内蒙古学年鄂尔多斯市第一中学高一上学期期中考试数学试题

这是一份内蒙古学年鄂尔多斯市第一中学高一上学期期中考试数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


内蒙古鄂尔多斯市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合M={-1，1}，N={x|12＜2x+1＜4，x∈Z}，则M∩N=（　　）
A. {−1,1} B. {−1} C. {0} D. {−1,0}
2. 已知函数f（x）=lg1−x1+x，若f（a）=b，则f（-a）等于（　　）
A. b B. −b C. 1b D. −1b
3. 函数y=-ex的图象（　　）
A. 与y=ex的图象关于y轴对称
B. 与y=ex的图象关于坐标原点对称
C. 与y=e−x的图象关于y轴对称
D. 与y=e−x的图象关于坐标原点对称
4. 为了得到函数 y=3×(13)x的图象，可以把函数y=(13)x的图象（　　）
A. 向左平移 3 个单位长度 B. 向右平移 3 个单位长度
C. 向左平移 1 个单位长度 D. 向右平移 1 个单位长度
5. 下列四个数中最大的是（　　）
A. (ln2)2 B. ln(ln2) C. ln2 D. ln2
6. 若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（　　）
A. (−∞,2) B. (2,+∞)
C. (−∞,−2)∪(2,+∞) D. (−2,2)
7. 已知函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（　　）
A. f(2x)=e2x(x∈R) B. f(2x)=ln2⋅lnx(x>0)
C. f(2x)=2ex(x∈R) D. f(2x)=lnx+ln2(x>0)
8. 设f（x）=1+x21−x2，f(2018)f(2018−1)等于（　　）
A. 1 B. −1 C. 35 D. −35
9. 设函数y=x3与y=（12）x-2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（　　）
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
10. 设0＜a＜1，函数f（x）=loga（a2x-2ax-2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（　　）
A. (−∞,0) B. (0,+∞) C. (−∞,loga3) D. (loga3,+∞)
11. 函数f（x）=1+log2x与g（x）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）
A. B. C. D.
12. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）
A. [2,+∞) B. [2,+∞)
C. (0,2] D. [−2,−1]∪[2,3]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f（x）=a-12x+1，若f（x）为奇函数，则a=______．
14. 当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是______．
15. 设a=log123，b=(13)0.2，c=213，则a，b，c的大小关系是______．
16. 函数f(x)=x2−2x+2x2−5x+4的最小值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 化简下列各式：
（1）5x−23y12(−14x−1y12)(−56x13y−16)；
（2）m+m−1+2m−12+m12．







18. （1）计算（lg2）2+（lg20+2）lg5+lg4；
（2）已知log53=a，log54=b，用表示log25144







19. （1）在直角三角形ABC中，A＜B＜C，b2=ac，求sinA的值；
（2）已知a≠b，求证：a2+ab+b2＞0．







20. 已知f（x）的定义域为R，f（0）=1，对任意的x，y∈R均有f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，都有f（x）＞1．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：f（x）在R上为增函数．







21. （1）已知f（x）=x2+|x-2|-1，x∈R，判断f（x）的奇偶性；
（2）设a为实数，f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R，求f（x）的最小值．







22. 已知f（x）=2x−12x+1
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若g（x）=12[1-f（x）]，h（x）=2x•g（x）•g（x+1），x∈N+，求证：h（1）+h（2）+h（3）+……+h（x）＜13．







答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：⇔2-1＜2x+1＜22⇔-1＜x+1＜2⇔-2＜x＜1，即N={-1，0}
又M={-1，1}
∴M∩N={-1}，
故选：B．
N为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与M求交集．求
本题考查指数型不等式的解集和集合的交集，属基本题．
2.【答案】B
【解析】
解：由＞0，得-1＜x＜1，
f（-x）=lg=lg=lglg，
∴f（x）是奇函数，
∴f（-a）=-f（a）=-b．
故选：B．
判断函数的奇偶性，利用奇偶性求解函数值即可．
本题考查函数的奇偶性的判断与应用，基本知识的考查．
3.【答案】D
【解析】
解：因为点（x，y）和点（x，-y）关于x轴对称，所以y=-ex的图象与y=ex的图象关于x轴对称，故A和B错误；
因为点（x，y）和点（-x，-y）关于原点对称，所以y=-ex的图象与y=e-x的图象关于坐标原点对称
故选：D．
函数图象的对称问题，往往转化为点的对称问题．函数y=-ex与y=exx相同时，y互为相反数，故可考虑点（x，y）和点（x，-y）的对称问题；同理y=-ex的图象与y=e-x的图象的对称问题考虑点（x，y）和点（-x，-y）的对称．
本题考查函数图象的对称问题，函数图象的对称问题，往往转化为点的对称问题处理．
4.【答案】D
【解析】
解：由于函数=，故把函数的图象向右平移 1 个单位长度，可得函数的图象，
故选：D．
根据函数=，以及函数图象的变化规律，得出结论．
本题主要函数图象的变化规律，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】
解：0＜ln2＜1，∴0＜ln2＜ln2，ln（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，
因此最大的是ln2．
故选：D．
由0＜ln2＜1，∴0＜ln2＜ln2，ln（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，即可得出．
本题考查了对数的运算性质、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】
解：当x∈（-∞，0]时f（x）＜0则x∈（-2，0]．
又∵偶函数关于y轴对称．
∴f（x）＜0的解集为（-2，2），
故选：D．
偶函数图象关于y轴对称，所以只需求出（-∞，0]内的范围，再根据对称性写出解集．
本题考查了偶函数的图象特征．在解决函数性质问题时要善于使用数形结合的思想．
7.【答案】D
【解析】
解：函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，
所以f（x）是y=ex的反函数，即f（x）=lnx，
∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），
选D．
本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．
根据函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=ex的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．
本题属于基础性题，解题思路清晰，方向明确，注意抓住函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称这一特点，确认f（x）是原函数的反函数非常重要，是本题解决的突破口．
8.【答案】B
【解析】
解：根据题意，f（x）=，则f（）===-f（x），
则有=-1，即=-1；
故选：B．
根据题意，由函数的解析式分析可得f（）===-f（x），即可得=-1，即=-1；即可得答案．
本题考查函数值的计算，关键是分析f（x）与f（）的关系，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】
解：∵y=（）x-2=22-x
令g（x）=x3-22-x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，
易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）．
故选：B．
根据y=x3与y=（）x-2的图象的交点的横坐标即为g（x）=x3-22-x的零点，将问题转化为确定函数g（x）=x3-22-x的零点的所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．
本题主要考查函数的零点和方程的根的关系和零点存在性定理．考查考生的灵活转化能力和对零点存在性定理的理解．
10.【答案】C
【解析】
解：设0＜a＜1，函数f（x）=loga（a2x-2ax-2），
若f（x）＜0
则loga（a2x-2ax-2）＜0，∴a2x-2ax-2＞1
∴（ax-3）（ax+1）＞0∴ax-3＞0，∴x＜loga3，
故选：C．
结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当0＜a＜1，loga（a2x-2ax-2）＜0时，有a2x-2ax-2＞1，解可得答案．
解题中要注意0＜a＜1时复合函数的单调性，以避免出现不必要的错误．
11.【答案】D
【解析】
解：g（x）=2•（）x，∴g（x）为减函数，且经过点（0，2），排除B，C；
f（x）=1+log2x为增函数，且经过点（，0），排除A；
故选：D．
化简g（x）的解析式，利用函数的单调性和图象的截距进行判断．
本题考查了函数图象的判断，一般从函数的单调性，特殊点等方面去判断，属于中档题．
12.【答案】A
【解析】
解：（排除法）当则得，即在时恒成立，而最大值，是当时出现，故的最大值为0，则f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除B项，
同理再验证t=3时，f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除C项，t=-1时，f（x+t）≥2f（x）不成立，故排除D项
故选：A．
2f（x）=f（x），由题意可知f（x）为R上的增函数，故对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立可转化为对任意的x∈[t，t+2]恒成立，此为一次不等式恒成立，解决即可．也可取那个特值排除法．
本题考查函数单调性的应用：利用单调性处理不等式恒成立问题．将不等式化为f（a）≥f（b）形式是解题的关键．
13.【答案】12
【解析】
解：函数．若f（x）为奇函数，
则f（0）=0，
即，a=．
故答案为
因为f（x）为奇函数，而在x=0时，f（x）有意义，利用f（0）=0建立方程，求出参数a的值．
本题考查了函数的奇偶性的应用，当x=0时有意义，利用f（0）=0进行求解来得方便．
14.【答案】m≤-5
【解析】
解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立．
则由开口向上的一元二次函数f（x）图象可知f（x）=0必有△＞0，
①当图象对称轴x=-≤时，f（2）为函数最大值当f（2）≤0，得m解集为空集．
②同理当-＞时，f（1）为函数最大值，当f（1）≤0可使 x∈（1，2）时f（x）＜0．
由f（1）≤0解得m≤-5．综合①②得m范围m≤-5
法二：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立
即解得即 m≤-5
故答案为 m≤-5
①构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．②讨论对称轴x=-＞或＜时f（x）的单调性，得f（1），f（2）为两部分的最大值若满足f（1），f（2）都小于等于0即能满足x∈（1，2）时f（x）＜0，由此则可求出m的取值范围
本题考查二次函数图象讨论以及单调性问题．
15.【答案】a＜b＜c
【解析】
解：由对数的性质可知＜0，
指数的性质可知＞1；

所以a＜b＜c
故选A＜b＜c
由对数的性质判断为负；b，c为正，利用1区分b、c的大小，综合可得答案．
本题考查对数、指数函数的性质，比较大小，是基础题．
16.【答案】22+1
【解析】
解：由已知，．
又x∈[4，+∞）时，f（x）单调递增，⇒f（x）≥f（4）=+1；
而x∈（-∞，0]时，f（x）单调递减，⇒f（x）≥f（0）=0+4=4；
故最小值1
求出定义域，函数是两个复合函数的和，可由复合函数的单调性判断出两个复合函数的单调性，再由单调性的判断规则增函数加增函数是增函数，减函数加减函数是减函数判断出f（x）的单调性．求最值即可．
考查复合函数单调性的判断方法，依据单调性求函数的最值，训练学生对利用单调性求最值的方法．
17.【答案】解：（1）5x−23y12(−14x−1y12)(−56x13y−16)=(5×4×65)x−23+1−13y12−12+16=24y16；
（2）m+m−1+2m−12+m12=(m12+m−12)2m−12+m12=m12+m−12．
【解析】

直接利用有理指数幂的运算性质对（1）（2）化简求值．
本题考查有理指数幂与根式，是基础的计算题．
18.【答案】解：（1）原式=（lg2）2+lg2lg5+3lg5+lg4=lg2（lg2+lg5）+lg5+2（lg2+lg5）=lg2+lg5+2=3．
（2）∵log53=a，log54=b，
∴log25144=log512=log53+log54=a+b．
【解析】

（1）利用对数运算性质及其lg2+lg5=1即可得出．
（2）利用对数运算性质即可得出．
本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：（1）∵直角三角形ABC中，A＜B＜C，可得：C=π2，
∴sinC=1，
又b2=ac，
∴c2=a2+b2=a2+ac，
∴利用正弦定理化简得：sin2C=sin2A+sinAsinC，即sin2A+sinA-1=0，
∴解得：sinA=5−12，负值舍去．
（2）证明：a2+ab+b2
=a2+ab+14b2+34b2
=（a+b2）2+34b2，
由（a+b2）2≥0，34b2≥0，可得（a+b2）2+34b2≥0，
当a=b=0时，取得等号．
由于a≠b，
可得：a2+ab+b2＞0．得证．
【解析】

（1）利用勾股定理列出关系式，将已知等式代入，利用正弦定理化简即可求出sinA的值．
（2）运用配方法可得，a2+ab+b2=（a+）2+b2，再由非负数的思想，即可得证．
此题考查了正弦定理的应用，考查了不等式的证明，注意运用配方的思想方法，以及非负数的概念，考查了方程思想，属于中档题．
20.【答案】解：（1）根据题意，对任意的x，y∈R均有f（x+y）=f（x）•f（y），
有f（x）=f（x2+x2）=f（x2）f（x2）≥0，
又由f（0）=1，则f（x+（-x））=f（x）•f（-x）=1，则f（x）≠0，
故f（x）＞0；
（2）设x1＜x2，则x2-x1＞0，
f（x2-x1）=f[x2+（-x1）]=f（x2）f（-x1）=f(x2)f(x1)＞1，
则有f（x2）＞f（x1），
即函数f（x）为增函数．
【解析】

（1）根据题意，分析可得f（x）=f（+）=f（）f（）≥0，又由f（0）=1变形可得f（x+（-x））=f（x）•f（-x）=1，分析可得f（x）≠0，综合即可得答案；
（2）设x1＜x2，则x2-x1＞0，结合题意分析可得f（x2-x1）=f[x2+（-x1）]=f（x2）f（-x1）=＞1，进而分析可得结论．
本题考查抽象函数的应用，关键是用特殊值法分析，属于基础题．
21.【答案】解：（1）根据题意，f（x）=x2+|x-2|-1，则f（-x）=x2+|x+2|-1，
则有f（x）≠f（-x）且f（x）≠f（x），
即函数f（x）为非奇非偶函数；
（2）根据题意，f（x）=x2+|x-a|+1=x2−x+a+1,x 分析可得：当a＜-12时，f（x）min=f（-12）=34-a，
当-12≤a≤12时，f（x）min=f（a）=a2+1，
当a＞12时，f（x）min=f（12）=34+a，
综合可得：当a＜-12时，f（x）min=34-a，
当-12≤a≤12时，f（x）min=a2+1，
当a＞12时，f（x）min=34+a．
【解析】

（1）根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）≠f（-x）且f（x）≠f（x），结合函数奇偶性的定义分析可得答案；
（2）根据题意，f（x）=x2+|x-a|+1=，结合二次函数的性质分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性以及函数的最值，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
22.【答案】解：（1）f（x）=2x−12x+1=2x+1−22x+1=1-22x+1，函数的定义域为R，
∵y=2x+1为增函数，则y=22x+1为减函数，则1-22x+1为增函数，此时f（x）为增函数．
（2）g（x）=12[1-f（x）]=12[1-2x−12x+1]=12x+1，
h（x）=2x•g（x）•g（x+1）=2x•12x+1•12x+1+1=12x+1-12x+1+1，
则h（1）+h（2）+h（3）+……+h（x）=13-15+15-17+…+12x+1-12x+1+1=13-12x+1+1，
∵12x+1+1＞0，∴13-12x+1+1＜13，
即h（1）+h（2）+h（3）+……+h（x）＜13成立．
【解析】

（1）利用分子常数化，结合指数函数的单调性进行判断即可．
（2）求出函数g（x），h（x）的解析式，利用裂项法进行求解证明即可．
本题主要考查函数单调性的判断和不等式的证明，利用分子常数法以及裂项法是解决本题的关键．