2021上海市嘉定区高三上学期数学一模试题答案

2021届上海市嘉定区高三上学期数学一模试题答案

一．填空题：

1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；

9、；10、；11、；12、；

二．选择题：

13、A；14、D；15、B；16、B；

三．解答题：

17、（1）由题意得

则该正四棱柱的表面积为

，

体积为 ．

（2）联结，则∥，

所以直线与所成的角就是异面直线与所成的角．在中，,

由余弦定理得

，

则得，

所以，异面直线与所成的角的大小．

18、（1）因为函数的最小正周期为，

由  ，，

又因为，所以．  

此时，则得 ，

即 ，即．

当时，，，

所以所求函数的值域为 ． 

（2）由题意得  ．

因为，则得  ，所以 ，解得 ．

因为的面积为，则得 ，即 ，

即 ．又因为 ，

由余弦定理，得  

，

所以 ．

19、（1）由题意知 当（辆/千米）时，（千米/小时），

代入  得  ，解得 ，

所以

当时，，符合题意； 

当时，令 ，解得 ，所以 ．

综上，．

答：若车流速度不小于千米/小时，则车流密度的取值范围是． 

（2）由题意得

当时，为增函数，

所以，等号当且仅当成立； 当时，

，

即 ，等号当且仅当，

即成立．

综上，的最大值约为，此时约为．

答：隧道内车流量的最大值约为辆/小时，此时车流密度约为辆/千米．

20、（1）解：由题意得  ，解得 分

把点的坐标代入椭圆的方程 ，得，

由于 ，解得 ．

所以所求的椭圆的标准方程为 ．

（2）解：因为， 则得 ，即，

又因为 ，所以直线的方程为 ．

由 解得 （舍去）或，即得 ．

所以 ，

即线段的长为 ．

（3）【解法一】由题意知，直线的斜率存在，可设直线 （）．

令，得．

由 得 ，解得 （舍去）或，

所以 ，即．    

于是直线的方程为，即 ．

令,得，即．  

所以四边形的面积等于

，

即四边形的面积为定值．

【解法二】由题意知，设 （），

则直线的方程为 ，即．

令，得．   

又直线的方程为，

令,得，即．   

所以四边形的面积等于

    （*）

因为点在椭圆上，则得  ，所以 ，

代入（*）得 ，

即四边形的面积为定值．

21、（1）数列不具有性质．

因为，但是、，它们均不是数列中的项，

所以数列不具有性质．

（2）证明：因为，所以，即 ，所以．

设，因为，所以．

则得．

因为，

所以，，，…….，，，

将上面的式子相加得

，

所以 ．

（3）数列具有性质，但该数列不是等差数列．（答案不惟一）

下面证明当，即时，数列是等差数列．

由（2）得 ．

①设，

由（2）知 ．

因为，

所以，，，…….，，，

因此 ．    (*)   

②设，

则，所以，得．

由

及，

可得 ，，，…….，．

所以 ．

因为，由上知，，且 ，

所以，且，

所以．               (**)  

由(*)知 ，

两式相减得，

所以当时，是等差数列．