宁夏学年平罗中学高一上学期期中考试数学试题

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这是一份宁夏学年平罗中学高一上学期期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
设集合A={x|2x+1＜3}，B={x|-3＜x＜2}，则A∩B等于（）
A. {x|−3−3}D. {x|x<1}
若全集U={0，1，2，3}且∁UA={2}，则集合A的真子集共有（）
A. 3个B. 5个C. 7个D. 8个
下列各组函数中f（x）和g（x）表示相同的函数的是（）
A. f(x)=lgx2，g(x)=2lgx
B. f(x)=x，g(x)=x2
C. f(x)=1(x∈R且x≠0)，g(x)=x|x|
D. f(x)=x，g(x)=3x3
函数y=2x−3+1x−3的定义域为（）
A. [32,+∞)B. (−∞,3)∪(3,+∞)
C. [32,3)∪(3,+∞)D. (3,+∞)
下列函数中，是偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数的是（）
A. y=3−xB. y=−x2+4C. y=1xD. y=|x|
设a=lg123，b=（13）0.2，c=213，则a、b、c的大小顺序为（）
A. b已知函数f(x)=3x(x≤0)lg2x(x>0)，则f[f(14)]的值是（）
A. 9B. 19C. −19D. −9
函数f（x）=-x2-2x+3在[-5，2]上的最小值和最大值分别为（）
A. −12，−5B. −12，4C. −13，4D. −10，6
已知lga23＜1，则a的取值范围是（）
A. (0,23)∪(1,+∞)B. (23,+∞)C. (23, 1)D. (0,23)∪(23,+∞)
若f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（4，+∞）上是增函数，那么实数a的取值范围是（）
A. a≥3B. a≥−3C. a≤−3D. a≤5
函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）
A. B.
C. D.
若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是减函数，又f（-2）=0，则不等式f(x)x＜0的解集为（）
A. (−2,0)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(0,2)
C. (−2,0)∪(0,2)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
lg416-lg23•lg32=______．
函数y=ax-3+3恒过定点______．
已知幂函数y=(m2−5m+7)xm2−6在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为______．
对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.14]=3，[-1.08]=-2，定义函数f（x）=x-[x]，则下列命题中正确的是______
①函数f（x）的最大值为1； ②函数f（x）的最小值为0；
③方程f（x）-12=0有无数个根； ④函数f（x）是增函数．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
计算下列各式的值：
（1）（94）12-（-2.5）0-（827）23+（32）-2；
（2）lg381+lg20+lg5+4lg42+lg51
已知全集U=R，集合A={x|x＜-4，或x＞1}，B={x|-3≤x-1≤2}，
（1）求A∩B、（∁UA）∪B；
（2）若集合M={x|2k-1≤x≤2k+1}是集合B的子集，求实数k的取值范围．
已知函数f（x）=lg31+x1−x．
（1）求函数的定义域．
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明．
已知函数f（x）=x|x-m|（x∈R），且f（1）=0．
（1）求m的值，并用分段函数的形式来表示f（x）；
（2）在如图给定的直角坐标系内作出函数f（x）的草图（不用列表描点）；
（3）由图象指出函数f（x）的单调区间．
已知函数f（x）=ax+b1+x2是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=12，
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．
已知函数f（x）=lga（ax-1）（a＞0，a≠1）
（1）讨论函数f（x）的定义域；
（2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）；
（3）当a=2时，不等式f（x）-lg2（1+2x）＞m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：∵A={x|2x+1＜3}={x|x＜1}，B={x|-3＜x＜2}，
∴A∩B={x|-3＜x＜1}
故选：A．
先化简集合A，再根据并集的定义，求出A∪B
本题考查交集及其运算，解题的关键是理解交集的定义，熟练掌握交的运算求交集．
2.【答案】C
【解析】
解：∵U={0，1，2，3}且CUA={2}，
∴A={0，1，3}
∴集合A的真子集共有23-1=7
故选：C．
利用集合中含n个元素，其真子集的个数为2n-1个，求出集合的真子集的个数．
求一个集合的子集、真子集的个数可以利用公式：若一个集合含n个元素，其子集的个数为2n，真子集的个数为2n-1．
3.【答案】D
【解析】
解：A．f（x）=lgx2的定义域为{x|x≠0}，g（x）=2lgx的定义域为{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；
B.，解析式不同，不是相同函数；
C．f（x）=1（x∈R，且x≠0），，解析式不同，不是相同函数；
D．f（x）=x的定义域为R，的定义域为R，解析式和定义域都相同，是相同函数．
故选：D．
通过求定义域可判断选项A的两函数不相同，通过化简解析式可看出选项B，C的两函数不相同，只能选D．
考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同．
4.【答案】C
【解析】
解：函数y=+，
∴，
解得x≥且x≠3；
∴函数y的定义域为[，3）∪（3，+∞）．
故选：C．
根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．
5.【答案】D
【解析】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=3-x，是一次函数，为非奇非偶函数，不符合题意，
对于B，y=-x2+4，为二次函数，是偶函数，但在区间（0，+∞）上为减函数，不符合题意；
对于C，y=为反比例函数，是奇函数，不符合题意；
对于D，y=|x|=，为偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；
故选：D．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性、奇偶性，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】
解：∵a=3＜0，0＜b=（）0.2＜1，c=＞1，
∴a＜b＜c．
故选：D．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】
解：=f（lg2）=f（lg22-2）=f（-2）=3-2=，
故选：B．
因为，所以f（）=lg2=lg22-2=-2≤0，f（-2）=3-2=，故本题得解．
本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．
8.【答案】B
【解析】
解：函数f（x）=-x2-2x+3的对称轴为x=-1，开口朝下
对称轴x=-1∈[-5，2]内，
∴f（x）在x=-1处取得最大值为f（-1）=4，
f（x）在x=-5处取得最小值为f（-5）=-12，
故选：B．
根据题意求出函数f（x）=-x2-2x+3的对称轴为x=-1，开口朝下，判断对称轴x=-1∈[-5，2]内．
本题主要考查了二次函数的性质，函数图形特征，属简单题．
9.【答案】A
【解析】
解：∵∴
①当a＞1时，a＞∴a＞1
②当0＜a＜1时，a＜∴0＜a＜
综上：a的取值范围是；
故选：A．
题目条件可化为：利用对数函数的单调性与特殊点，分类讨论即可得a的取值范围．
本题主要考查了对数函数的单调性与特殊点，同时考查了分类讨论的思想方法，是个基础题．
10.【答案】B
【解析】
解：二次函数f（x）=x2+2（a-1）x+2是开口向上的二次函数，
对称轴为x=1-a，
∴二次函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在[1-a，+∞）上是增函数，
∵在区间（4，+∞）上是增函数，
∴1-a≤4，
解得：a≥-3．
故选：B．
根据二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，先求出函数的对称轴，然后结合开口方向可知（4，+∞）是[1-a，+∞）的子集即可．
本题主要考查了二次函数的单调性的运用，注意讨论对称轴和区间的关系，二次函数是高考中的热点问题，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】
解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，
∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，
综上只有A符合．
故选：A．
∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，
在令x取特殊值，选出答案．
对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．
12.【答案】D
【解析】
解：根据题意，函数f（x）为定义在R上的奇函数，且f（-2）=0，则f（2）=-f（-2）=0，
函数f（x）在（0，+∞）内是减函数，且f（2）=0，
则在（0，2）上，f（x）＞0，在（2，+∞）上，f（x）＜0，
又由函数f（x）为奇函数，则在（-2，0）上，f（x）＜0，在（-∞，-2）上，f（x）＞0，
⇒或，
解可得：x＜-2或x＞2，
即不等式的解集为（-∞，-2）∪（2，+∞）；
故选：D．
根据题意，由奇函数的性质可得f（2）=0，结合函数的单调性可得在（0，2）上，f（x）＞0，在（2，+∞）上，f（x）＜0，结合函数的奇偶性可得在（-2，0）上，f（x）＜0，在（-∞，-2）上，f（x）＞0，又由⇒或，分析可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
13.【答案】1
【解析】
解：原式=2-=2-1=1．
故答案为：1．
利用对数运算性质、换底公式即可得出．
本题考查了对数运算性质、换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】（3，4）
【解析】
解：因为函数y=ax恒过（0，1），
而函数y=ax-3+3可以看作是函数y=ax向右平移3个单位，图象向上平移3个单位得到的，
所以y=ax-3+3恒过定点（3，4）
故答案为：（3，4）
利用函数图象平移，找出指数函数的特殊点定点，平移后的图象的定点容易确定．
本题是基础题，利用函数图象的平移，确定函数图象过定点，是解决这类问题的常用方法，牢记基本函数的特殊性是解好题目的关键．
15.【答案】3
【解析】
解：由题意，∵幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，
∴
∴m=3
故答案为：3
利用幂函数的定义，及在区间（0，+∞）上单调递增，建立关系式，即可求实数m的值．
本题考查幂函数的定义与性质，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】②③
【解析】
解：对于①，由题意可知f（x）=x-[x]∈[0，1），∴函数f（x）无最大值，①错误；
对于②，由f（x）的值域为[0，1），∴函数f（x）的最小值为0，②正确；
对于③，函数f（x）每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，
所以方程f（x）-有无数个根，③正确；
对于④，函数f（x）在定义域R上是周期函数，不是增函数，④错误；
综上，正确的命题序号是②③．
故答案为：②③．
先理解函数f（x）=x-[x]的含义，再针对选项对该函数的最值、单调性以及周期性进行分析、判断正误即可．
本题考查新定义的函数性质与应用问题，也考查了分析问题与解答问题能力，是中档题．
17.【答案】解：（1）原式=(32)2×12-1-(23)3×23+(23)−1×(−2)=32-1-49+49=12．
（2）原式=4+lg100+2+0
=8．
【解析】
（1）利用指数运算性质即可得出．
（2）利用对数运算性质即可得出．
本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：（1）∵A={x|x＜-4，或x＞1}，B={x|-3≤x-1≤2}，
∴B={x|-2≤x≤3}，
∴A∩B={x|1＜x≤3}，∁UA={x|-4≤x≤1}，
则（∁UA）∪B={x|-4≤x≤3}；
（2）若集合M={x|2k-1≤x≤2k+1}是集合B的子集
则2k−1≥−22k+1≤3得k≤1k≥−12，得-12≤k≤1，即实数k的取值范围是-12≤k≤1．
【解析】
（1）求出集合B的等价条件，结合补集，交集，并集的定义进行求解即可．
（2）结合子集定义转化为不等式关系进行求解．
本题主要考查集合的基本运算，结合子集的关系进行转化是解决本题的关键．
19.【答案】解：（1）根据题意，f（x）=lg31+x1−x，必有1+x1−x＞0，
解可得：-1＜x＜1，
即函数的定义域为（-1，1）；
（2）函数f（x）为奇函数，
证明：f（x）=lg31+x1−x，其定义域为（-1，1），关于原点对称，
且f（-x）=lg31−x1+x=-lg31+x1−x=-f（x），
则函数f（x）为奇函数．
【解析】
（1）根据题意，由函数的解析式可得＞0，解可得x的取值范围，即可得答案；
（2）根据题意，分析函数的定义域可得其定义域关于原点对称，又由f（-x）=lg3=-lg3=-f（x），分析可得结论．
本题考查函数的奇偶性的判断以及函数定义域的计算，关键是掌握对数函数的性质，属于基础题．
20.【答案】解：（1）∵f（1）=0，
∴|m-1|=0，
即m=1；
∴f（x）=x|x-1|=−x2+x(x<1)x2−x(x≥1)．
（2）函数图象如图：
（3）函数单调区间：
递增区间：(−∞，12]，[1，+∞)，
递减区间：[12，1]．
【解析】
（1）根据条件f（1）=0，求m的值即可．
（2）利用函数作出函数图象．
（3）根据函数图象判断函数的单调区间即可．
本题主要考查分段函数的应用，考查学生的视图和用图能力，比较基础．
21.【答案】解：（1）依题意得f(0)=0f(1)=12，
即b1+02=0a+b1+1=12，得b=0a=1，
∴f（x）=x1+x2；
（2）证明：任取-1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）
=x11+x12-x21+x22
=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)，
∵-1＜x1＜x2＜1
∴，x1-x2＜0，1+x12＞0，1+x22＞0
又∵-1＜x1x2＜1，
∴1-x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴-1＜t-1＜-t＜1，
解得：0≤t＜12．
【解析】
（1）由f（0）=0，解得b的值，再根据f（1）=，解得a的值，从而求得f（x）的解析式．
（2）设-1＜x1＜x2＜1，求得f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，可得函数f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）由不等式f（t-1）+f（t）＜0，可得f（t-1）＜f（-t），可得关于t的不等式组，由此求得t的范围
本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：（1）由ax-1＞0，得ax＞1．
当a＞1时，x＞0；
当0＜a＜1时，x＜0．
所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（-∞，0）．
（2）当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则ax1＜ax2，所以ax1-1＜ax2-1．
因为a＞1，所以lga（ax1-1）＜lga（ax2-1），即f（x1）＜f（x2）．
故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵f（x）＜f（1）；
∴ax-1＜a-1，
∵a＞1，
∴x＜1，
又∵x＞0，
∴0＜x＜1；
（3）∵令g（x）=f（x）-lg2（1+2x）=lg2（1-22x+1)在[1，3]上是单调增函数，
∴g（x）min=-lg23，
∵m＜g（x），
∴m＜-lg23．
【解析】
（1）由ax-1＞0，得ax＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域
（2）根据函数的单调性解答即可；
（3）令g（x）=f（x）-lg2（1+2x）=lg2（1-在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．
本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．

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