，以A为坐标原点，过A在平面ABC内作直线垂直AB为x轴，AB为y轴，AD为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求两直线AE，DF的方向向量，利用向量法证明；
求两平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，以及二面角的余弦值的求法，属中档题．
 

21.【答案】解：由题可知，解得或舍去
故抛物线E的方程为
证明：设，
则直线PM的方程为，整理得
因为直线PM与圆C相切，所以，整理得，
同理可得，，
故，是方程的两根，
则
直线MN的方程为，
整理得
将代入直线MN的方程，得，解得，
故直线MN经过
 

【解析】直接通过点代入抛物线和点Q到焦点的距离建立方程组求解即可；
设出点M，N，表示出直线PM，利用直线PM与圆相切得到，同理得到，结合韦达定理求出，，表示出直线MN，代入即可证明．
本题主要考查抛物线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．
 

22.【答案】解：，
①当时，恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间，
②当时，令，得，
令，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
令，
则，
令，则，
令，
，
令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以有两个零点等价为有两解，
令，
，
又当时，，单调递增，不会有两个零点，舍去，
当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，
当时，，
故只需，即可有两个零点满足题意，
则，
所以，
不妨设两零点，
令，
因为，
所以，
故，
所以在递增，
又，即，，
又，
所以，且在上单调递减，
所以，
所以，得证．
 

【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的单调性，即可得出答案．
令，得，令，则，令，求导，分析的单调性，可得，则有两个零点等价为有两解，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．