专题05 二次函数最值

1．如图，，两点的坐标分别是，，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于，两点在的左侧），点横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值是　　

A．1 B．3 C．5 D．6

【解答】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为3，则；

当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，；

由于此时点横坐标最大，

故点的横坐标最大值为5．

故选：．

2．当时，二次函数有最大值4，则实数的值为　　

A． B．或 C．2或 D．2或或

【解答】解：二次函数的对称轴为直线，

①时，时二次函数有最大值，

此时，

解得，与矛盾，故值不存在；

②当时，时，二次函数有最大值，

此时，，

解得，（舍去）；

③当时，时二次函数有最大值，

此时，，

解得，

综上所述，的值为2或．

故选：．

3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点，（点在的左侧），当时，函数的最大值为8，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：在中，开口向下，对称轴为，

当时，，在处取得最大值，

（不合题意，舍），

当时，，在处取得最大值，

，

故选：．

4．二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为　　

A． B．2 C． D．

【解答】解：二次函数的大致图象如下：

．

①当时，当时取最小值，即，

解得：或（舍去）．

当时取最大值，即，

解得：或（均不合题意，舍去）；

②当时，当时取最小值，即，

解得：．

当时取最大值，即，

解得：，

③当时，时取最小值，时取最大值，

，，

，

，

此种情形不合题意，

所以．

故选：．

5．当时，函数的最小值为1，则的值为　　

A．1 B．2 C．1或2 D．0或3

【解答】解：当时，有，

解得：，．

当时，函数有最小值1，

或，

或，

故选：．

6．如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为．若要在轴上找一点，使得最小，则点的坐标为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，

作点关于轴的对称点，

连接交轴于点，

将点坐标代入抛物线，并联立对称轴，得

，

解得，

，

．

点关于轴的对称点，

设的解析式为，

将、代入函数解析式，得

，

解得，

的解析式为，

当时，，即，

故选：．

7．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点．连接，，当最大时，点的坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：当、、三点共线时，最大，则直线与对称轴的交点即为点．

由线可知，，，

对称轴

设直线为．

，

解得

直线解析式为，

当时，，

，

故选：．

8．定义：，，若函数，，则该函数的最大值为　　

A．0 B．2 C．3 D．4

【解答】解：，

解得或．

，

把代入得，

函数最大值为．

故选：．

9．若，，表示，，三个数中的最小值，当，，时，则的最大值是　　

A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解：解方程得：或，（因为，舍去），

解方程得：，

解方程得：，（因为，舍去），

当时，的最大值是点的纵坐标；

当时，的最大值是点的纵坐标；

当时，的最大值是点的纵坐标；

如图所示：

，

即的最大值是5，

故选：．

10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为　　

A． B．4 C． D．5

【解答】解：，，，

，

，

，

，

当时，有最大值为．

故选：．

11．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为，直线经过点，与抛物线的对称轴交于点，点是对称轴上的一个动点，若的值最小，则点的坐标为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，过点作轴于，作点关于抛物线对称轴的对称点’，

连接’， ’，过点作’交抛物线对称轴于点，此时点到’ 距离最小

抛物线

，

直线

，

当、、三点共线时最小．

．

故选：．

12．已知二次函数与正比例函数的两个交点关于原点对称，当时，二次函数的最大值是，则的值是　　

A． B．或3 C．0或4 D．4或

【解答】解：整理方程得：，

二次函数与正比例函数的两个交点关于原点对称，

由根与系数的关系定理得：，

，

该抛物线的对称轴为直线

分为两种情况：

①当时，二次函数的图象在上是上升的，

当时，二次函数取得最大值，

，

解之得：，（不符合题意，舍去）；

②当，即时，二次函数的图象在上是下降的，

当时，二次函数取得最大值，

，

解之得：，（不符合题意，舍去）．

综上所述，的值是4或．

故选：．

13．二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为　　

A． B．7 C． D．10

【解答】方法一：解：抛物线的开口向上，顶点纵坐标为，

．

，即，

一元二次方程有实数根，

△，即，解得，

的最大值为7，

方法二：解：一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点，

由图象得，，解得，

的最大值为7，

故选：．

14．二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为　　

A．0 B． C． D．

【解答】解：二次函数的大致图象如下：

．

①当时，当时取最小值，即，

解得：或（舍去）．

当时取最大值，即，

解得：或（均不合题意，舍去）；

②当时，当时取最小值，即，

解得：或（舍去）．

当时取最大值，即，

解得：，

或时取最小值，时取最大值，

，，

，

，

此种情形不合题意，

所以．

故选：．

15．函数，当时，此函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

该函数图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，

和对应的函数值相等，

当时，此函数的最小值为，最大值为1，当时，，

，

故选：．

16．如图，一条抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动，点，的坐标分别为，，点的横坐标的最大值为4，则点的横坐标的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：当图象顶点在点时，点的横坐标的最大值为4，

则此时抛物线的表达式为：，

把点的坐标代入得：，

解得：，

当顶点在点时，点的横坐标为最小，

此时抛物线的表达式为：，

令，则或1，

即点的横坐标的最小值为，

故选：．

17．已知二次函数为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，则的值为　　

A． B．或1 C．或5 D．或7

【解答】解：二次函数，

该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下，该函数有最大值5，

，与其对应的函数值的最大值为，

当时，时，，解得，（舍去）；

当时，该函数的最大值是5，与题意不符；

当时，时，，解得（舍去），；

由上可得，的值是或7，

故选：．

18．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），下列结论错误的是　　

A．图象具有对称性，对称轴是直线 

B．当或时，函数值随值的增大而增大 

C．当或时，函数最小值是0 

D．当时，函数的最大值是4

【解答】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故正确；

令可得，

，

，，

和是函数图象与轴的交点坐标，

又对称轴是直线，

当或时，函数值随值的增大而增大，故正确；

由图象可知和是函数图象的最低点，则当或时，函数最小值是0，故正确；

由图象可知，当时，函数值随的减小而增大，当时，函数值随的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，

故当时的函数值4并非最大值，故错误．

综上，只有错误．

故选：．

19．已知抛物线的顶点在直线上，且该抛物线与轴的交点的纵坐标为，则的最大值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，可设抛物线的顶点坐标为．

，．

，．

．

当时，．

．

的最大值为．

故选：．

20．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：令，即，

由题意可得，图象上有且只有一个完美点，

式△，则．

又方程根为，

，．

函数，

该二次函数图象如图所示，顶点坐标为，

与轴交点为，根据对称规律，

点也是该二次函数图象上的点．

在左侧，随的增大而增大；在右侧，随的增大而减小；且当 时，函数的最大值为1，最小值为，则．

故选：．