专题22【精品】 最值之瓜豆原理-2022年中考数学几何模型解题策略研究（课件+讲义）

专题22 最值之瓜豆原理

一、轨迹之直线

例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．

可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．

典例精析

1．（2019•宿迁）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　．

2．（2021•新泰市模拟）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为　　

A．2 B． C． D．

3．（2021•无棣县模拟）如图，正方形的边长为7，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　．

4．（2020•东台市一模）如图，已知点，，，动点在线段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为　　．

5．（2020•兰溪市模拟）如图，，，当点在上运动时，作等腰，，则，两点间距离的最小值为　　．

6．（2020•清江浦区一模）如图，正方形的边长为2，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为底向右侧作等腰直角，连接，则的最小值为　　．

7．（2020•市中区一模）如图，正方形的边长为8，为的四等分点（靠近点的位置），为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　．

8．（2020•邗江区校级一模）如图，菱形的边长为4，，是的中点，是对角线上的动点，连接，将线段绕点按逆时针旋转，为点对应点，连接，则的最小值为　　．

二、轨迹之圆

例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，

由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，

由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；

根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．

典例精析

1．如图，在中，，，，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为 　　．

2．如图，已知点是第一象限内的一个定点，若点是以为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边三角形．当点在上运动一周时，点运动的路径长是　　．

3．如图，的半径为2，到定点的距离为5，点在上，点是线段的中点，若在上运动一周．

（1）点的运动路径是一个圆；

（2）始终是一个等边三角形，直接写出长的取值范围．

4．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为　　．

5．已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接．

（1）求证：与相切；

（2）连接，若，，求的长；

（3）若，，点是任意一点，点是弦的中点，当点在上运动一周，则点运动的路径长为　　．

6．若，以点为圆心，2为半径作圆，点为该圆上的动点，连接．

（1）如图1，取点，使为等腰直角三角形，，将点绕点顺时针旋转得到．

①点的轨迹是　圆　（填“线段”或者“圆” ；

②的最小值是　　；

（2）如图2，以为边作等边（点、、按照顺时针方向排列），在点运动过程中，求的最大值．

（3）如图3，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则的最小值为　　．

7．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点为轴下方抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积等于面积的，求此时点的坐标；

（3）如图2，以为圆心，2为半径的与轴交于、两点在右侧），若点是上一动点，连接，以为腰作等腰，使、、三点为逆时针顺序），连接．求长度的取值范围．