高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算导学案

1.1.3 集合的基本运算

课堂导学

三点剖析

一、交集、并集、补集的概念与运算

【例1】 若全集U={x|x≤9,x∈N*},M={1,7,8},P={2,3,5,7},S={1,4,7},则(M∪P)∩(S)

=__________________.

解析：U={x|x≤9,x∈N*}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(M∪P)∩(S)={2,3,5,8}.

答案：{2,3，5,8}

温馨提示

    1.进行集合运算应首先要弄清楚各集合是由什么元素构成的，然后再根据交集、并集、补集的概念进行运算.

    2.集合间的包含关系的判断及集合的运算一般使用韦恩图.

【例2】 已知全集U=R，A={x|-4<x<},B={x|x+4≤0},C={x|2x≥1},则集合C等于（    ）

A.A∩B            B.A∪B                C.(A∩B)            D.(A∪B)

解析：利用数轴解决有关不等式的数集运算是最有效的工具，借助数轴易得A∩B=，A∪B={x|x<},所以C=(A∪B).

答案：D

温馨提示

    数集的运算一般使用数轴.

二、交集与并集的概念符号之间的区别与联系

【例3】 已知A={y|y=x2-2,x∈R},B={y|y=x,x∈R}.求A∩B，A∪B.

思路分析：本题注重考查集合概念及运算，其中集合中的元素y的本质是许多同学认识不足的，它其实是函数的因变量，集合为函数因变量的取值集合.

解：A={y|y=x2-2,x∈R}={y|y≥-2},B={y|y=x}=R,则A∩B={y|y≥-2},A∪B=R.

温馨提示

    1.对于描述法给出的集合，要抓住竖线前的代表元素及它具有的性质再进行运算.

    2.本题中的两个集合都是数集，且是每个函数的函数值构成的集合.

三、集合运算性质的运用

【例4】 集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若A∪B=A，则a能取到的所有值的集合为_

______________.

解析：处理此类问题有两处值得同学们注意，一是明确A∪B=ABA；二是B={x|ax=2}≠{x|x=}，要注意对a是否为0进行讨论.

    A={x|x2-3x+2=0}={1,2},A∪B=ABA.因此集合B只能为单元素集或.

    当B={1}时，即1∈B={x|ax-2=0},得a=2;

    同理，当B={2}时，得a=1;

    当B=时，即ax=2无解，得a=0.

    综上，a能取到的值所组成的集合为{0,1，2}.

答案：{0,1，2}

温馨提示

    1.A∪B=ABA,A∩B=AAB两个性质常常作为“等价转化”的依据，要特别注意当AB时，往往需要按A=和A≠两种情况分类讨论，而这一点却很容易被忽视.如本题中由BA应分B=和B≠两种情况考虑，尽管本题中B=不适合题意，但也不要遗漏这种情况.

    2.要注重集合语言与数学文字语言之间的转化.

各个击破

类题演练1

设全集U=N，P={2n|n∈N},Q={x|x=4n,n∈N},则N可以表示为（    ）

A.P∩Q            B.(P)∪Q             C.P∪(Q)           D.(P)∪(Q)

解析：Q如图所示的阴影部分，∴P∪Q=N.

答案：C

变式提升1

设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a-5|,9},A={5,7},则a的值是（    ）

A.2             B.8               C.-2或8               D.2或8

解析：∵由条件得|a-5|=3，

    ∴a=2或8.

答案：D

类题演练2

已知全集U=R，集合A={x|x<1或x>2}，集合B={x|x<-3或x≥1},求A,B,A∩B,A∪B.

解析：借助于数轴，由右图可知A={x|x≥1且x≤2}={x|1≤x≤2};B={x|x≥-3且x<1}

    ={x|-3≤x<1};

    A∩B={x|x<1或x>2}∩{x|x<-3或x≥1}={x|x<-3或x>2};A∪B={x|x<1或x>2}∪{x|x<-3或x≥1}=R.

变式提升2

集合M={x|-1≤x≤2},N={x|x-a≥0},若M∩N≠，则实数a的取值范围是_____________.

解析：由图示可知a≤2.

答案：a≤2

类题演练3

已知A={y∈N|y=x2-4x+10},B={y∈N|y=-x2-2x+12},求A∩B.

解析：∵A={y|y≥6,y∈N},B={y|y≤13,y∈N},

    ∴A∩B={y∈N|6≤y≤13}.

答案：{y|6≤y≤13,y∈N}

变式提升3

(2006江苏高考，7)若A、B、C为三个集合，A∪B=B∩C,则一定有（    ）

A.AC             B.CA            C.A≠C           D.A=

解析：画出韦恩图可知A成立.

答案：A

类题演练4

若集合P={1，2，3，m}，Q={m2,3},满足P∩Q=Q，求m的值.

解析：∵P∩Q=Q,∴QP,

    ∴m2=1或m2=2或m2=m,解得m=±1或±或0.

     经检验m=1时，不满足集合P中元素的互异性，∴m=-1或±或0.

答案：-1或±或0

变式提升4

设集合M={x|x<3},N={x|x>-2},Q={x|x-a≥0},令P=M∩N.

(1)求集合P；

(2)若PQ，求实数a的取值范围；

(3)若P∩Q={x|0≤x≤3}，求实数a的取值范围；

(4)若P∩Q=，求实数a的取值范围.

解析：(1)P=M∩N={x|x<3}∩{x|x>-2}={x|-2<x<3}.

    〔利用数轴作为工具分别对(2)(3)(4)进行分析，注意对端点处进行讨论〕

    (2)当a<-2时，满足题意；

     当a=-2时，Q={x|x≥-2}，也有PQ.

    所以a≤-2.

    (3)由于a是可变的实数，因此，若P∩Q={x|0≤x≤3}，从数轴上观察，a能且只能取0，所以a=0.

    (4)若要P∩Q=，通过数轴观察知，当a>3时，P∩Q=；当a=3时，Q={x|x-3≥0}={x|x≥3},P∩Q={x|-2<x<3}∩{x|x≥3}=,综上，a≥3.