专题01 数字规律

1．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为96，我们发现第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24，，则第2022次输出的结果为         ．

【解答】解：第一次输出结果为，

第二次输出结果为，

第三次输出结果为，

第四次输出结果为，

第五次输出结果为，

第六次输出结果为，

第七次输出结果为，

，

从第4次开始，以6，3不断循环出现，

，

依此类推，第2022次输出结果为6，

故答案为：6．

2．观察一列数：根据规律，则第个数是         ．

【解答】解：，

，

，

，

第个数为：，

故答案为：．

3．例．求的值．

解：可设，则

因此，所以．

请仿照以上过程计算出：         ．

【解答】解：设，

则，

，即，

所以，

即．

故答案为：．

4．1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，求的值为         ．

【解答】解：由图可得，

，，，

，

故答案为：16．

5．观察下列各式：，，，根据观察计算：         ．为正整数）

【解答】解：

，

故答案为：．

6．观察下列等式：

①；

②；

③；

④；

根据此规律，的结果为         ．

【解答】解：①；

②；

③；

④；

．

故答案为：784．

7．为了保密，许多情况下都要采用密码进行交流，这时就要有破译密码的“钥匙”．英语字母表中字母顺序是按以下顺序排列的：，如果规定又接在的后面，使26个字母排成一个圈．代数式“”代表把一个字母换成字母圈中从它开始逆时针移动2位的字母，例如：密码“”表示“”，翻译成汉语就是“我”，又如密码“”表示“”，翻译成汉语就是“钢笔”，此时代数式“”就是破译此密码的“钥匙”，如果密码“”的钥匙是“”，则此密码翻译成汉语就是         ．

【解答】解：密码的钥匙是“”，

密码“”应表示“”，

翻译成汉语就是：我是一位学生，

故答案为：我是一位学生．

8．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，，则第2022次输出的结果为         ．

【解答】解：由设计的程序知，依次输出的结果是25，32，16，8，4，2，1，8，4，2，，发现从第4个数开始，以8，4，2，1循环出现，

则，，

故第2022次输出的结果是2．

故答案为：2．

9．若是不等于1的数．我们把称为的差倒数．如2的差倒数是，的差倒数为．现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则         ．

【解答】解：根据差倒数的定义可得出：，

，

，

，

，

由此发现该组数每3个一循环．

，

．

故答案为：．

10．观察下列多项式：，，，，按此规律，则第个多项式是         ．

【解答】解：，，，，

第个多项式为：．

故答案为：．

11．一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，，，，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第6个数据是         ．

【解答】解：，，，，，

第个光谱数据可表示为，

第6个数据是，

故答案为：．

12．已知，，，，，，推测的个位数字是         ．

【解答】解：，，，，，，，

的个位数字按3，9，7，1四次一循环的规律出现，

，

的个位数字是9，

故答案为：9．

13．观察下列等式：

①；②；③．

计算：的结果为         ．

【解答】解：

，

故答案为：．

14．杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨超所著的《详解九章算术》年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律，观察下列各式及其展开式：请你猜想展开式的第三项的系数是         ．

【解答】解：依据规律可得到：的展开式的系数是杨辉三角第10行的数，

第3行第三个数为1，

第4行第三个数为，

第5行第三个数为，

第10行第三个数为：．

故答案为：36．

15．按一定规律排列的单项式：，，，，，则第2021个单项式是          ．

【解答】解：一列单项式为：，，，，，，，

第个单项式为，

当时，这个单项式是，

故答案为：．

16．将自然数按以下规律排列：

表中数1在第一行，第一列，与有序数对对应；数2在第二行，第一列，与有序数对对应；数8与对应；数9与对应；数10与对应；根据这一规律，数2021对应的有序数对为          ．

【解答】解：设第行第一个数为为正整数），

观察发现规律：，，，，

．

当时，，向右依次减小，

数2021对应的有序数对为．

故答案为：．

17．按一定规律排列的单项式：，，，，，，，，第2021个单项式是          ．

【解答】解：，

，

，

，

，

，

由上规律可知，第个单项式为：，

个单项式是，

故答案为．

18．观察以下等式：

第1个等式：，

第2个等式：，

第3个等式：，

第4个等式：，

按照以上规律，写出第个等式：            ．（用含的代数式表示）

【解答】解：第1个等式：，

第2个等式：，

第3个等式：，

第4个等式：，

第个等式：；

故答案为：．

19．黑色圆点按如图所示的规律进行排列，则各图中黑色圆点的个数形成一列数据，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一列新数据，则新数据中的第40个数是         ．

【解答】解：第1个图形中的黑色圆点的个数为：1，

第2个图形中的黑色圆点的个数为：，

第3个图形中的黑色圆点的个数为：，

第4个图形中的黑色圆点的个数为：，

第个图形中的黑色圆点的个数为，

则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，，

其中每3个数中，都有2个能被3整除，

，

，

则第40个被3整除的数为原数列中第60个数，即，

故答案为：1830．

20．从大拇指食指中指无名指小指无名指中指食指大拇指食指的顺序，依次数正整数1，2，3，4，5，以此类推，当第3次数到中指时，这个数是         ，当数到2022时，在         指上．

【解答】解：第一次数到中指时是3，

第二次时是，

第三次是，

从1开始，每8个数为一个循环组依次循环，

，

即数到2022时，在无名指上．

故答案为：11；无名．