2021钦州市大寺中学高三上学期数学理模拟试题答案

2021届钦州市大寺中学高三上学期数学理模拟试题答案

一．选择题

1. 详解】∵集合A={x|x2≤4x}={x|0≤x≤4}，B={x|3x﹣4＞0}={x|x}，

∴A∩B={x|＜x≤4}=（]．故选C．

2. 【详解】..故选：B

3. 【详解】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，

是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，侧视图是一个中间有分界线的三角形，

故选：．

4. 【详解】设等差数列的公差为，则，，又成等比数列,所以，即：，解得： 

当时，数列的前项和为：，故选B

5. 【详解】函数f (x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f (0)＝2sin φ＝，

∴sin φ＝，又|φ|<，∴φ＝，则f (x)＝2sin，令2x＋＝kπ(k∈Z)，

则x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，

∴是函数f (x)的图象的一个对称中心..故选B

6.【详解】由题意结合排列组合公式可得随机选派人参加围棋比赛的方法有种，

而选出的人中没有女队员的方法有种，结合古典概型计算公式可得：选出的人中有女队员的概率为．故选：D

7. 【详解】∵，∴，∵，∴，∴，∴．

∴．故选择D．

8. 【详解】的展开式的通公式为，

令.则，故的系数是，故选：A

9. 【详解】设弦的两端点为，，为中点得，，在椭圆上有,两式相减得即，

即 即，则，且过点，有，

整理得．故选C．

10. 【详解】如图所示，O分别为的三角形外接圆圆心和球的球心，设三角形外接圆半径和球的球的半径分别为r，R，由正弦定理，∴，由图可知，∴，∴球的表面积．

故选A．

11. 【详解】根据题意，函数f（x）＝2x﹣2﹣x，

则f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，

又由f（x）＝2x﹣2﹣x，其导数为f′（x）＝（2x+2﹣x）ln2＞0，则函数f（x）在R上为增函数，

则f（1﹣2x）+f（x）＞0⇒f（1﹣2x）＞﹣f（x）⇒f（1﹣2x）＞f（﹣x）⇒1﹣2x＞﹣x，解可得：x＜1，

即不等式的解集为（﹣∞，1）；故选A．

12. 【详解】设抛物线与双曲线的两个交点分别为A，B．将代入得将代入得，∴即由两曲线共焦点，∴，∴．

∴．∴．∴，故选C．

二．填空题：

13. 【详解】tan＝3，＝3，解得tan θ＝，

sin 2θ－2cos2θ＝＝＝－.

14. 【详解】线段AB的垂直平分线方程为x+y-2＝0，与欧拉线的方程联立，得圆心坐标为D(1，1)，

线段AB的长度 为半径．故△ABC的外接圆方程为(x-1)2+(y-1)2＝10．

15．【详解】因为，，，，，所以曲线在处的切线方程为，即.

16．【详解】，

可得时， ，

时，，

两式相减可得，即，上式对也成立，

可得数列是首项为1，公比为的等比数列，所以

三．解答题

17．解：（1）  ，

∴，．

∴．即：． 

角B是在△ABC中内角，所以或（舍），即；

（2）由余弦定理得b2＝a2+c2-2accos B＝a2+c2-ac＝(a+c)2-3ac＝4-3ac，

 由，

b2≥1，⇒b≥1， 

又a+c＞b，∴1≤b＜2．

18．解：（1）由列联表可知，.

所以有95%的把握认为未感染与戴口罩有关.

（2）由题知，感染者中有4人戴口罩，6人未戴口罩，则的取值可能为0，1，2，3.

；；

；,

则的分布列为

.

19．解：（1）连接交于点，连接．

因为，所以，

又因为，所以，所以，

又面，面，

所以面.

（2）过作于，因为，所以是线段的中点．

因为面面，面面，所以面．连接，

因为是等边三角形，是线段的中点，所以.

如图以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标，

不妨设，则，，，，，

由，得，的中点，，.

设面的一个法向量为，则，即，

得方程的一组解为，即.

面的一个法向量为，则，

所以二面角的余弦值为.
20．解：(1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)，

代入抛物线方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

由题意知k≠0，且Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)＞0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝1，

由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，∴＝6，∴k2＝1，即k＝±1，

∴直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.

(2)证明：∵D点的坐标为(x1，－y1)，直线BD的斜率kBD＝＝＝，

∴直线BD的方程为y＋y1＝(x－x1)，即(y2－y1)y＋y2y1－y＝4x－4x1，

∵y＝4x1，y＝4x2，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，

即y1y2＝－4(y1，y2异号)，

∴直线BD的方程为4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0，恒过点(－1，0)．

21．解：（1）由题意知，定义域为，且，

当时，解得，此时对成立，

则在上是增函数，此时最大值为，

当时，由得，由，

取，则时，；时，，

所以在上是减函数，在上是增函数，又

则当，即时，此时，在上的最大值为；

当，即时，在上的最大值为，

综上，当时，函数在的最大值为，

当时，函数在的最大值为1.

（2）要使存在两个极值点，则在上存在两不等的实根，

令，则对称轴为，则，解得，

由韦达定理知，

.

令，，，在上单调递减，

时，，.

22．解：（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，得，

所以直线的极坐标方程为；

将圆的参数方程化为直角坐标方程，得，

所以圆的极坐标方程为.

由原点在圆的内部，得，解得，

故的取值范围是.

（2）将代入，得.

则，，

所以，

故为定值.

23. 【详解】（1）证明：因为，

当且仅当时，等号成立，

又∵，∴；

（2）由（1）知：，

当且仅当且即、时，等号成立，

所以有最小值.