江苏省南京市金陵中学河西分校2021-2022学年高一下学期期中检测数学试卷（含答案）

金陵中学河西分校2021－2022学年度第二学期期中检测

高一数学

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知复数z满足(1＋i)z＝3－i，则z在复平面内对应的点为(    )

A．(2，1)          B．(1，2)         C．(2，－1)        D．(1，－2)

2．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，0)，若(λa－b)⊥a，则实数λ＝(    )

A．0              B．              C．1              D．3

3．在△ABC中，a＝3，b＝6，sinA＝，则B等于(    )

A．              B．             C．或          D．或

4．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是(    )

A．△ABC是钝角三角形

B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形

C．△ABC是等腰直角三角形

D．△ABC是等边三角形

5．每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图，若点G、H、M、N分别是正八面体ABCDEF的棱DE、BC、AD、BF的中点，则下列结论正确的是(    )

A．GH⊥平面FBC                 B．GH与MN是异面直线

C．GH//平面EAB                  D．MN与GH是相交直线

6．已知，则等于(    )

A．         B．            C．           D．

7．已知向量a，b满足|a|＝4，|b|＝5，a·b＝4，则cos<a，a＋b>＝(    )

A．          B．            C．           D．

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为(    )

A．      B．            C．4             D．6

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9．下列各式的值等于的是(    )

A．2sin67.5°cos67.5°               B．2cos2－1

C．                    D．

10．已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是(    )

A．复数z的虚部为               B．

C．z2＝z－1                       D．复数z的共辄复数为

11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是(    )

A．AC⊥BD1

B．A1P的最小值为

C．A1P⊥平面ACD1

D．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是[，]

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2C＝tanA(2sin2C＋cosC－2)，则下列结论中错误的是(    )

A．△ABC可能是直角三角形               B．角B可能是钝角

C．必有A＝2B                           D．可能有a＝2b

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分)

13．在△ABC中，bc＝20，，△ABC的外接圆的半径为3，则a＝         ．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的项点A、B分别在x轴非负半轴和y轴非负半轴上，顶点C在第一象限内，AB＝2，BC＝1，设∠DAx＝θ，若，则·的值为         ．

第14题

15．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC、BC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为         ．

16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，C，满足cosAsinBsinC＋cosBsinAsinC＝2cosCsinAsinB，则C的最大值为         ．

四、解答题(本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)

若复数z＝(m2＋m－6)＋(m2－m－2)i(m∈R，i是虚数单位)

(1)若z是纯虚数，求m的值：

(2)在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．

18．(本小题满分12分)

如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA＝AD．

(1)求证：AF//平面PEC；

(2)求证：AF⊥平面PCD．

第18题

19．(本小题满分12分)

已知平面向量a＝(cosα，sinβ＋2sinα)，b＝(sinα，cosβ－2cosα)，且a∥b．

(1)求cos(α＋β)的值；

(2)若α，β∈(0，)，且tanα＝，求2α＋β的值．

20．(本小题满分12分)

在平行四边形ABCD中，M．N分别是线段AB，BC的中点．

(1)令＝a，＝b，试用向量a，b表示，；

(2)若DM＝1，DN＝2，，求a·b的值．

第20题

21．(本小题满分12分)

在①3asinC＝4ccosA；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知          ，．

(1)求sinA：

(2)如图，M为边AC上一点，MC＝MB，∠ABM，求△ABC的面积．

第21题

22．(本小题满分12分)

阅读下面材料：

sin3θ＝sin(2θ＋θ)

＝sin2cosθ＋cos2θsinθ

＝，

解答下列问题：

(1)用cosθ表示cos3θ；

(2)若函数f(x)＝，其中a∈R，x∈(0，)，f(x)＜0有解，求a的取值范围．