2021吉林省吉林市高三上学期数学理第二次调研测试题答案

2021届吉林省吉林市高三上学期数学理第二次调研测试题答案

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.

二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.

13.      14.         15.        16. 内心  (2分)，    （3分）

17．【解析】

（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，所以......................1分

又是和的等比中项，有...............2分

即，得.........................................4分

，所以数列的通项公式.................5分

（Ⅱ）...........................7分

...................10分

18.【解析】

（1）∵，，且与平行．

∴       ...................................................1分

∴

...........................................................3分

.................................................................5分

，........................................................6分

（2）设，则......................................................7分

由（1）知，，，.............................9分

在中，由余弦定理知，

即，解得................................10分

..............................................................11分

所以..........................12分        

19.【解析】

（Ⅰ）为正三角形，且为中点，...........................1分

平面平面

平面..............................................................2分

平面平面.................................................3分

平面..........................................................4分

（2）取的中点，连接在正方形中，为中点,,由（Ⅰ）知，平面，所以以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系.................................................6分

，，，

,,

设平面法向量为

则，取,得...............................9分

...................................11分

设与平面所成角，则

所以与平面所成角的正弦值为....................................12分

方法二：连接，在等边三角形中，

所以...........................5分

在直角三角形中，

所以...........................6分

由（1）知平面，所以与都是直角三角形，

  所以 ........................................7分

.......................................8分

设到平面的距离为

由得

即，解得.......................................10分

设与平面所成的角为

则.....................................................11分

所以与平面所成角的正弦值为......................................12分

20.【解析】

（Ⅰ）依题意，，故..........1分

又因为，所以......................................3分

所求平均数为（小时）......5分

所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为小时......................6分

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在和的学生比例为................................................................7分

又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取人，则在中抽取人，分别记为，在中抽取人，分别记为,.........8分

则从人中随机抽取人的基本事件有

，共个...................................................10分

这人来自不同组的基本事件有：

共个，........................................................................11分

所以所求的概率.......................................................12分

解法二：由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在和的学生比例为，................................................................7分

又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取人，则在中抽取人，在中抽取人，..........................................8分

则从人中随机抽取人的基本事件总数为...................................10分

这人来自不同组的基本事件数为.........................................11分

所以所求的概率......................................................12分

21【解析】

（1）由椭圆的定义知的周长为，所以.......................1分

又因为椭圆的离心率，所以，.................................2分

联立解得，所以，..................................3分

因此所求的椭圆方程为..............................................4分

（2）设

当直线的斜率存在时，设直线方程为，.......................5分

联立消去得..................6分

则......................................7分

因为

................8分

.............9分

所以为定值，这个定值为......................................10分

当直线与轴垂直时，也有.................................11分

所以，直线与直线的斜率的和为定值0.............................12分

方法二：设，直线方程为................5分

联立消去得.........................6分

则......................................7分

因为

.................8分

................9分

所以为定值，这个定值为......................................10分

当直线与轴重合时，也有.................................11分所以，直线与直线的斜率的和为定值0.............................12分

22. 【解析】

（1），.................................................1分

解得

所以函数解析式为....................................2分

（2）函数的定义域为

..................................3分

设........................................4分

在上，恒成立

所以在上单调递减，即在上单调递减

又，则在上，在上..............5分

所以函数在上单调递增，在上单调递减....................6分

（3）构造函数，............................7分

.................................8分

设，当时，

设，且

可知在上单调递减，且

所以在上恒成立

即在上恒成立

所以在上单调递增................................................9分

不妨设，由（Ⅱ）知

即..........................................................10分

因为，所以

由（Ⅱ）知在上单调递减

得.................................................................11分

所以...............................................................12分