专题23【精品】 最值之费马点问题-2022年中考数学几何模型解题策略研究（课件+讲义）

专题23 最值之费马点问题

一、方法突破

皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．

今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．

问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．

【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．

其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！

若点P满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．

为什么P点满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC值就会最小呢？

考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP，则△APQ是等边三角形．

△APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE．

以上两步分别转化PA=PQ，PC=QE，故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．

没有对比就没有差别，我们换个P点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ，同样有△APC≌△AQE，转化PA=PQ，PC=QE，

显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE．

二、典例精析

1．在中，若其内部的点满足，则称为的费马点．如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，，则的面积为　　．

解：如图，延长交于，

，

，，

为的费马点，

，

，

，

，

中，，

，，

，

，

中，，

，

，

的面积为．

故答案为：．

2．如图，在边长为6的正方形中，点，分别为、上的动点，且始终保持．连接，以为斜边在矩形内作等腰，若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为　　．

解：设，则，

，

，

当时，最小，

此时点离最近，

，

点是和的交点，

，

过点作于点，在内部过、分别作，则，点就是费马点，此时最小，

在等腰中，，，

，

故，

解得：，则，

故，同法可得，

则，

点到点、点、点的距离之和的最小值为，

故答案为．

3．如果点是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则点叫的费马点．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，就是的费马点．若点是腰长为的等腰直角三角形的费马点，则　　．

解：如图：过点作于点，在内部过、分别作，则，点就是费马点，

在等腰中，，，

，

故，

解得：，则，

故，同法可得

则．

故答案为．

4．如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．

（1）如果点为锐角的费马点，且．

①求证：；

②若，，则　　．

（2）已知锐角，分别以、为边向外作正和正，和相交于点．如图（2）

①求的度数；

②求证：点为的费马点．

（1）证明：①，，

，

又，

，

②解：，

，

，

；

故答案为：；

（2）解：①与都为等边三角形，

，，，

，即，

在和中，

，

，

，

，

；

②证明：方法一：，

，

，

，

．

，

，

，

，

点为的费马点．

方法二：由①知：，

，

由①知：，

，，，共圆，

，

，

，

点为的费马点．

5．已知点是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则点叫的费马点．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，就是的费马点．若点是腰长为的等腰直角三角形的费马点，则　　．

解：如图：等腰中，，

过点作于点，过、分别作，

则，

故，

解得：，则，

故，

则．

故答案为：．

三、真题演练

1．如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．

（1）若点是等边三角形三条中线的交点，点　　（填是或不是）该三角形的费马点．

（2）如果点为锐角的费马点，且．求证：；

（3）已知锐角，分别以、为边向外作正和正，和相交于点．如图（2）

①求的度数；

②求证：点为的费马点．

解：（1）如图1所示：

，是的中线，

平分．

同理：平分，平分．

为等边三角形，

，．

．

同理：，．

是的费马点．

故答案为：是．

（2），，

，

又，

．

（3）如图2所示：

①与都为等边三角形，

，，，

，即，

在和中，

，

，

，

；

②证明：，

，

，

．

，

，

，

，

点为的费马点．

2．阅读下列材料，完成后面相应的任务：

费马，1601年8月17日年1月12日），生于法国南部图卢兹附近的波蒙德罗曼，被誉为业余数学家之王．1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，（三个内角均小于的三条边的张角都等于，即满足的点，就是到点，，的距离之和最小的点，后来人们把这个点称为“费马点”．

下面是“费马点”的证明过程：如图2，将绕着点逆时针旋转得到△，使得落在外，则△为等边三角形，，于是，．

任务：（1）材料中，判定△为等边三角形的依据是 　                   　．

（2）请你完成剩余的部分．

（3）如图，为锐角三角形，以为一边作等边，是的外接圆，连接交于点，求证：是的费马点．

解：（1）由题知判定依据的是顶角为等腰三角形是等边三角形；

（2）补充如下：

当，，，四点在同一直线上时有最小值为的长度，

，，

△为等边三角形，

则当，，，四点在同一直线上时，

，

，

，

满足的点，就是到点，，的距离之和最小的点；

（3）如右图，连接，，

为等边三角形，

，

又是的外接圆，

，

，

同理可得，

，

即点是的“费马点”．

3．（1）知识储备

①如图1，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：．

②定义：在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离．

（2）知识迁移

①我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法：

如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 　　的长度即为的费马距离．

②在图3中，用不同于图2的方法作出的费马点（要求尺规作图）．

（3）知识应用

①判断题（正确的打，错误的打

ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 　　；

ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部 　　．

②已知正方形，是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的

边长．

（1）①证明：在上取一点，使，连接，

是等边三角形，

，

又，

是正三角形，

，，

，

又，，

，

，

；（4分）

（2）①如图2，得：，

当、、共线时，的值最小，

线段的长度即为的费马距离，

故答案为：；（6分）

②过和分别向外作等边三角形，连接，，交点即为．（过或作外接圆视作与图2相同的方法，不得分）．（8分）

（3）①ⅰ．；

ⅱ．当三角形有一内角大于或等于时，所求三角形的费马点为三角形最大内角的顶点（10分）

故答案为：，，，；

②解：将沿点逆时针旋转到△，

如图5，过作，交的延长线于，连接，

易得：，，，，

，，

△是正三角形，

，

的最小值为，

的最小值为，

，，，在同一直线上，即，（12分）

设正方形的边长为，

，，

，

在△中，，，

得：，，

在△中，由勾股定理得：，

解得：（舍去）

正方形的边长为2．（14分）

4．皮埃尔德费马，17世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”．1638年勒笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的函数问题，费马经过思考并由此提出费马点的相关结论．

定义：若一个三角形的最大内角小于，则在其内部有一点，可使该点所对三角形三边的张角均为，此时该点叫做这个三角形的费马点．例如，如图1，点是的费马点．

请结合阅读材料，解决下列问题：

已知：如图2，锐角．

（1）尺规作图，并标明字母．

①在外，以为一边作等边．

②作的外接圆．

③连接交于点．

（2）求证：（1）中的点是的费马点．

解：根据作图步骤，作出图形，如图1所示：

（2）如图2，

连接，，

由作图知，，

是等边三角形，

，

四边形是圆内接四边形，

，

，

，

，

，

，

，

点是的费尔马点．

5．【问题情境】

如图1，在中，，，，则的外接圆的半径值为 　　．

【问题解决】

如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值．

【问题解决】

如图3，正方形是一个边长为的隔离区域设计图，为大门，点在边上，，点是正方形内设立的一个活动岗哨，到、的张角为，即，点、为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点，使得到、、三个岗哨的距离和最小，试求的最小值．（保留根号或结果精确到，参考数据，．

解：（1）如图1，作的外接圆，作直径，连接，

，

，，

，

是等边三角形，

，

设与交于点，，

在直角三角形中，

，

，

，

，

故答案为：5；

（2）如图2，

，

点在以为直径的圆上，设圆心为点，

则，

，，三点线时最小，

在直角三角形中，

，

，

的最小值为：；

（3）如图3，设所在圆的圆心为点，根据（1）可得所在圆的半径为，以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，当，，，，共线时，最小，过点作交的延长线于点，连接，则是等边三角形，过点作于交于点，连接，

四边形是正方形，

，

，

，

，

，

，，

是等边三形，且，，

，

，，

，，

，

最小值为：．

6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，，为的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点在的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）等边的顶点、在线段上，求及的长；

（3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值，以及取得最小值时，线段的长．

解：（1）过作于（1分）

，，

，

点，，

可得，；

为中点，

，

点的坐标为（2分）

抛物线经过、两点，

，

可得；

抛物线的解析式为；（3分）

（2）抛物线与轴相交于、，在的左侧，

点的坐标为

，

在中，，（4分）

过点作于，

可得

是等边三角形，

；

，或；（6分）

（写出一个给1分）

（3）如图；

以为边做等边三角形，以为边做等边三角形；

易证，，则是等边三角形；

连接、、，它们的交点即为最小时，点的位置（即费马点）；

，，，

△；

；

，而，

，

为等边三角形，

，

；

即；

如图；作正的外接圆，

根据费马点的性质知，则，而；

，；

即、、、四点共圆；

易求得，，则，；

；

由割线定理得：，

即：．

故：可以取到的最小值为

当取得最小值时，线段的长为．

（如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）

7．已知抛物线的对称轴为，与交于点，与轴负半轴交于点，作平行四边形并将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．

（1）求抛物线的解析式和点、的坐标；

（2）求平行四边形和平行四边形重叠部分△的周长；

（3）若点为内一点，直接写出的最小值（结果可以不化简）以及直线的解析式．

解：（1）由已知得，，则，抛物线的解析式为，

，令，得，

，．

（2）在中，，则，

，，

，，

△，

，

的周长为，

△的周长为；

（3）此点位费马点，设三角形的三边为，，，

，，，

．

直线解析式为．

8．如图是所在平面上一点．如果，则点就叫做费马点．

（1）当是等边三角形时，作尺规法作出费马点．（不要求写出作法，只要保留作图痕迹）

（2）已知：是等腰直角三角形，，．四边形是正方形，在上，在上，是的费马点．求：点到的距离．

（3）已知：锐角，分别以，为边向外作正和正，和相交于点．

①求的度数；

②求证：点为的费马点．

解：（1）费马点如图所示：

（2）连接，，并延长交于点．

是费马点，

．

四边形是正方形，

．

，

．

．

．

，

．

．

是等腰直角三角形，

．

，

．

（3）①，

，

，

．

②，

．

，

．

．

．

．

．

点为的费马点．