2021上海市金山区高三下学期数学4月二模试题
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这是一份2021上海市金山区高三下学期数学4月二模试题,共4页。
(答题请写在答题纸上)
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1–6题每题4分,第7–12题每题5分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1.已知集合,集合,若,则= .
2.若关于的二元一次方程组的增广矩阵为,则= .
3.不等式≥0的解集为 .
4.若直线的参数方程为 (t为参数,tR),则在轴上的截距为 .
5.若(a、bR,i为虚数单位),则a+b = .
6.某圆锥的底面积为,侧面积为,则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 .
7.若正方形ABCD的边长为1,记,,,则 .
8.一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球(9个球除颜色外其余完全相同),经充分混合后,从袋中随机摸出3个球,则摸出的3个球中至少有一个是白球的概率为_______(结果用最简分数表示).
9.若首项为1、公比为的无穷等比数列的各项和为,表示该数列的前项和,则的值为 .
10.函数(a>1且a≠1)的图像恒过点A,若点A在直线mx+ny+1=0,其中m>0,n>0,则的最小值为 .
11.若函数,其中≤x≤,则的最大值为 .
12.已知向量与的夹角为60º,且,若,其中,则向量在上的投影的取值范围为 .
二、选择题(本大题共4小题,满分20分,每小题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.函数()的最小正周期为( ).
(A) (B) (C) (D)
14.下列命题为真命题的是( ).
(A) 若直线l与平面α上的两条直线垂直,则直线l与平面α垂直
(B) 若两条直线同时垂直于一个平面,则这两条直线平行
(C) 若两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面垂直
(D) 若直线l上的不同两点到平面α的距离相等,则直线l与平面α平行
15.设A、B为圆上的两动点,且∠AOB=120º,P为直线l:3x – 4y – 15=0上一动点,则的最小值为( ).
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
16.已知定义在实数集上的函数满足,则的最大值为( ).
(A) (B) (C) (D)
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分,第1小题满分5分,第2小题满分9分)
随着生活水平的不断提高,人们更加关注健康,重视锻炼.通过“小步道”,走出“大健康”,健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线. 如图,A- B- C- A为某区的一条健康步道,AB、AC为线段,是以BC为直径的半圆,AB=km,AC=4km,.
(1) 求的长度;
(2) 为满足市民健康生活需要,提升城市品位,改善人居环境,现计划新建健康步道A- D- C(B,D在AC两侧),其中AD,CD为线段. 若,求新建的健康步道A- D- C的路程最多可比原有健康步道A- B- C的路程增加多少长度?(精确到)
18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
在长方体中,,过、、三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体,且这个几何体的体积为.
(1) 求棱的长;
(2) 求点到平面的距离.
19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知抛物线的焦点为,半径为1的圆的圆心位于轴的正半轴上,过圆心的动直线与抛物线交于、两点,如图所示.
(1) 若圆经过抛物线的焦点,且圆心位于焦点的右侧,求圆的方程;
(2) 是否存在定点,使得为定值,若存在,试求出该定点的坐标,若不存在,则说明理由.
20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分7分)
在数列中,已知,().
(1) 证明:数列为等比数列;
(2) 记,数列的前项和为. 求使得的整数的最小值;
(3) 是否存在正整数、、,且,使得、、成等差数列?若存在,求出、、的值;若不存在,请说明理由.
21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分9分)
设为给定的实常数,若函数在其定义域内存在实数,使得成立,则称函数为“函数”.
(1) 若函数为“函数”,求实数的值;
(2) 若函数为“函数”,求实数的取值范围;
(3) 已知()为“函数”,设.若对任意的,当时,都有成立,求实数的最大值.
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