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广东省广州市黄埔区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷 有答案
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这是一份广东省广州市黄埔区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷 有答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021 广东省广州市黄埔区八年级下学期数学期末考试
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．在实数范围内有意义，实数a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥﹣2 D．a＞﹣1
2．甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分是＝85，＝85，＝85，＝85，方差是S甲2＝3.8，S乙2＝2.3，S丙2＝6.2，S丁2＝5.2，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．某班9名同学的体重分别是（单位：千克）：67，59，61，59，63，57，70，59，65，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．59，61 B．59，63 C．59，59 D．57，61
4．函数y＝x﹣1的图象不经过（ ）
A．第三象限 B．第一象限 C．第四象限 D．第二象限
5．11名同学参加数学竞赛初赛，他们的得分互不相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
7．若点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
8．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+62＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2﹣6＝（10﹣x）2
9．若一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＜1的解为（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
10．直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A．5 B． C．7 D．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．计算：①＝ ，②＝ ，③（﹣）2＝ ．
12．计算：①×＝ ，②＝ ，③＝ ．
13．根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式的值为 ．
14．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间（小时）
5
6
7
8
人数
10
15
20
5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 小时．
15．需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：克）：+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的方差是 ．
16．已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：3﹣6．
18请用直尺与圆规在下面的数轴上画出表示的点（不写作法，但要保留清晰的作图痕迹）．
19已知一次函数的图象经过点（﹣4，9）和点（6，3），求这个函数的解析式．
20某试验室在0：00﹣10：00保持20℃的恒温，在10：00﹣20：00匀速升温，每小时升高1℃．
（1）写出试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式；（2）在坐标系中画出函数图象．
21如图，某小区有一块四边形空地ABCD．现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝4m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝3m，若种植每平方米草皮需要支出300元，要将这块空地种满草皮需要投入多少经费？
22黄埔区某游泳馆推出以下两种收费方式．
方式一：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
方式二：顾客先购买会员卡，每张会员卡800元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费20元．设你在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式；
（2）如果你在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次，为省钱，你选择哪种方式？
23如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF；（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
24如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，E是AD边上的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
25如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，点E在边BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；（2）试探究BC2，EC2，PE2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在实数范围内有意义，实数a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥﹣2 D．a＞﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出a的取值范围．
【解答】解：由题意可知：a+2≥0，
∴a≥﹣2．
故选：C．
2．甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分是＝85，＝85，＝85，＝85，方差是S甲2＝3.8，S乙2＝2.3，S丙2＝6.2，S丁2＝5.2，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】由题意易得s乙2＜s甲2＜s丁2＜S丙2，根据方差的意义（方差反映一组数据的波动大小，方差越小，波动越小，越稳定）即可得到答案．
【解答】解：∵S甲2＝3.8，S乙2＝2.3，S丙2＝6.2，S丁2＝5.2，
∴s乙2＜s甲2＜s丁2＜S丙2，
∴成绩最稳定的是乙．
故选：B．
3．某班9名同学的体重分别是（单位：千克）：67，59，61，59，63，57，70，59，65，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．59，61 B．59，63 C．59，59 D．57，61
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：从小到大排列此数据为：57、59、59、59、61、63、65、67、70，因为数据59出现了三次，次数最多，为众数，61处在第5位为中位数．
所以本题这组数据的众数是59，中位数是61．
故选：A．
4．函数y＝x﹣1的图象不经过（ ）
A．第三象限 B．第一象限 C．第四象限 D．第二象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：∵函数y＝x﹣1，k＝1＞0，b＝﹣1＜0，
∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：D．
5．11名同学参加数学竞赛初赛，他们的得分互不相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数．
故选：B．
6．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
7．若点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】将点（m，n）代入函数y＝2x+1，得到m和n的关系式，再代入2m﹣n即可解答．
【解答】解：将点（m，n）代入函数y＝2x+1得，
n＝2m+1，
整理得，2m﹣n＝﹣1．
故选：D．
8．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+62＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2﹣6＝（10﹣x）2
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解答】解：1丈＝10尺，
设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2，
故选：A．
9．若一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＜1的解为（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
【分析】直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．
【解答】解：如图所示：不等式kx+b＜1的解集为：x＜1．
故选：C．
10．直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A．5 B． C．7 D．
【分析】可设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7﹣x，由面积为6作为相等关系列方程求得x的值，进而求得斜边的长．
【解答】解：设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7﹣x，
根据题意得x（7﹣x）＝6，
解得x＝3或x＝4，
所以斜边长为．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．计算：①＝ 5 ，②＝ 4 ，③（﹣）2＝ 3 ．
【分析】①利用算术平方根的意义解答即可；
②利用化简即可；
③利用二次根式的乘方的意义解答即可．
【解答】解：①＝5；
②＝4；
③．
故答案为：5；4；3．
12．计算：①×＝ 5 ，②＝ 5 ，③＝ ．
【分析】①利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；
②利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；
③利用算术平方根的意义化简即可．
【解答】解：①；
②；
③．
故答案为：5；5；．
13．根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式的值为 ﹣5+2 ．
【分析】先把a、b、c的值代入，再化简二次根式，然后约分即可；
【解答】解：∵a＝1，b＝10，c＝﹣15．
∴b2﹣4ac＝102﹣4×1×（﹣15）＝160，
∴＝＝＝﹣5+2，
故答案为﹣5+2．
14．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间（小时）
5
6
7
8
人数
10
15
20
5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6.4 小时．
【分析】根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数进行计算．
【解答】解：＝6.4．
故答案为：6.4．
15．需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：克）：+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的方差是 2.5 ．
【分析】先求出平均数，再利用方差的计算公式解答即可．
【解答】解：平均数＝，
方差＝＝2.5，
故答案为：2.5
16．已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是 5 ．
【分析】根据平均数与中位数的定义可以先求出x，y的值，进而就可以确定这组数据的众数．
【解答】解：∵一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，
∴（2+5+x+y+2x+11）＝7，（x+y）＝7，
解得：y＝9，x＝5，
∴这组数据的众数是5．
故答案为：5．
三．解答题
17．计算：3﹣6．
【分析】先将每个二次根式化成最简二次根式后再合并同类二次根式．
【解答】解：原式＝6﹣2+8＝12．
18请用直尺与圆规在下面的数轴上画出表示的点（不写作法，但要保留清晰的作图痕迹）．
【考点】算术平方根；实数与数轴．
【专题】作图题；转化思想；数感．
【答案】如图所示，点P为表示的点．
【分析】因是无理数，无法直接在数轴上找到表示该数的点，故将其转化为在数轴上找到表示整数的点．又因，故可利用勾股定理，找出长度为的线段，再借助圆规在数轴上找到表示的点．
【解答】解：如图．
（1）在数轴上找到表示3的点B；
（2）过点B作垂线段，使得垂线段AB＝2；
（3）连结OA，则OA＝；
（4）以O为原点，OA长为半径画圆交数轴于点P，则P点为表示的点．
19已知一次函数的图象经过点（﹣4，9）和点（6，3），求这个函数的解析式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【答案】见试题解答内容
【分析】设函数解析式为y＝kx+b，把经过的两个点的坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，求解得到k、b的值，即可得解．
【解答】解：设函数解析式为y＝kx+b，
∵一次函数的图象经过点（﹣4，9）和点（6，3），
∴，
解得，
所以，这个函数的解析式为y＝﹣x+．
20某试验室在0：00﹣10：00保持20℃的恒温，在10：00﹣20：00匀速升温，每小时升高1℃．
（1）写出试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式；
（2）在坐标系中画出函数图象．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）T＝；（2）见解析．
【分析】（1）根据试验室温度T＝20+每小时升高的温度×时间即可得到函数解析式；
（2）根据函数图象的画法画出图象即可．
【解答】解：（1）试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式为：当0≤t≤10时，T＝20；
当10＜t≤20时，T＝t+20，
∴T＝；
（2）函数图象如图所示：
21如图，某小区有一块四边形空地ABCD．现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝4m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝3m，若种植每平方米草皮需要支出300元，要将这块空地种满草皮需要投入多少经费？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】10800元．
【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD，进而利用勾股定理的逆定理判断出△BCD是直角三角形，进而求出四边形ABCD的面积，最后再乘以每平方米的草皮的费用，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接BD，
在Rt△ABD中，AB＝4m，DA＝3m，
根据勾股定理得，BD＝＝＝5（m），
∵BC＝12m，CD＝13m，
∴BD2+BC2＝52+122＝132，CD2＝132，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AB•DA+BD•BC
＝×4×3+×5×12
＝36（m2），
∵种植每平方米草皮需要支出300元，
∴这块空地种满草皮需要投入的经费为36×300＝10800（元），
答：这块空地种满草皮需要投入10800元的经费．
22黄埔区某游泳馆推出以下两种收费方式．
方式一：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
方式二：顾客先购买会员卡，每张会员卡800元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费20元．设你在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式；
（2）如果你在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次，为省钱，你选择哪种方式？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y1＝40x，y2＝20x+800；
（2）在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次，为省钱，应选择方式二．
【分析】（1）根据题意可以写出y1，y2与x之间的函数表达式；
（2）将x＝15代入（1）中函数关系式，求出相应的函数值，然后比较大小即可解答本题
【解答】解：（1）当游泳次数为x时，
方式一费用为：y1＝40x，
方式二的费用为：y2＝20x+800；
（2）若一年内来此游泳馆游泳的次数为60次，
方式一的费用为：y1＝40×60＝2400（元），
方式二的费用为：y2＝20×60+800＝2000（元），
∵2400＞2000，
∴在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次，为省钱，应选择方式二．
23如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应边相等证得AE＝CF；
（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
【解答】（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠3＝∠4，
∵∠1＝∠3+∠5，∠2＝∠4+∠6，∠1＝∠2
∴∠5＝∠6
∵在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF；
（2）证明：∵∠1＝∠2，
∴DE∥BF．
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
24如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，E是AD边上的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“AAS”可证△AEF≌△DEC，可得AF＝CD，即可得结论；
（2）由AF＝BD，AF∥BD，可得四边形AFBD是平行四边形，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，即可得四边形AFBD为矩形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC
∴∠AFC＝∠DCE
又∵E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，且∠AEF＝∠DEC，∠AFC＝∠DCE
∴△AEF≌△DEC（AAS）
∴AF＝CD
又∵AF＝BD
∴BD＝CD
（2）四边形AFBD是矩形．
∵AF＝BD，AF∥BD．
∴四边形AFBD是平行四边形
又∵AB＝AC，BD＝CD．
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°
∴四边形AFBD为矩形．
25如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，点E在边BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）试探究BC2，EC2，PE2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）BC2+EC2＝2PE2，证明见解析．
【分析】（1）证△PBC≌△PDC（SAS），得PB＝PD，再由PE＝PB，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得∠PBC＝∠PDC，再由等腰三角形的性质得∠PBC＝∠PEB，则∠PDC＝∠PEB，然后证∠EPD＝90°，得△PDE是等腰直角三角形，则DE2＝2PE2，最后由勾股定理得CD2+EC2＝DE2，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PE＝PD；
（2）解：BC2+EC2＝2PE2，证明如下：
连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
由（1）得：△PBC≌△PDC，
∴∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
∴∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
又∵PE＝PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴DE2＝PE2+PD2＝2PE2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+EC2＝DE2，
∴BC2+EC2＝2PE2．
2020-2021 广东省广州市黄埔区八年级下学期数学期末考试
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．在实数范围内有意义，实数a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥﹣2 D．a＞﹣1
2．甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分是＝85，＝85，＝85，＝85，方差是S甲2＝3.8，S乙2＝2.3，S丙2＝6.2，S丁2＝5.2，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．某班9名同学的体重分别是（单位：千克）：67，59，61，59，63，57，70，59，65，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．59，61 B．59，63 C．59，59 D．57，61
4．函数y＝x﹣1的图象不经过（ ）
A．第三象限 B．第一象限 C．第四象限 D．第二象限
5．11名同学参加数学竞赛初赛，他们的得分互不相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
7．若点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
8．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+62＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2﹣6＝（10﹣x）2
9．若一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＜1的解为（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
10．直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A．5 B． C．7 D．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．计算：①＝ ，②＝ ，③（﹣）2＝ ．
12．计算：①×＝ ，②＝ ，③＝ ．
13．根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式的值为 ．
14．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间（小时）
5
6
7
8
人数
10
15
20
5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 小时．
15．需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：克）：+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的方差是 ．
16．已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：3﹣6．
18请用直尺与圆规在下面的数轴上画出表示的点（不写作法，但要保留清晰的作图痕迹）．
19已知一次函数的图象经过点（﹣4，9）和点（6，3），求这个函数的解析式．
20某试验室在0：00﹣10：00保持20℃的恒温，在10：00﹣20：00匀速升温，每小时升高1℃．
（1）写出试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式；（2）在坐标系中画出函数图象．
21如图，某小区有一块四边形空地ABCD．现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝4m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝3m，若种植每平方米草皮需要支出300元，要将这块空地种满草皮需要投入多少经费？
22黄埔区某游泳馆推出以下两种收费方式．
方式一：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
方式二：顾客先购买会员卡，每张会员卡800元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费20元．设你在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式；
（2）如果你在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次，为省钱，你选择哪种方式？
23如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF；（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
24如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，E是AD边上的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
25如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，点E在边BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；（2）试探究BC2，EC2，PE2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在实数范围内有意义，实数a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥﹣2 D．a＞﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出a的取值范围．
【解答】解：由题意可知：a+2≥0，
∴a≥﹣2．
故选：C．
2．甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分是＝85，＝85，＝85，＝85，方差是S甲2＝3.8，S乙2＝2.3，S丙2＝6.2，S丁2＝5.2，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】由题意易得s乙2＜s甲2＜s丁2＜S丙2，根据方差的意义（方差反映一组数据的波动大小，方差越小，波动越小，越稳定）即可得到答案．
【解答】解：∵S甲2＝3.8，S乙2＝2.3，S丙2＝6.2，S丁2＝5.2，
∴s乙2＜s甲2＜s丁2＜S丙2，
∴成绩最稳定的是乙．
故选：B．
3．某班9名同学的体重分别是（单位：千克）：67，59，61，59，63，57，70，59，65，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．59，61 B．59，63 C．59，59 D．57，61
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：从小到大排列此数据为：57、59、59、59、61、63、65、67、70，因为数据59出现了三次，次数最多，为众数，61处在第5位为中位数．
所以本题这组数据的众数是59，中位数是61．
故选：A．
4．函数y＝x﹣1的图象不经过（ ）
A．第三象限 B．第一象限 C．第四象限 D．第二象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：∵函数y＝x﹣1，k＝1＞0，b＝﹣1＜0，
∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：D．
5．11名同学参加数学竞赛初赛，他们的得分互不相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数．
故选：B．
6．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
7．若点（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】将点（m，n）代入函数y＝2x+1，得到m和n的关系式，再代入2m﹣n即可解答．
【解答】解：将点（m，n）代入函数y＝2x+1得，
n＝2m+1，
整理得，2m﹣n＝﹣1．
故选：D．
8．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+62＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2
C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2﹣6＝（10﹣x）2
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解答】解：1丈＝10尺，
设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2，
故选：A．
9．若一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＜1的解为（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
【分析】直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．
【解答】解：如图所示：不等式kx+b＜1的解集为：x＜1．
故选：C．
10．直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A．5 B． C．7 D．
【分析】可设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7﹣x，由面积为6作为相等关系列方程求得x的值，进而求得斜边的长．
【解答】解：设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7﹣x，
根据题意得x（7﹣x）＝6，
解得x＝3或x＝4，
所以斜边长为．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．计算：①＝ 5 ，②＝ 4 ，③（﹣）2＝ 3 ．
【分析】①利用算术平方根的意义解答即可；
②利用化简即可；
③利用二次根式的乘方的意义解答即可．
【解答】解：①＝5；
②＝4；
③．
故答案为：5；4；3．
12．计算：①×＝ 5 ，②＝ 5 ，③＝ ．
【分析】①利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；
②利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；
③利用算术平方根的意义化简即可．
【解答】解：①；
②；
③．
故答案为：5；5；．
13．根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式的值为 ﹣5+2 ．
【分析】先把a、b、c的值代入，再化简二次根式，然后约分即可；
【解答】解：∵a＝1，b＝10，c＝﹣15．
∴b2﹣4ac＝102﹣4×1×（﹣15）＝160，
∴＝＝＝﹣5+2，
故答案为﹣5+2．
14．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间（小时）
5
6
7
8
人数
10
15
20
5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6.4 小时．
【分析】根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数进行计算．
【解答】解：＝6.4．
故答案为：6.4．
15．需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：克）：+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的方差是 2.5 ．
【分析】先求出平均数，再利用方差的计算公式解答即可．
【解答】解：平均数＝，
方差＝＝2.5，
故答案为：2.5
16．已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是 5 ．
【分析】根据平均数与中位数的定义可以先求出x，y的值，进而就可以确定这组数据的众数．
【解答】解：∵一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，
∴（2+5+x+y+2x+11）＝7，（x+y）＝7，
解得：y＝9，x＝5，
∴这组数据的众数是5．
故答案为：5．
三．解答题
17．计算：3﹣6．
【分析】先将每个二次根式化成最简二次根式后再合并同类二次根式．
【解答】解：原式＝6﹣2+8＝12．
18请用直尺与圆规在下面的数轴上画出表示的点（不写作法，但要保留清晰的作图痕迹）．
【考点】算术平方根；实数与数轴．
【专题】作图题；转化思想；数感．
【答案】如图所示，点P为表示的点．
【分析】因是无理数，无法直接在数轴上找到表示该数的点，故将其转化为在数轴上找到表示整数的点．又因，故可利用勾股定理，找出长度为的线段，再借助圆规在数轴上找到表示的点．
【解答】解：如图．
（1）在数轴上找到表示3的点B；
（2）过点B作垂线段，使得垂线段AB＝2；
（3）连结OA，则OA＝；
（4）以O为原点，OA长为半径画圆交数轴于点P，则P点为表示的点．
19已知一次函数的图象经过点（﹣4，9）和点（6，3），求这个函数的解析式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【答案】见试题解答内容
【分析】设函数解析式为y＝kx+b，把经过的两个点的坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，求解得到k、b的值，即可得解．
【解答】解：设函数解析式为y＝kx+b，
∵一次函数的图象经过点（﹣4，9）和点（6，3），
∴，
解得，
所以，这个函数的解析式为y＝﹣x+．
20某试验室在0：00﹣10：00保持20℃的恒温，在10：00﹣20：00匀速升温，每小时升高1℃．
（1）写出试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式；
（2）在坐标系中画出函数图象．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）T＝；（2）见解析．
【分析】（1）根据试验室温度T＝20+每小时升高的温度×时间即可得到函数解析式；
（2）根据函数图象的画法画出图象即可．
【解答】解：（1）试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式为：当0≤t≤10时，T＝20；
当10＜t≤20时，T＝t+20，
∴T＝；
（2）函数图象如图所示：
21如图，某小区有一块四边形空地ABCD．现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝4m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝3m，若种植每平方米草皮需要支出300元，要将这块空地种满草皮需要投入多少经费？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】10800元．
【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD，进而利用勾股定理的逆定理判断出△BCD是直角三角形，进而求出四边形ABCD的面积，最后再乘以每平方米的草皮的费用，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接BD，
在Rt△ABD中，AB＝4m，DA＝3m，
根据勾股定理得，BD＝＝＝5（m），
∵BC＝12m，CD＝13m，
∴BD2+BC2＝52+122＝132，CD2＝132，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AB•DA+BD•BC
＝×4×3+×5×12
＝36（m2），
∵种植每平方米草皮需要支出300元，
∴这块空地种满草皮需要投入的经费为36×300＝10800（元），
答：这块空地种满草皮需要投入10800元的经费．
22黄埔区某游泳馆推出以下两种收费方式．
方式一：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
方式二：顾客先购买会员卡，每张会员卡800元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费20元．设你在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．
（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式；
（2）如果你在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次，为省钱，你选择哪种方式？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y1＝40x，y2＝20x+800；
（2）在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次，为省钱，应选择方式二．
【分析】（1）根据题意可以写出y1，y2与x之间的函数表达式；
（2）将x＝15代入（1）中函数关系式，求出相应的函数值，然后比较大小即可解答本题
【解答】解：（1）当游泳次数为x时，
方式一费用为：y1＝40x，
方式二的费用为：y2＝20x+800；
（2）若一年内来此游泳馆游泳的次数为60次，
方式一的费用为：y1＝40×60＝2400（元），
方式二的费用为：y2＝20×60+800＝2000（元），
∵2400＞2000，
∴在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次，为省钱，应选择方式二．
23如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应边相等证得AE＝CF；
（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
【解答】（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠3＝∠4，
∵∠1＝∠3+∠5，∠2＝∠4+∠6，∠1＝∠2
∴∠5＝∠6
∵在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF；
（2）证明：∵∠1＝∠2，
∴DE∥BF．
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
24如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，E是AD边上的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“AAS”可证△AEF≌△DEC，可得AF＝CD，即可得结论；
（2）由AF＝BD，AF∥BD，可得四边形AFBD是平行四边形，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，即可得四边形AFBD为矩形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC
∴∠AFC＝∠DCE
又∵E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，且∠AEF＝∠DEC，∠AFC＝∠DCE
∴△AEF≌△DEC（AAS）
∴AF＝CD
又∵AF＝BD
∴BD＝CD
（2）四边形AFBD是矩形．
∵AF＝BD，AF∥BD．
∴四边形AFBD是平行四边形
又∵AB＝AC，BD＝CD．
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°
∴四边形AFBD为矩形．
25如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，点E在边BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）试探究BC2，EC2，PE2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）BC2+EC2＝2PE2，证明见解析．
【分析】（1）证△PBC≌△PDC（SAS），得PB＝PD，再由PE＝PB，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得∠PBC＝∠PDC，再由等腰三角形的性质得∠PBC＝∠PEB，则∠PDC＝∠PEB，然后证∠EPD＝90°，得△PDE是等腰直角三角形，则DE2＝2PE2，最后由勾股定理得CD2+EC2＝DE2，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PE＝PD；
（2）解：BC2+EC2＝2PE2，证明如下：
连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
由（1）得：△PBC≌△PDC，
∴∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
∴∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
又∵PE＝PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴DE2＝PE2+PD2＝2PE2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+EC2＝DE2，
∴BC2+EC2＝2PE2．
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